周雪梅

數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象，能在熟悉的具體情境抽象數(shù)量關(guān)系，經(jīng)歷探索規(guī)律的過程，形成模型意識，提升解決問題的能力。五年級學(xué)生第一次正式學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)，感知含有字母的式子既能表示一個數(shù)量也能表示兩個量之間的數(shù)量關(guān)系，并通過對具體情境分析、抽象出數(shù)量關(guān)系，從而解決實際問題，實現(xiàn)從算術(shù)思維向代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變。但是學(xué)生受算術(shù)思維定式的影響、找不到數(shù)量關(guān)系和書寫格式要求煩瑣等諸多原因，學(xué)生不喜歡用方程來解決問題，不管從學(xué)生小學(xué)與初中銜接還是從學(xué)生思維發(fā)展的需要，教師都應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生體會列方程解決問題具有變逆向思考為順向思考的優(yōu)勢，豐富解題策略，發(fā)展思維的靈活性。以下是筆者在教學(xué)用方程解決問題時的幾點思考：

一、利用畫圖來找題中的等量關(guān)系

畫圖是學(xué)生對現(xiàn)實世界在頭腦中的最直觀的反映，所以教科書充分利用主題圖、插畫等吸引學(xué)生，喚起學(xué)生已有生活經(jīng)驗，慢慢過渡到文字。當(dāng)教學(xué)五年級用方程解決問題時，找等量關(guān)系式是關(guān)鍵，有些數(shù)學(xué)問題數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，學(xué)生一時不易找出隱含的等量關(guān)系，導(dǎo)致列不出方程。這時，學(xué)生不妨從熟悉的情境出發(fā)，簡單的數(shù)量關(guān)系入手，由淺入深，循序漸進(jìn)。教師引導(dǎo)學(xué)生邊讀題邊回到“畫”里面去，在文字語言所提供的材料基礎(chǔ)上，運用感知覺和表象，將學(xué)生讀到的信息“畫”出來，從而有效地幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系。

片段一：

師：希望小學(xué)五年級有兩個班，五（1）班有30人，五（2）班人數(shù)是五（1）班人數(shù)的2倍少10人，求五（2）班有多少人？

首先，教師牢牢抓住兩個問題“是在以誰的數(shù)量為標(biāo)準(zhǔn)，五（1）班和五（2）班存在什么樣的數(shù)量關(guān)系”，引導(dǎo)學(xué)生把這兩個問題“畫”出來，并進(jìn)一步規(guī)范畫圖時，先畫“標(biāo)準(zhǔn)量”或者“1倍數(shù)”。

分析題中“標(biāo)準(zhǔn)量”即“1倍數(shù)”是五（1）班的人數(shù)，用一小段線段表示，五（2）班人數(shù)是這樣的兩小段少10人（線段長度選取合適，用虛線表示），看圖找出題中的數(shù)量關(guān)系，五（2）班人數(shù)是五（1）人數(shù)的2倍少10人，列式：30×2-10=50（人），解決問題。

教師再次更改為題2：希望小學(xué)五年級有兩個班，五（1）班有30人，五（1）班人數(shù)是五（2）班人數(shù)的2倍少10人，求五（2）班有多少人？

學(xué)生畫圖，此時題中“標(biāo)準(zhǔn)量”或者“1倍數(shù)”變成了五（2）班，畫圖時先畫標(biāo)準(zhǔn)量五（2）班（1倍數(shù)），再畫標(biāo)準(zhǔn)量的2倍，最后在線段圖上標(biāo)注出少的10人（線段長度合適，用虛線），此處需要給學(xué)生足夠時間去辨析哪一段是表示五（1）班人數(shù)30人，通過線段圖很容易找到其中隱藏的數(shù)量關(guān)系，五（1）班人數(shù)是五（2）班人數(shù)的2倍減10人。此時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“標(biāo)準(zhǔn)量”即“1倍數(shù)”不知道是多少，自然而然想到用字母x來表示，列出方程解決問題。

最后，再次對比題2和題3的異同。不同點：“標(biāo)準(zhǔn)量”不同；相同點：要求的量都是“標(biāo)準(zhǔn)量”的2倍少10人。通過畫圖，學(xué)生難以理解的數(shù)量關(guān)系一下子浮出水面，在圖中對比加深數(shù)量關(guān)系的理解，克服找不到數(shù)量關(guān)系的困難。

二、利用畫圖對比優(yōu)化解題策略

當(dāng)我們通過畫圖把數(shù)量關(guān)系找出來后，不少同學(xué)覺得用算術(shù)法也能解決，何必去寫格式要求煩瑣的方程呢？那就讓我們的同學(xué)試試用算術(shù)法解決題3，再談?wù)勏敕?。其實，算術(shù)解法與方程解法既有聯(lián)系，又有區(qū)別。兩者最明顯的區(qū)別在于：方程解法中未知數(shù)可以參加列式與運算，而算術(shù)解法中則不能。正因為如此，算術(shù)法需要用到倒推，逆向思考，思維難度比較大，學(xué)生容易與相應(yīng)的順向思考問題（求比一個數(shù)的幾倍多或者少幾的數(shù)是多少）相混淆，前測錯誤率高達(dá)68%。請學(xué)生看圖說說什么樣的題適合用算術(shù)法，什么樣的題用方程更好？通過小組交流討論后發(fā)現(xiàn)，標(biāo)準(zhǔn)量知道的情況下，適合用算術(shù)解；標(biāo)準(zhǔn)量不知道的情況下就設(shè)標(biāo)準(zhǔn)量為x，帶著x按照數(shù)量關(guān)系列出方程解出來就行，有明顯的優(yōu)越性。

回顧反思環(huán)節(jié)，也可以讓學(xué)生看著自己畫的圖來描述已知信息和問題，檢驗一下自己對題目的理解是否有偏差，從而培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

三、利用畫圖感悟數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系

隨著我們對知識的不斷積累，生活經(jīng)驗的增加，學(xué)生思維水平也開始從具體慢慢轉(zhuǎn)向抽象，現(xiàn)實生活中一些稍微復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系也可以通過畫圖和舊知溝通聯(lián)系，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)之間的密切聯(lián)系。下面以六年級利用分?jǐn)?shù)解決問題為例。

片段二：

師出示題1：希望小學(xué)五年級有兩個班，五（1）班有22人，五（2）班人數(shù)比五（1）多。五（2）班有多少人？

學(xué)生開始畫圖，標(biāo)準(zhǔn)量是五（1）班人數(shù)（已知），標(biāo)準(zhǔn)量看作單位“1”，平均分成2份，五（2）班比五（1）多五（1）的，即有3份，相當(dāng)于知2份求3份。

接著，教師更改題2：希望小學(xué)五年級有兩個班，五（1）班有33人，五（1）班人數(shù)比五（2）多。五（2）班有多少人？

學(xué)生畫圖，標(biāo)準(zhǔn)量是五（2）班人數(shù)（未知），標(biāo)準(zhǔn)量看作單位“1”，平均分成2份，五（1）班比五（2）多五（2）的，即有3份，相當(dāng)于知3份求2份。

甚至到后面用比、百分?jǐn)?shù)解決問題時，只要學(xué)生學(xué)會畫圖，很容易發(fā)現(xiàn)兩個量之間的數(shù)量關(guān)系，無論哪種表達(dá)方式，只要找準(zhǔn)“標(biāo)準(zhǔn)量”和數(shù)量關(guān)系，知標(biāo)準(zhǔn)量用算術(shù)法，不知標(biāo)準(zhǔn)量，優(yōu)先用方程快速列出式子或方程。通過畫圖，新舊知識之間構(gòu)架一座橋梁，正所謂一通百通，學(xué)生對倍、比、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、正（反）比例等數(shù)量關(guān)系有了更深刻的認(rèn)識，體會數(shù)量關(guān)系之間的緊密聯(lián)系，對于用方程解決問題，學(xué)生通過畫圖，思維由“混沌”走向“清晰”，體驗到了“模型”思想的無限魅力。

在教學(xué)中，筆者經(jīng)常把題目的類型、結(jié)構(gòu)進(jìn)行對比，讓學(xué)生從一個題上升到一類題再到不同類型的題，通過畫圖，厘清數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)一種模型多種解法，再進(jìn)行優(yōu)化后，留下適合自己的解法。學(xué)生今后不一定記得很多知識點，唯有刻在他們頭腦中的解題方法和策略、數(shù)學(xué)思想和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度能在他們身上留下深深的印記，最終達(dá)到立德樹人的教育目的。