陳劭博，嚴佳民，卜奎晨

帶滑塊的太陽帆航天器剛柔耦合動力學建模與姿態(tài)控制

陳劭博1，嚴佳民2，卜奎晨1

（1. 中國運載火箭技術研究院，北京，100076；2. 南京航空航天大學，南京，210016）

為了對滑塊控制的太陽帆航天器的姿態(tài)控制進行研究，利用動量矩定理建立了太陽帆的剛柔耦合動力學方程，并利用非約束模態(tài)方法，求得了可解的控制學方程，在此基礎上提出了90°定向任務這一新的姿態(tài)控制任務情景。以90°定向任務為切入點，對帶滑塊的太陽帆航天器姿態(tài)-控制非線性耦合的特點進行了討論，并針對其給出了一種能夠適應這種非線性耦合特征的變增益PD控制器。對90°定向任務進行了仿真，結果表明，當姿態(tài)角接近90°時，姿態(tài)-控制器非線性耦合程度較強，定增益PD控制器控制效果差。此時，變增益PD控制能夠對非線性特性凸顯，對定增益PD控制難以實現(xiàn)的90°定向任務進行精確控制，在可接受的控制時間內(nèi)將姿態(tài)角定向為90°。

太陽帆航天器；非約束模態(tài)；PD控制；非線性控制

0 引 言

太陽帆航天器作為一種新型航天器，近年來受到了學者廣泛重視。相比于傳統(tǒng)的工質推進航天器，太陽帆依靠大且輕薄的帆膜反射太陽光，從入射的太陽光中吸取沖量，是現(xiàn)今研究中唯一不依靠噴射工質產(chǎn)生反作用力的航天器推進方式。太陽帆的加速度來源為太陽光，只要其能接收到太陽光的照射，就能產(chǎn)生持續(xù)的加速度，經(jīng)過較長時間的加速，太陽帆可以達到依靠傳統(tǒng)工質推進難以達到的高速度，能實現(xiàn)如懸浮軌道等一系列傳統(tǒng)航天器難以實現(xiàn)的軌道規(guī)劃[1-3]。

與通常的衛(wèi)星、探測器等傳統(tǒng)航天器不同的是，太陽帆航天器具有非常大的尺寸。雖然質量通常不大，但由于帆膜的巨大尺寸，轉動慣量非常大，導致其剛度較差，在進行姿態(tài)控制和變軌的過程中容易出現(xiàn)顫振等問題。傳統(tǒng)的姿態(tài)控制方法已經(jīng)不適用于太陽帆的姿態(tài)控制。

在眾多太陽帆姿態(tài)控制機構中，滑塊控制具有控制機構簡單、輸出控制力矩大等優(yōu)點，同時不影響有效載荷與太陽帆本體之間相對位置，利于實現(xiàn)對特定位置定向和對特定目標跟蹤，具有較好的應用前景。

1 研究現(xiàn)狀

太陽帆航天器是一個典型的非線性系統(tǒng)。其特點是控制器能輸出的最大力矩隨太陽角的變化而變化。尤其對于通過改變質心位置來進行姿態(tài)控制的帶滑塊太陽帆航天器而言，控制機構所能輸出的轉動力矩的大小與太陽帆航天器質心相對壓心的偏離程度和太陽帆航天器所受光壓大小相關。滑塊作為控制器的執(zhí)行機構只能控制太陽帆航天器質心相對于壓心的偏離程度，并不能直接控制太陽帆航天器所受光壓大小，而太陽帆航天器帆面所受光壓大小只與姿態(tài)及該點的太陽光密度有關。若定義太陽光矢量與太陽帆面矢量所夾的銳角為太陽角，該角的對角為姿態(tài)角，隨著太陽角增大，太陽帆航天器的迎光面積變小，單個光子能夠提供給太陽帆航天器的沖量也變小，所能實際輸出的控制力矩越小。當太陽帆帆面與太陽光矢量平行時，控制器幾乎無法提供任何控制力矩。若實際飛行任務中需要使太陽帆定向于太陽角接近90°的姿態(tài)，如基于太陽帆的太空望遠鏡需要對北極點附近的衛(wèi)星進行精確定向，或者太陽帆在深空機動變軌途中需要暫時性地關閉推力時，就對太陽帆的控制系統(tǒng)性能提出了較高的要求。

中國學者針對太陽帆姿態(tài)控制技術進行了一些研究。劉家夫[4]等利用矢量力學和非約束模態(tài)法建立了帶控制桿的太陽帆航天器的剛柔耦合動力學方程，設計了俯仰軸Bang-Bang PD控制器，對運行在超地球同步轉移軌道上的對地定向任務進行了模擬。崔乃剛[5]針對同時具有控制桿和控制小帆的太陽帆航天器，設計了一種基于Bang-Bang控制的PD控制器，對運行在超地球同步轉移軌道上的對地定向任務進行了模擬。吳利平[6]等針對滑塊控制的太陽帆航天器，設計了一種自適應抗擾控制律并進行了模擬分析。張震亞[7]等基于拉格朗日力學，在不考慮太陽帆結構彈性振動的條件下建立了基于滑塊控制的太陽帆的姿態(tài)動力學方程，利用變增益LQR控制和非線性變增益PD控制設計了雙環(huán)控制器，并對行星際軌道轉移任務進行了模擬。

上述文獻雖都設計了基于不同控制理論的姿態(tài)控制律，并在仿真中取得了較好的控制結果，但其進行仿真時大都基于目標姿態(tài)角為35°時的任務情景（此時能為繞太陽公轉的太陽帆航天器提供最大的航向推進力），并未對太陽帆在太陽角在90°附近精確定向的任務情景單獨進行研究和仿真，所提出的控制律在90°附近的控制品質并不能得到有效的保證。

以張震亞等設計的變增益LQR控制器舉例，該控制器基于增益調(diào)度，每間隔10°姿態(tài)角取特征點求取狀態(tài)反饋矩陣。之后采用加權算法根據(jù)特征點的狀態(tài)反饋矩陣求取每一點的實時反饋矩陣。這種方法針對姿態(tài)角不接近90°的情況下顯然是有效的，但當目標姿態(tài)角接近90°的情況下時，基于最優(yōu)LQR的控制器對于輸出控制力矩隨姿態(tài)角余弦下降而下降的特性缺乏預見性。比如，目標姿態(tài)角為90°時，變增益LQR控制器在姿態(tài)角為70°時將控制力矩調(diào)節(jié)為反向最大，控制器“認為”此時開始減速就可以在姿態(tài)角為90°附近時實現(xiàn)太陽帆的剎車，但這個決策是控制器基于姿態(tài)角為70°時刻系統(tǒng)狀態(tài)所作出的。也就是說，變增益LQR控制器“以為”接下來的控制過程中滑塊所能輸出的最大控制力矩都可以保證姿態(tài)角70°時的狀態(tài)。但實際上，隨著姿態(tài)角接近90°，控制器的控制力矩輸出能力也在同步下降，這個輸出能力的下降在姿態(tài)角接近90°附近時尤其明顯。如：當姿態(tài)角從35°變化到45°，姿態(tài)變化了10°，控制器能輸出的最大力矩下降了25.48%。但當姿態(tài)角從75°變化到85°時，姿態(tài)同樣變化了10°，控制器所能輸出的最大控制力矩卻下降了88.66%。這種控制力矩隨姿態(tài)的非線性衰減是變增益LQR控制器所不能預見的。當控制過程運行在姿態(tài)角較小的區(qū)間時，控制全程的姿控非線性耦合程度不強，靠著控制器的魯棒性尚且能控制住。但當姿態(tài)角接近90°時，控制力矩的衰減對姿態(tài)角變化非常敏感，姿態(tài)角一旦稍有變化就會導致控制力矩的很大改變。所以，在未針對90°附近區(qū)間進行針對性優(yōu)化的前提下，采用變增益LQR控制器的太陽帆在面對90°附近的定向任務時有可能會“剎車太晚”，從而導致姿態(tài)角在90°附近大幅震蕩，控制品質不佳。圖1為最大輸出控制力矩隨姿態(tài)角衰減的關系。

圖1 最大輸出控制力矩隨姿態(tài)角衰減的關系

在接下來的研究中，本文采用滑塊作為太陽帆的姿態(tài)控制執(zhí)行器，將太陽帆撐桿視作歐拉-伯努利梁模型，建立了剛柔耦合動力學方程，并從機理上分析了太陽帆控制力矩與姿態(tài)的非線性耦合問題，給出了一個可以應用于90°定向問題的變增益PD控制器。

2 太陽帆航天器的剛柔耦合動力學方程

2.1 太陽帆航天器力學模型、相關假定及坐標系定義

太陽帆相關坐標系、各構件的編號和相關姿態(tài)角如圖2所示。太陽帆航天器由太陽帆航天器帆面系統(tǒng)和有效載荷系統(tǒng)組成。前者包括帆面、支撐桿、4個控制滑塊（位于支撐桿上）和相關器件。后者主要包括中心剛體（有效載荷）部件。從與軸正方向重合的撐桿開始，沿逆時針方向4根撐桿依次命名為撐桿1、2、3、4，其上的滑塊也依次命名為滑塊1、2、3、4。滑塊可以在撐桿上限定的區(qū)間內(nèi)自由運動。

圖2 太陽帆航天器示意

太陽-地球公轉慣性系：為地球質心；平行于太陽指向地球的連線，指向太陽系外側；垂直于，指向地球繞太陽公轉角速度方向。呈右手正交系。

圖3 太陽角與姿態(tài)角示意

在接下來的研究中，為簡化推導與計算，忽略滑塊與支撐桿的相互作用，將帆面的質量均勻等效到4個支撐桿上。假設有效載荷位于航天器中心（中心剛體），不計支撐桿的縱向變形，不計撐桿在面內(nèi)的振動。此外，本文只考慮太陽帆航天器模型在面內(nèi)繞的運動，即只考慮太陽帆俯仰軸上的控制。偏航軸的控制與俯仰軸邏輯一致，本文不再單獨研究，只考慮軸上的兩撐桿及其上的滑塊作用，此時，太陽帆模型可被簡化為圖4的形式。

圖4 太陽帆俯仰軸簡化模型

2.2 太陽帆航天器姿態(tài)動力學建模

將式（1）標量化處理，可得：

其中，

圖5為太陽帆航天器復合質心位置以及撐桿彈性位移示意。

2.3 太陽帆航天器帆面支撐桿振動方程

在太陽帆振動模型的建模過程中，忽略太陽帆航天器帆面與支撐桿之間相互作用，將2個支撐桿視為懸臂歐拉-伯努利梁模型。此外，忽略滑塊與支撐桿之間的相互作用，忽略滑塊隨撐桿振動對動力學模型的影響，忽略梁的軸向變形，只考慮梁的橫向振動位移。

3 太陽帆航天器動力學方程的剛柔耦合

為了簡化計算，在接下來的推導過程中對模型進行一些簡化。

最近有機會看到何軍為慶祝廣西壯族自治區(qū)成立六十周年創(chuàng)作的八幅國畫作品，不禁有些驚訝！這些繪畫作品的元素全部來自廣西，有廣西港口題材、廣西少數(shù)民族題材，基本每幅國畫尺寸都達到兩米多，畫面復雜，氣勢宏大，而且都是在這一年多時間里創(chuàng)作的。藝術源于生活，聽說為了創(chuàng)作這些作品，他多年前就注重素材的積累，一直收集廣西港口、少數(shù)民族資料。多次到防城港、欽州、北海、融水、三江、龍勝、那坡、武鳴等地采風，體驗生活，了解廣西港口的發(fā)展成就和少數(shù)民族風情。從這一系列的國畫作品來看，可以讀出畫者對家鄉(xiāng)的熱愛，對廣西的贊美，讓廣西絢麗多姿的民族文化和發(fā)展繁榮的時代風貌躍然紙上。

撐桿1和撐桿3在面內(nèi)的橫向振動位移以軸為對稱軸，可分為正對稱和反對稱兩個分量。其中撐桿1、撐桿3振動的正對稱分量對太陽帆航天器點的動量矩相互抵消，反對稱分量對太陽帆航天器點的動量矩相互疊加，故在式（7）中只考慮撐桿橫向振動的反對稱分量影響。于是有：

此時，式（7）可簡化為

使用假設模態(tài)法[8]，將懸臂梁振動位移和轉角離散成振型函數(shù)和模態(tài)函數(shù)兩部分：

于是有：

聯(lián)立式（7）、式（8）、式（10）至式（12），有：

式中

4 變增益PD控制器設計與仿真

4.1 任務定義與相關參數(shù)假設

定義俯仰通道90°定向任務：假設太陽帆航天器運行在地球同步軌道，軌道偏心率為0，軌道平面與黃道面平行，該任務的控制目的是使太陽帆航天器姿態(tài)角（太陽角）定向于90°，使太陽帆航天器始終側對太陽；太陽帆航天器入軌時姿態(tài)角為0，位置角為 2.84 rad。初始狀態(tài)時，帆面支撐桿的各階振動的模態(tài)位移亦為0。

俯仰通道90°定向任務從太陽帆所受光壓最大處起始，直到光壓最小處結束，完整經(jīng)歷了可用控制力矩隨姿態(tài)角非線性變化的全過程，是定向任務中最難實現(xiàn)的工況，可以較好驗證控制器的性能。

太陽帆航天器結構與幾何參數(shù)定義見表1。

表1 太陽帆航天器結構與幾何參數(shù)

Tab.1 Structure and geometric parameters of solar sail spacecraft

太陽帆航天器結構與幾何參數(shù)參數(shù)值 方形太陽帆航天器的尺寸（正方形邊長）/m100 太陽帆總面積/m210000 太陽帆帆布質量/kg1.95 太陽帆懸臂梁質量總和/kg28.28 太陽帆帆面系統(tǒng)總質量/kg30.23 懸臂梁的等效線密度/(kg·m-1)0.071534 太陽帆有效載荷質量/kg60 滑塊質量/kg10 太陽帆效率2 懸臂梁楊氏模量/MPa124 滑塊可活動的長度/m±12 支撐桿懸臂梁截面慣性矩/m42.145×10-8 懸臂梁的抗彎剛度/（N· m-2）2660 一根懸臂梁質量/kg7.07

4.2 變增益PD控制器設計與仿真

將90°定向任務分解為前、中、后3個階段，分別進行有針對性的補償，構建：

其中，

圖6 太陽帆航天器定/變增益PD控制90°定向偏差對比

Fig.6 Comparison chart of 90° orientation deviation achieved by constant/variable gain PD controller for solar sail spacecraft

圖7 太陽帆航天器變增益PD控制實現(xiàn)90°定向的懸臂梁前二階模態(tài)位移曲線

從位移量級上看，一階模態(tài)位移比二階模態(tài)約大3個數(shù)量級，符合振動力學理論預測。在控制過程初期階段，系統(tǒng)由靜轉動，并且直接以最大控制力矩驅動，對懸臂梁系統(tǒng)造成了較大的沖擊。在控制的中后期由于控制力矩的減小以及其變化趨于平滑，懸臂梁系統(tǒng)所受激勵改變，其兩階模態(tài)坐標的位移曲線也隨之平滑起來。由此可見，相較基于Bang-Bang PD控制策略靠小帆控制的太陽帆航天器而言，帶滑塊的太陽帆航天器由于其控制力矩變化相對平滑，對懸臂梁的激勵效果較弱，對抑制懸臂梁的振動效果較好[4]。

5 結束語

本文針對太陽帆航天器剛柔耦合動力學建模與控制問題進行了研究。針對太陽帆可用控制力矩隨姿態(tài)角非線性變化的特點，設計了變增益的PD控制器，并分別利用定增益PD控制器和變增益PD控制器模擬了太陽帆航天器的90°定向任務。文中提出的變增益PD控制器在不過分犧牲系統(tǒng)快速性和對其他類型的姿態(tài)控制任務的兼容性條件下，成功實現(xiàn)了90°定向任務的控制。

滑塊控制作為太陽帆航天器的一種重要的控制方式，具有提供的控制力矩大、結構簡單等優(yōu)點，搭配設計可靠的控制策略，在太陽帆未來的實際應用中或具有較大的前景。

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Dynamic Modeling and Attitude Control of Rigid-Flexible Coupling for Solar Sail Spacecraft with Slider Controller

CHEN Shaobo, YAN Jiamin, BU Kuichen

(1. China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing, 100076; 2. Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing, 210016)

In order to study the attitude control of solar sail spacecraft controlled by sliding block, the rigid flexible coupling dynamic equation of solar sail is established, and the solvable control equation is obtained by using the unconstrained mode method. On this basis, a new attitude control mission named 90°orientation mission is proposed. Taking the 90°orientation mission as the breakthrough point, the nonlinear coupling characteristics of attitude control of solar sail spacecraft with slider are discussed, and a variable gain PD controller which can adapt to the nonlinear coupling characteristics is proposed. The simulation results show that when the attitude angle is close to 90°, the nonlinear coupling degree of attitude controller is high, and the control effect of constant gain PD controller is poor. At this time, the variable gain PD controller can accurately control the 90°orientation task which is difficult to achieve by the constant gain PD controller, and the attitude angle can be oriented to 90°within the acceptable control time.

solar sail spacecraft; unconstrained mode; PD controller; nonlinear control

2097-1974(2023)02-0005-06

10.7654/j.issn.2097-1974.20230202

V41

A

2021-02-05；

2021-04-14

陳劭博（1998-），男，碩士研究生，主要研究方向為制導與控制。

嚴佳民（1972-），男，研究員，主要研究方向為飛行器總體設計。

卜奎晨（1976-），男，博士，研究員，主要研究方向為飛行器總體設計。