張衛(wèi)明

圓的概念和性質(zhì)多，圖形之間位置復(fù)雜。同時(shí)，圓與三角形、四邊形的綜合應(yīng)用能力考查要求高，如果對(duì)圓的概念本質(zhì)理解不夠透徹，便會(huì)在應(yīng)用時(shí)混淆相似的性質(zhì)；對(duì)性質(zhì)條件內(nèi)容疏忽，就不能形成正確的數(shù)學(xué)幾何思維。下面舉例剖析圓中常見(jiàn)的幾個(gè)易混淆的概念，希望對(duì)同學(xué)們掌握?qǐng)A的內(nèi)容有所幫助。

一、對(duì)圓軸對(duì)稱(chēng)性理解模糊

例1 下列命題中，正確的是（）。

A.平分弦的直線，必垂直于弦

B.垂直于弦的直線，必經(jīng)過(guò)圓心

C.垂直平分弦的直線必平分弦所對(duì)的弧

D.平分弦的直徑必垂直于弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧

【解析】對(duì)于本題，可以在紙上畫(huà)出草圖，利用排除法或舉反例進(jìn)行判斷。平分弦的直線不一定垂直于這條弦，故A錯(cuò)誤；垂直于弦的直線不一定過(guò)圓心，故B錯(cuò)誤；當(dāng)這條弦為直徑時(shí)，兩條直徑不一定垂直，故D錯(cuò)誤；由垂徑定理可得C正確。故選C。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理的運(yùn)用，需要借助圓的軸對(duì)稱(chēng)性才能真正理解垂徑定理。對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來(lái)說(shuō)，如果一條直線具備：①經(jīng)過(guò)圓心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直徑），④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，⑤平分弦所對(duì)的劣弧，這五個(gè)條件中的任何兩個(gè)，那么也就具備其他三個(gè)條件。

二、圓中位置關(guān)系分類(lèi)不清

例2 已知⊙O的直徑CD=10，AB是⊙O的弦，AB=8，且AB⊥CD，垂足為M，則AC的長(zhǎng)為（）。

A.[25] B.[45]

C.[25]或[45] D.[23]或[43]

【解析】連接OA。

∵AB⊥CD，

∴AM=BM=4。

在Rt△OAM中，OA=5，

∴OM=[OA2-AM2]=[52-42]=3。

如圖1，CM=8，

∴AC=[AM2+CM2]=[82+42]=[45]；

如圖2，CM=2，

∴AC=[AM2+CM2]=[42+22]=[25]。

故選C。

【點(diǎn)評(píng)】由AB⊥CD，根據(jù)垂徑定理易得AM=4，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出OM=3。由于題目沒(méi)有給出具體的圖形，對(duì)于點(diǎn)C與點(diǎn)M的位置需要分類(lèi)討論：點(diǎn)C與點(diǎn)M位于圓心異側(cè)；點(diǎn)C與點(diǎn)M位于圓心同側(cè)。

三、切線判定方法選擇偏頗

例3 如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O在邊BC上，以點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)頂點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D，說(shuō)明：直線AB是⊙O的切線。

【解析】如圖4，連接OD、CD。

∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴AC=[12]AB，∠A=60°。

∵D為AB的中點(diǎn)，

∴BD=AD=[12]AB。

∴AD=AC。

∴△ADC是等邊三角形。

∴∠ADC=∠ACD=60°。

∵∠ACB=90°，

∴∠DCO=30°。

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠DCO=30°。

∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=90°，

即OD⊥AB。

又∵OD過(guò)圓心O，

∴直線AB是⊙O的切線。

【點(diǎn)評(píng)】切線的證明是中考必考題型。對(duì)于圓的切線的證明，主要有以下兩種方法：一是切線的判定定理，二是借助“d=r”。兩種方法要注意區(qū)分，當(dāng)題目提到有公共點(diǎn)時(shí)選判定定理，連半徑，證垂直；當(dāng)條件或圖形中沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)（或沒(méi)有標(biāo)注字母），則過(guò)圓心作直線的垂線段，證“d=r”。

同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中，要重視概念的學(xué)習(xí)，理解概念形成和應(yīng)用的條件，掌握概念之間的轉(zhuǎn)換條件，這樣才能做好知識(shí)點(diǎn)之間的融會(huì)貫通，學(xué)數(shù)學(xué)會(huì)越學(xué)越輕松。

（作者單位：江蘇省鹽城市鹿鳴路初級(jí)中學(xué)）