代文鵬 陳恒 焦方桐 李勇興 顏廷洋

【摘? ?要】? ?首先根據(jù)糾纏混沌系統(tǒng)的構(gòu)建方法，構(gòu)建了一類含有指數(shù)及正余弦項(xiàng)的糾纏混沌系統(tǒng)，運(yùn)用Matlab對(duì)該系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)、分岔圖及功率譜圖等動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行理論分析和數(shù)值仿真，結(jié)果表明該系統(tǒng)具有較高的參數(shù)敏感特性?；陔娐贩抡孳浖﨧ultisim14進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真電路的制作，證明提出的糾纏混沌系統(tǒng)電路在電路原理上的可實(shí)現(xiàn)性，從而驗(yàn)證了該糾纏混沌系統(tǒng)的豐富動(dòng)力學(xué)能力。最后利用DNA算法及糾纏系統(tǒng)混沌序列對(duì)圖像加密，進(jìn)行加密直方圖、信息熵及相鄰像素相關(guān)性分析。分析結(jié)果證明，提出的混沌系統(tǒng)具有較強(qiáng)的復(fù)雜性，應(yīng)用于圖像加密具有較高的保密安全性能。

【關(guān)鍵詞】? ?糾纏混沌系統(tǒng)；電路仿真；圖像信息熵

The Circuit Design of A New Kind of Chaotic System with Entanglement

and It′s Application in Image Encryption

Dai Wenpeng1， Chen Heng2*， Jiao Fangtong3，Li Yongxing2，Yan Tingyang4

（1. Yantai Institute of Science and Technology， Yantai 265600， China;

2. Xijing University， Xi′an 710123， China;

3. Geely Commercial Vehicle Zibo Base， Zibo 255100， China;

4. Qilu Institute of Technology， Jinan 250200， China）

【Abstract】? ? Firstly， according to the construction method of entangled chaotic system， a class of entangled chaotic system with exponent and sine-cosine term is constructed， the dynamic characteristics of the system， such as Lyapunov exponent， bifurcation diagram and power spectrum， are analyzed and simulated by MATLAB. Based on the circuit simulation software Multisim14， the experimental circuit is made， and the feasibility of the circuit in circuit principle is proved， the abundant dynamics capability of the system is verified. At last， the image is encrypted by using DNA algorithm and chaotic sequence of entanglement system. The histogram of encryption， information entropy and correlation of adjacent pixels are analyzed. The analysis results show that the proposed chaotic system has strong complexity and has high security performance when applied to image encryption.

【Key words】? ? ?entanglement chaotic system; circuit simulation; image information entropy

〔中圖分類號(hào)〕? ?TN601? ? ? ? ? ? ? ?〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕? A ? ? ? ? ? ? ?〔文章編號(hào)〕 1674 - 3229（2023）01- 0022 - 07

0? ? ? 引言

近幾十年來(lái)，新的混沌系統(tǒng)不斷被提出與發(fā)現(xiàn)［1］，目前，混沌系統(tǒng)都是在經(jīng)典混沌模型上構(gòu)建的，已從經(jīng)典低維混沌模型發(fā)展到高維、多翼、多渦卷、時(shí)滯、切換、分?jǐn)?shù)階等混沌模型系統(tǒng)。那么，能否構(gòu)建一類混沌系統(tǒng)作為線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的橋梁呢？根據(jù)量子糾纏的相關(guān)內(nèi)容，多個(gè)線性系統(tǒng)通過(guò)非線性的有界函數(shù)糅合進(jìn)行糾纏，量子糾纏的提出為新混沌系統(tǒng)的構(gòu)建提供了一種有意義的借鑒思想。可根據(jù)此理論，將多個(gè)線性系統(tǒng)引入有界糾纏項(xiàng)從而為構(gòu)建新的糾纏混沌系統(tǒng)提供了一種新的思路。

混沌理論在圖像加密數(shù)據(jù)傳輸［2］、電機(jī)控制系統(tǒng)等各個(gè)領(lǐng)域得到了應(yīng)用［3］。數(shù)字圖像具有數(shù)據(jù)量大且像素之間相關(guān)性強(qiáng)的特點(diǎn)［4］，混沌系統(tǒng)具有隨機(jī)性及敏感性，因此混沌系統(tǒng)應(yīng)用到圖像加密中具有一定的優(yōu)勢(shì)［5］。在糾纏混沌系統(tǒng)上，為采用糾纏混沌系統(tǒng)與DNA加密算法相結(jié)合對(duì)圖像進(jìn)行加密提供了新思路。

首先，為驗(yàn)證該糾纏混沌系統(tǒng)的豐富動(dòng)力學(xué)能力，Matlab將對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行理論分析及數(shù)值仿真。其次，為驗(yàn)證混沌電路可實(shí)現(xiàn)性，Multisim14將進(jìn)行電路搭建。最后，為驗(yàn)證該系統(tǒng)的應(yīng)用價(jià)值，利用DNA算法及糾纏系統(tǒng)混沌序列對(duì)圖像進(jìn)行加密實(shí)現(xiàn)。

1? ? ?糾纏混沌系統(tǒng)

[x=-ax+byy=-ay-bx] （1）

[z=-czw=-dw]? ? （2）

（1）與（2）進(jìn)行系統(tǒng)糾纏，得到一類新的糾纏混沌系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程為：

[x=-ax+by+k（sinw）ecoswy=-ay-bx+ksinzz=-cz+kcosxw=-dw+kcosy] （3）

其中[x，y，z，w]為系統(tǒng)變量，系統(tǒng)的參數(shù)為[a]，[b]，[c]，[d]，[k]，糾纏項(xiàng)為[（sinw）ecosw]，[sinz]，[cosx]，[cosy]。當(dāng) [a=2]，[b=3]，[c=0.1]，[d=1]，[k=10]，畫(huà)出系統(tǒng)（3）的相圖，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中存在典型的混沌吸引子如圖1所示。經(jīng)過(guò)Matlab數(shù)值計(jì)算得到Lyapunov指數(shù)為[λ1=2.19]，[λ2=0.47]，[λ3=-3.15]，[λ3=-4.6]，系統(tǒng)含有兩個(gè)正的指數(shù)，具有超混沌特性［6］。

2? ? ?耗散性及功率譜

2.1? ?耗散性

[?V=?x?x+?y?y+?z?z+?w?w=-2a-c-d] ? ?（4）

[a=2]，[b=3]，[c=0.1]，[d=1]，[k=10]時(shí)，由（4）得[a+b-d+e=-5.1<0]，系統(tǒng)（3）是一個(gè)耗散系統(tǒng)，體積元收斂為[dVdt=e-5.1t]即體積元[V0]以指數(shù)收斂，t時(shí)刻體積元為[V0e-5.1t]，當(dāng)t→∞時(shí)體積元收斂到零，漸進(jìn)運(yùn)動(dòng)圍繞在一個(gè)吸引子上［7］。

2.2? ?功率譜

周期信號(hào)的功率譜是離散譜，非周期信號(hào)的功率譜是連續(xù)譜。混沌信號(hào)是非周期信號(hào)，所以其功率譜也應(yīng)為連續(xù)譜［8］。圖2為系統(tǒng)（3）的功率譜，觀察到是連續(xù)譜，可見(jiàn)該系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)。

3? ? ?參數(shù)影響

從系統(tǒng)（3）四個(gè)方向的Lyapunov指數(shù)譜及分岔圖，可觀察出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)［9］。當(dāng)[a∈0，10]，[b=3]，[c=0.1]，[d=1]，[k=10]，如圖3所示的Lyapunov指數(shù)和分岔圖，得出系統(tǒng)是由混沌狀態(tài)逐漸進(jìn)入周期狀態(tài)，經(jīng)過(guò)短暫的陣發(fā)混沌后再進(jìn)入周期狀態(tài)的反復(fù)過(guò)程，區(qū)間[a∈0，5.5?7，8]為混沌態(tài)，[a∈5.5，7?8，10]處于周期狀態(tài)，說(shuō)明系統(tǒng)參數(shù)[a]對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為具有一定的影響。

當(dāng)[a=2]，[b∈0，15]，[c=0.1]，[d=1]，[k=10]，如圖4所示為系統(tǒng)（3）的Lyapunov指數(shù)和分岔圖，[b∈0，7.5]為混沌態(tài)，其他區(qū)域?yàn)榛煦缗c周期交替狀態(tài)，由倒倍周期分岔過(guò)渡到混沌，[b∈0，7.5?8，9?9.5，11?12，12.5?14，15]，看出對(duì)應(yīng)的LE譜為（-，-，0，+），該區(qū)間處于混沌態(tài)，[b∈7.5，8?9，9.5?11，12?12.5，14]，最大LE等于0，說(shuō)明該區(qū)間處于周期態(tài)。

同理，[a=2]，[b=3]，[c∈[0，8]]，[d=1]，[k=10]，圖5為系統(tǒng)（3）四個(gè)方向的Lyapunov指數(shù)和分岔圖，觀察發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)整體上為混沌狀態(tài)，在[a=2.5]，[a=8]附近出現(xiàn)了弱混沌狀態(tài)，在[a=6]附近出現(xiàn)了倍周期態(tài)。

同理，[a=2]，[b=3]，[c=0.1]，[d∈[0，10]]，[k=10]，圖6所示為系統(tǒng)（3）四個(gè)方向的Lyapunov指數(shù)和分岔圖，經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)LE譜為（-，-，0，+），系統(tǒng)為混沌狀態(tài)。[d∈[0，5]]的LE大于[d∈[5，6]]的LE指數(shù)，說(shuō)明[d∈[0，5]]區(qū)間混沌復(fù)雜度更強(qiáng)。

同理，當(dāng)[a=2]，[b=3]，[c=0.1]，[d=1]，[k∈0，15]，如圖7所示為系統(tǒng)（3）的Lyapunov指數(shù)和分岔圖。系統(tǒng)由倍周期分岔進(jìn)入到混沌系統(tǒng)，[k∈0，6]為周期態(tài)，其他區(qū)域?yàn)榛煦鐟B(tài)。

4? ? ?系統(tǒng)電路原理圖及方程

利用集成運(yùn)放LM741、模擬乘法器AD633及電容和電阻等設(shè)計(jì)出相應(yīng)的混沌電路圖，如圖8所示，利用Multisim14驗(yàn)證系統(tǒng)（3）方程的電路仿真。

根據(jù)以上電路圖 ，電路振蕩方程為：

[dxdt=R6C1R5R7-R4R1x+R4R2y+R4R3sinw（ecosw）dydt=R13C2R12R14-R11R8x-R11R9y+R11R10sinzdzdt=R19C3R18R20R17R15cosx-R17R16zdwdt=R25C4R24R26R23R21cosy-R23R22w]（5）? ? ? ? ? ?通過(guò)電路振蕩方程與混沌系統(tǒng)（3）的狀態(tài)方程對(duì)比，理論數(shù)值一一對(duì)應(yīng)。為了驗(yàn)證該混沌電路的正確性，利用Multisim14對(duì)混沌電路進(jìn)行了電路仿真，將電路的[x]，[y]，[z]，[w]端的輸出電壓實(shí)時(shí)顯示在示波器上，如圖9所示。

仿真驗(yàn)證，該電路精簡(jiǎn)且易于實(shí)現(xiàn)，證明了提出的糾纏混沌系統(tǒng)在電路原理上的可實(shí)現(xiàn)性。

5? ? ?圖像加密仿真

基于糾纏混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌吸引子， 用于DNA加密的混合圖像加密。采用Matlab 16仿真實(shí)現(xiàn)， 選 256×256的Lena灰度圖作為初始圖像如圖10（a）， 混沌加密信號(hào)采用糾纏混沌信號(hào)加密后圖像如圖 10（b）， 解密圖像如圖 10（c）。

5.1? ?信息熵分析

信息熵反映了加密后密文圖像的像素值隨機(jī)分布信息，由表 1可以看出，加密后的信息熵皆達(dá)到了7.9994，接近理想值8，加密效果較好，其算法相比于其他算法加密信息熵處于較高水平。

5.2? ?灰度直方圖

圖11（a）（b）分別為原始圖像和加密圖像的灰度直方圖。加密前，圖像像素非均勻分布，加密后，可以看出， 混合加密圖像的灰度均勻性明顯高于原始圖像， 加密圖像的安全性更高。

5.3? ?相鄰像素的相關(guān)系數(shù)

圖像相鄰像素的相關(guān)性與圖像加密的安全性呈反比［14］，如公式（6）相關(guān)性計(jì)算。

[ρx，y=cov（x，y）D（x）+D（y）] （6）

其中：

[E（x）=1Ni=1Nxi]

[D（x）=1Ni=1N[xi-E（x）]2]

[cov（x，y）=E[（x-E（x））（y-E（y））]]

選取[N=10000]，經(jīng)計(jì)算得出加密圖像的水平方向、垂直方向及對(duì)角方向像素之間的相關(guān)系數(shù)分別為0.0078、0.0363及0.0053，說(shuō)明像素之間沒(méi)有相關(guān)性，驗(yàn)證了算法的有效性。

圖12（a）（c）（e）為原始圖像像素水平、垂直及對(duì)角方向像素之間的相關(guān)性，原始圖像像素之間呈線性關(guān)系，圖12（b）（d）（f）為改進(jìn)的混合加密圖像像素間的相關(guān)性，說(shuō)明像素之間沒(méi)有相關(guān)性。

從表2 可看出其算法相比于其他算法加密的信息相關(guān)性較低。

6? ? ? 結(jié)論

本文構(gòu)建一種糾纏項(xiàng)含有指數(shù)及正余弦項(xiàng)的新型糾纏混沌系統(tǒng)，分析混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖及功率譜等，驗(yàn)證了系統(tǒng)豐富的動(dòng)力學(xué)特性。在系統(tǒng)理論分析基礎(chǔ)上， 基于電路仿真軟件Multisim14設(shè)計(jì)了該混沌電路，電路仿真結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果的統(tǒng)一性驗(yàn)證了該方法的可實(shí)現(xiàn)性。最后，將糾纏混沌系統(tǒng)應(yīng)用于混合圖像加密算法中，并對(duì)其進(jìn)行了數(shù)值仿真，仿真結(jié)果驗(yàn)證了該混合加密算法在實(shí)際工程中有很好的應(yīng)用價(jià)值。

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