李志香

“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，割裂分家萬事休?！比A羅庚先生用這首小詩向我們清晰地描述了數(shù)與形在解決數(shù)學問題中的關系，在教育界有深遠影響。在現(xiàn)今小學數(shù)學教材中，數(shù)形結合這一詞匯雖然沒有比較確切的定義，但在諸多概念和解題過程中都滲透著這一思想。

一、數(shù)形結合思想在“數(shù)與代數(shù)”中的應用

“數(shù)與代數(shù)”模塊是學生認識數(shù)量關系、探索教學規(guī)律以及建立數(shù)學模型的基石。它是小學生獲取基本數(shù)學知識、掌握數(shù)學基本思想的重要領域。因此，在此領域中數(shù)形結合思想應用頗多，研究素材也比較廣泛，筆者選取了小學計算教學中的一個難點問題加以闡述。

案例一：筆算乘法（人教版小學《數(shù)學》三年級下冊第四單元）——每套書有14本，王老師買了12套。一共買了多少本？

為了讓學生更輕松地達成本節(jié)課的教學要求，避免生硬灌輸，提高學生的動手操作能力，教師可以利用數(shù)形結合的方法幫助學生理解算理。首先，在學生自主探究14×12環(huán)節(jié)時，可以適時向學生引出點子圖作為研究的素材，以放手讓學生借助具體的實物進行大膽嘗試和探索，在探究計算方法的同時將數(shù)與形結合起來，從而激活學生的思維。

在合作交流環(huán)節(jié)，請學生上臺展示并且交流探索過程，可以讓學生明確劃分點子圖的不同方法，以及如何用算式將點子圖中的“形”進行正確的表征，從而建立起圖形表征和計算方法之間的聯(lián)系，進而使學生理解點子圖不同，計算方式也不盡相同，但都是采用了“先分后和”的思路，這恰恰也是計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的基本思路。

在總結提升環(huán)節(jié)，教師要引導學生將自行操作的點子圖抽象成矩形圖，對比分析點子圖和筆算乘法的步驟，這樣做就是讓學生借助圖形去掌握筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算順序，理解隱藏其中的算理。讓學生將數(shù)學中的“數(shù)”與點子圖中的“形”結合起來，通過以形助數(shù)的方式，幫助學生理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，讓學生在運算的過程中做到眼中有“數(shù)”，腦中有“形”。

二、數(shù)形結合思想在“圖形與幾何”中的應用

數(shù)形結合思想在圖形與幾何中的應用甚是廣泛，學好這部分內容不僅可以發(fā)展學生的空間觀念，還能使學生的思維得到質的飛躍。數(shù)形結合思想在這部分教學內容的應用主要體現(xiàn)為數(shù)形互化，即用數(shù)正確表示圖形，用形正確表示數(shù)。

案例二：認識面積（人教版小學《數(shù)學》三年級下冊第五單元）——下面兩個圖形，哪個面積大？

在“認識面積”這堂課中，為了讓學生理解“幾何中的面即面積中的‘形，面的大小即為‘數(shù)”的道理，在教學中筆者利用數(shù)形結合思想主要設計了以下環(huán)節(jié)：

① 創(chuàng)設情境，激發(fā)度量的需要。在日常生活中，我們經(jīng)常要度量面的大小，如粉刷一面墻，這面墻有多大；灑水車給植物澆水，這片植物的種植面積有多大等，這都需要準確刻畫它們的面積。通過創(chuàng)設豐富的現(xiàn)實情境，引發(fā)學生的思考，從而激發(fā)學生的學習動機。

② 親歷度量過程，體會面積大小。單位化思想是度量的核心，學習長度時，學生已有了度量的經(jīng)驗。因此，在此課例教學中，教師可以引導學生用學過的圖形作單位，度量長方形的面積。度量長方形面積時，教師可以給學生提供三種學具：圓形、三角形、正方形。讓學生通過擺一擺的方式，親歷探索過程，從而認識到：圓形不能密鋪，不能用幾個圓形來代表長方形的面積；三角形和正方形都可以密鋪——進而在數(shù)單位圖形個數(shù)的過程中，體會面積的含義與大小。

③ 借助多媒體，展示數(shù)形統(tǒng)一。教學中利用PPT中的動畫功能直接展示面積單位的形成過程，從而讓學生深刻理解為什么要用正方形作面積單位、基本面積單位都有哪些以及面積單位在生活中的應用。通過設計豐富的活動，使學生認識面積之形；在度量的過程中實現(xiàn)以數(shù)解形，使學生經(jīng)歷面積的形成過程；在體驗中完善和豐富對面積單位的認識和度量。

三、數(shù)形結合思想在“綜合與實踐”中的應用

在小學數(shù)學學習中，“綜合與實踐”部分內容比較耗時、耗力，學生也不太容易掌握。如果教師能夠結合學生的生活經(jīng)驗去滲透數(shù)形結合思想，不僅可以改變學生數(shù)學學習方式，還可以幫助學生全面認識、了解數(shù)學。

案例三：“植樹問題”（人教版小學《數(shù)學》五年級上冊第七單元）——同學們在全長100 m的小路一邊植樹，每隔5 m栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？

在小學數(shù)學中，植樹問題一般是指按照一定的路線和不同的植樹要求，讓學生通過獨立探索，留心發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)和植樹的棵數(shù)之間的關系，從而解決問題的一類題型。在這類學習活動中，植樹的路線是不固定的，簡單的植樹路線就是一條封閉路線，復雜點的植樹問題路線則是一條線段。對于小學生而言，一條線段的植樹問題比較困難，因為情況比較復雜。它可以分為以下情形：兩端都栽、只有一端栽、兩端都不栽。為了讓學生更好地掌握本節(jié)課的知識，教師可以利用數(shù)形結合思想教會學生用畫線段圖的方式分析問題、解決問題：

① 兩端都栽：栽樹棵樹=間隔數(shù)+1

同樣，教師也可以利用數(shù)形結合的方法，采用畫線段的方式幫助學生分析封閉型的植樹問題，讓學生通過畫線段圖的方式，直觀地看出環(huán)形植樹：栽樹棵樹=間隔數(shù)。在教學植樹問題時，數(shù)形結合思想主要體現(xiàn)在教會學生利用畫線段圖的方式理清數(shù)量間的邏輯關系，從而發(fā)現(xiàn)栽樹棵樹和間隔數(shù)之間的關系，最終達到解決問題的目的。

（作者單位：江蘇省淮安市洪澤第二實驗小學）

責任編輯：王 燕