孫加亮 孫佳昊 金棟平 劉福壽

摘要： 針對(duì)一種共機(jī)架式充氣自旋結(jié)構(gòu)，對(duì)其進(jìn)行精確動(dòng)力學(xué)建模與動(dòng)力學(xué)特性分析。分別采用絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)描述的縮減殼單元和自然坐標(biāo)法建立柔性充氣管與剛體衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)模型，基于拉格朗日乘子法將運(yùn)動(dòng)學(xué)約束引入系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，建立其剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型?？紤]充氣自旋結(jié)構(gòu)在平衡構(gòu)型處的線性振動(dòng)，通過(guò)坐標(biāo)變換推導(dǎo)充氣結(jié)構(gòu)在勻速自旋下的特征方程，采用頻率平移方法計(jì)算其共振頻率與模態(tài)振型，并利用有限元軟件驗(yàn)證其正確性。研究充氣自旋結(jié)構(gòu)共振頻率隨轉(zhuǎn)速和充氣氣壓變化的規(guī)律，仿真結(jié)果表明，自旋轉(zhuǎn)速與充氣氣壓等因素會(huì)引起共振頻率曲線的轉(zhuǎn)向、交叉以及模態(tài)切換等現(xiàn)象，從而影響充氣自旋結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞： 充氣自旋結(jié)構(gòu)；動(dòng)力學(xué)特性；剛?cè)狁詈希唤^對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法；自然坐標(biāo)法

中圖分類號(hào)： O313.7 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2023）03-0662-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2023.03.008

引 言

空間充氣結(jié)構(gòu)是一種以柔性薄膜材料制造，可以充氣展開的太空結(jié)構(gòu)，其相對(duì)于傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)具有許多優(yōu)點(diǎn)，例如可收納體積小、質(zhì)量輕和成本低等［1？2］。充氣結(jié)構(gòu)在展開鎖定后產(chǎn)生的振動(dòng)會(huì)對(duì)負(fù)載模塊的性能造成較大的影響，因此需要研究充氣結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性。

國(guó)內(nèi)外對(duì)充氣結(jié)構(gòu)的展開控制、展開穩(wěn)定性等方面以理論建模、數(shù)值仿真和地面試驗(yàn)等方法做了很多研究［3？6］。例如，衛(wèi)劍征等［7］使用非接觸的測(cè)量方式模擬空間微重力環(huán)境，避免了地面重力的影響，分析了不同的充氣流量、結(jié)構(gòu)尺寸效應(yīng)以及端面載荷對(duì)動(dòng)力學(xué)特性的影響。劉飛等［8］研究了材料非線性對(duì)充氣圓環(huán)動(dòng)力學(xué)特性的影響，并且對(duì)其模態(tài)進(jìn)行了參數(shù)研究。Yu 等［9］通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了具有碳纖維增強(qiáng)聚合物支撐的充氣式包裹反射器天線，研究發(fā)現(xiàn)內(nèi)部氣壓和重力的改變會(huì)顯著改變結(jié)構(gòu)的固有頻率、模態(tài)形狀和模態(tài)阻尼比。San 等［10］建立了充氣式反射板的組裝形狀，使用非線性有限元法和子空間迭代法對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析。衛(wèi)劍征等［11］利用蘭佐斯法求解了太陽(yáng)能陣列結(jié)構(gòu)的模態(tài)，分析得出熱固化方法會(huì)對(duì)充氣桁架的低頻振動(dòng)具有良好的抑制效果。Wei 等［12］提出了一種具有四個(gè)三角膜的可展開的帆，通過(guò)動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)研究了結(jié)構(gòu)的模態(tài)性質(zhì)。Zhao 等［13］提出了一種基于平衡矩陣?yán)碚摰膬?nèi)壓求解零應(yīng)力狀態(tài)的計(jì)算方法，建立了簡(jiǎn)化可膨脹膜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了可充氣膜結(jié)構(gòu)的有限元模型。

充氣結(jié)構(gòu)在地面開展實(shí)驗(yàn)受到的干擾因素較多，實(shí)驗(yàn)結(jié)果不具有足夠的說(shuō)服力，而數(shù)值仿真可以很好地替代實(shí)驗(yàn)，對(duì)充氣結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模、計(jì)算和優(yōu)化。精確的動(dòng)力學(xué)建模對(duì)研究充氣結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性十分重要。絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法（Absolute Nodal Co？ordinate Formulation，ANCF）相對(duì)傳統(tǒng)方法更適用于解決結(jié)構(gòu)大變形、大范圍運(yùn)動(dòng)等非線性耦合問題。以充氣管為基本構(gòu)件的結(jié)構(gòu)，適合用板殼類型的二維彈性體進(jìn)行建模［14］。在單元研究方面，Liu 等［15］通過(guò)殼體單元和母單元之間的映射關(guān)系提出了 AN？CF 縮減殼單元，該單元相比全參數(shù)殼單元可以有效地避免剪切閉鎖問題。Pappalardo 等［16］從一個(gè)統(tǒng)一的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述開發(fā)了 ANCF 三角形板殼單元，該單元可同時(shí)適用于板、殼結(jié)構(gòu)，通過(guò)與常規(guī) ANCF 板單元、常規(guī)三節(jié)點(diǎn)線性板單元和六節(jié)點(diǎn)二次三角形板單元的比較，分析了所提出的 ANCF 板殼單元的性能。Wang 等［17］基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法提出了兩個(gè)三節(jié)點(diǎn)三角形薄板/殼單元，以將全局梯度變換到局部梯度的方式，避免了與面積梯度相關(guān)的不連續(xù)的問題，并驗(yàn)證了所提單元的收斂性和精度。Shabana等［18］通過(guò)應(yīng)變裂變法有效緩解了 ANCF 彎曲板單元的泊松鎖定問題。Chen 等［19］提出了一種無(wú)網(wǎng)格徑向點(diǎn)插值方法，用于 ANCF 描述的薄板單元，該方法可應(yīng)用于任意形狀板的離散化，并有效提高計(jì)算精度與收斂速度。Yu 等［20］提出了一種復(fù)合板單元，相對(duì)普通單元具有較高的精度，可以指導(dǎo)復(fù)合材料層合板的動(dòng)力學(xué)分析與設(shè)計(jì)。

在旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性分析方面，吳吉等［21］推導(dǎo)了基于 ANCF 描述的曲梁?jiǎn)卧謩e研究了旋轉(zhuǎn)角速度、初始曲率和集中質(zhì)量對(duì)帶集中質(zhì)量曲梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響，并分析了旋轉(zhuǎn)曲梁的頻率轉(zhuǎn)向和振型切換問題。Yu 等［22］研究了由 ANCF 縮減殼單元建模的圓柱殼的模態(tài)，研究了角速度和曲率對(duì)殼結(jié)構(gòu)模態(tài)的影響。Sun［23］基于 ANCF 建立了旋轉(zhuǎn)薄板的動(dòng)力學(xué)模型，研究了在考慮科氏力的情況下利用拓?fù)鋬?yōu)化消除旋轉(zhuǎn)矩形薄板的內(nèi)部共振。有學(xué)者利用 ANCF 和自然坐標(biāo)法（Natural Coordinate Formulation，NCF）對(duì)剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)進(jìn)行建模，計(jì)算展開結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，并提出控制方法以及分析展開過(guò)程中的穩(wěn)定性［24？28］。

本文的目的是研究充氣自旋結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，以及轉(zhuǎn)速、充氣氣壓等參數(shù)對(duì)充氣自旋結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響。為此，本文將基于 ANCF 和 NCF 分別對(duì)充氣結(jié)構(gòu)的柔性管和剛體衛(wèi)星進(jìn)行建模，隨后通過(guò)拉格朗日乘子法把約束引入動(dòng)力學(xué)方程，并推導(dǎo)了充氣結(jié)構(gòu)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)方程與特征方程，使用商業(yè)有限元軟件驗(yàn)證模型的正確性，最后研究轉(zhuǎn)速和充氣氣壓對(duì)充氣自旋結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性的影響。

1 充氣自旋結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

1. 1 物理描述

空間充氣式共機(jī)架結(jié)構(gòu)如圖 1 所示，由一個(gè)主衛(wèi)星、三個(gè)子衛(wèi)星和連接柔性充氣管組成?？紤]結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，取三分之一模型進(jìn)行建模與分析，如圖2 所示，主星的形狀為六棱柱，其高 h 為 1.8 m，底面邊長(zhǎng) l1為 0.35 m，質(zhì)量為 20 kg；柔性管的長(zhǎng) l2為 3 m，端面半徑 R 為 0.05 m，彈性模量 E 為 2×108 Pa，泊松比 ν 為 0.3，密度 ρ 為 1600 kg/m3；柔性管一端連接的子星為正方體，邊長(zhǎng) l3為 0.4 m，質(zhì)量為 5 kg。通過(guò)在子星上施加噴氣力，可驅(qū)使充氣結(jié)構(gòu)繞 Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)?？紤]到充氣可展開結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，充氣管端部節(jié)點(diǎn)與剛體對(duì)應(yīng)點(diǎn)通過(guò)鉸接約束。如圖 2 所示 ，O ？XYZ 為慣性坐標(biāo)系，O？xyz 為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系并固連在主星上。

1. 2 柔性充氣管建模

對(duì)于柔性充氣管建模，采取全參數(shù)殼單元會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的剪切閉鎖問題，所以考慮使用 ANCF 縮減殼單元［15］進(jìn)行建模。ANCF 縮減殼單元中面如圖 3所示。

如圖 3 所示，ANCF 縮減殼單元的每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含 9 個(gè)自由度，單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位置矢量 r 可表示為：

1. 3 剛體衛(wèi)星建模

將充氣結(jié)構(gòu)中的衛(wèi)星簡(jiǎn)化為剛體，采用自然坐標(biāo)法建模。該方法在建模過(guò)程中，始終在一個(gè)慣性系中描述，不需要進(jìn)行復(fù)雜的變化坐標(biāo)計(jì)算，而且可以簡(jiǎn)化多體間的約束方程，得到的質(zhì)量矩陣為常數(shù)矩陣，可以提高計(jì)算的效率。

自然坐標(biāo)法采用剛體上兩個(gè)固定點(diǎn)以及兩個(gè)非共面的單位矢量作為廣義坐標(biāo)，來(lái)描述剛體的空間運(yùn)動(dòng)。在剛體質(zhì)心處建立一個(gè)剛體連體系 C？ξηζ，描述剛體自然坐標(biāo)的局部坐標(biāo)系如圖 4 所示。那么，在全局坐標(biāo)系 O？XYZ 中，剛體的廣義坐標(biāo)可以表示為：

2 動(dòng)力學(xué)模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證充氣自旋結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型與特征值方程分析的正確性，通過(guò)兩個(gè)簡(jiǎn)單算例進(jìn)行驗(yàn)證，并與商業(yè)有限元軟件 ABAQUS 進(jìn)行了對(duì)比。

2. 1 驗(yàn)證算例 1：柔性管的動(dòng)力學(xué)特性

如圖 5 所示的柔性管模型，其幾何參數(shù)與材料參數(shù)與圖2中的柔性管一致 ，其邊界條件為自由邊界，無(wú)外載荷作用。在有限元軟件中，使用同樣的幾何參數(shù)和材料參數(shù)對(duì)管進(jìn)行建模，單元類型為薄殼單元 。表 1 和表2分別為有限元軟件和ANCF 縮減殼單元建模得到的柔性管的前5階共振頻率。

由表 1，2 可以看出，利用 ANCF 縮減殼單元對(duì)充氣管建模計(jì)算得到的共振頻率與通過(guò)有限元軟件得到的前 5 階共振頻率具有較好的一致性，驗(yàn)證了ANCF 縮減殼單元的正確性與收斂性。

2. 2 驗(yàn)證算例 2：剛?cè)狁詈先嵝怨艿膭?dòng)力學(xué)特性

分別用 ANCF？NCF 和 ABAQUS 對(duì)圖 2 所示的連接剛體衛(wèi)星的單充氣管結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，結(jié)構(gòu)與材料參數(shù)見 1.1 節(jié)，約束條件為中心剛體只能圍繞 Z 軸旋轉(zhuǎn)，不施加外載荷，結(jié)合表 2 以及計(jì)算效率方面的考慮，將充氣管單元?jiǎng)澐譃?60×6 縮減殼單元，計(jì)算剛?cè)狁詈辖Y(jié)構(gòu)的前 10 階頻率如表 3 所示。前 5 階振型如圖 6 所示。

對(duì)比兩種計(jì)算方法得到的充氣結(jié)構(gòu)前 10 階頻率，發(fā)現(xiàn)兩者的誤差絕對(duì)值均小于 5%，可以證明ANCF？NCF 建模方法計(jì)算共振頻率的準(zhǔn)確性。

通過(guò)觀察振型對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，兩種計(jì)算方法得到的振型基本一致，結(jié)構(gòu)前 5 階振動(dòng)主要包括以下形式：充氣管的彎曲振動(dòng)、充氣管和子星繞充氣管軸線的扭轉(zhuǎn)？呼吸振動(dòng)。進(jìn)一步驗(yàn)證了剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型的正確性。

3 充氣自旋結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性分析

3. 1 自旋角速度對(duì)充氣結(jié)構(gòu)自旋動(dòng)力學(xué)特性的影響

為了研究自旋角速度對(duì)充氣結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響，將充氣管內(nèi)的氣壓設(shè)定為 2000 Pa，結(jié)構(gòu)與材料參數(shù)見 1.1 節(jié)，考慮到衛(wèi)星上的負(fù)載設(shè)備，將主星和子星的慣性張量設(shè)定為 diag［0.27，0.27，0.27］kg·m2和 diag［6.9，6.9，11.8］ kg·m2，結(jié)合表 2 以及計(jì)算效率方面的考慮，將充氣管單元?jiǎng)澐譃?60×6 縮減殼單元，通過(guò)推導(dǎo)的特征值方程計(jì)算不同轉(zhuǎn)速下前 4 階頻率變化情況如圖 7 所示。

由圖 7 可知，在轉(zhuǎn)速為 3 rad/s 時(shí)，第 1 階面內(nèi)振動(dòng)模態(tài)與第 1 階面外振動(dòng)模態(tài)發(fā)生頻率切換；在轉(zhuǎn)速為 6.9 rad/s 時(shí)，第 1 階面外振動(dòng)模態(tài)與第 1 階扭轉(zhuǎn)呼吸振動(dòng)模態(tài)發(fā)生頻率切換，在轉(zhuǎn)速為 6～7 rad/s這個(gè)區(qū)間內(nèi)，第 1 階面外振動(dòng)和第 1 階扭轉(zhuǎn)呼吸振動(dòng)發(fā)生重頻，如圖 8 所示，這兩階模態(tài)振型均存在扭轉(zhuǎn)和面外彎曲。從圖 7 中可以看出，第 1 階面內(nèi)彎曲振動(dòng)頻率隨著轉(zhuǎn)速增加，有先增加后降低的趨勢(shì)，并且在轉(zhuǎn)速為 20.2 rad/s 時(shí)，頻率為 0，這時(shí)觀察到前 3 階模態(tài)振型如圖 9 所示。

通過(guò)觀察圖 9 中的模態(tài)振型可以發(fā)現(xiàn)柔性管與衛(wèi)星之間的連接約束沒有出現(xiàn)問題，所以根據(jù)第 1階面內(nèi)彎曲振動(dòng)頻率為 0 Hz 推斷充氣結(jié)構(gòu)在轉(zhuǎn)速達(dá)到臨界值時(shí)發(fā)生了失穩(wěn)。為了驗(yàn)證結(jié)構(gòu)失穩(wěn)，計(jì)算充氣結(jié)構(gòu)在達(dá)到臨界轉(zhuǎn)速的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，首先使充氣管內(nèi)的氣壓緩慢增加至 2000 Pa，再通過(guò)在子星上緩慢地施加噴氣力，使充氣結(jié)構(gòu)開始自旋。通過(guò)仿真計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)轉(zhuǎn)速超過(guò) 21 rad/s 時(shí)，充氣結(jié)構(gòu)的端部構(gòu)型變化，如圖 10 所示。

由圖 10 可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到 21 rad/s 時(shí)，充氣管在離心力的作用下發(fā)生了褶皺。這是由于隨著轉(zhuǎn)速增大，充氣管的抗彎剛度逐漸降低至零，充氣結(jié)構(gòu)發(fā)生了彎曲失穩(wěn)現(xiàn)象。兩種方法得到的臨界轉(zhuǎn)速的誤差小于 5%，考慮計(jì)算動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的算法和計(jì)算動(dòng)力學(xué)特性的方法受單元數(shù)量以及噴氣力的影響，可以通過(guò)計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)驗(yàn)證當(dāng)?shù)?1 階面內(nèi)彎曲振動(dòng)頻率為 0 Hz 時(shí)結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生失穩(wěn)。

3. 2 充氣氣壓對(duì)充氣自旋結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響

為了研究充氣氣壓對(duì)充氣結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響，將充氣結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)速設(shè)定為 0.5 rad/s，結(jié)構(gòu)與材料參數(shù)見 1.1 節(jié)，同時(shí)結(jié)合表 2 以及計(jì)算效率方面的考慮，將充氣管單元?jiǎng)澐譃?60×6 縮減殼單元，不考慮材料的極限破壞情況，通過(guò)推導(dǎo)的特征值方程計(jì)算不同充氣氣壓下前4階頻率的變化情況如圖 11所示。

由圖 11 可知，隨著充氣氣壓增加至 10000 Pa，結(jié)構(gòu)的第 1 階面外彎曲振動(dòng)頻率和第 1 階扭轉(zhuǎn)？呼吸振動(dòng)頻率有極小幅度的下降，結(jié)構(gòu)的第 1 階面內(nèi)彎曲振動(dòng)頻率和第 2 階彎曲振動(dòng)頻率有極小幅度的上升。當(dāng)充氣氣壓持續(xù)增加時(shí)，第 1 階面外彎曲振動(dòng)頻率逐漸減少，在充氣氣壓為 2.2×105 Pa 時(shí)，頻率為 0 Hz，說(shuō)明發(fā)生了失穩(wěn)現(xiàn)象。隨著氣壓增加，充氣管和子星受到的充氣壓力會(huì)引起充氣管徑向和軸向的大變形，該大變形會(huì)引起結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)現(xiàn)象。第1 階扭轉(zhuǎn)？呼吸振動(dòng)頻率同樣隨著氣壓的增加而降低，第 1 階面外彎曲振動(dòng)頻率和第 2 階彎曲振動(dòng)頻率隨著充氣氣壓的增加而增加。在充氣氣壓為 1.95×105 Pa 時(shí)，第 1 階面內(nèi)振動(dòng)模態(tài)與第 1 階扭轉(zhuǎn)？呼吸振動(dòng)模態(tài)發(fā)生頻率切換。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)充氣自旋結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模與不同轉(zhuǎn)速和充氣氣壓下的動(dòng)力學(xué)特性分析，采用絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法和自然坐標(biāo)法分別對(duì)柔性充氣管與剛體衛(wèi)星進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，基于拉格朗日乘子法將系統(tǒng)的約束引入系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)坐標(biāo)變換推導(dǎo)充氣結(jié)構(gòu)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的靜平衡構(gòu)型與特征值方程，并采用頻率平移法求解充氣自旋結(jié)構(gòu)的共振頻率與模態(tài)振型。本文通過(guò)單根柔性管與剛?cè)狁詈先嵝怨軆蓚€(gè)算例，采用商業(yè)軟件 ABAQUS 進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文所提出的模型的正確性與有效性。不同模態(tài)的共振頻率對(duì)轉(zhuǎn)速和氣壓的靈敏度不同，隨著轉(zhuǎn)速或氣壓的變化，共振頻率會(huì)呈現(xiàn)不同的頻率轉(zhuǎn)向變化趨勢(shì)，從而會(huì)發(fā)生模態(tài)切換的現(xiàn)象。通過(guò)對(duì)充氣自旋結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的研究，揭示了其共振頻率隨自旋轉(zhuǎn)速和充氣氣壓的變化規(guī)律，特別是當(dāng)轉(zhuǎn)速和氣壓增至一定值時(shí)，充氣自旋結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的可能，該研究為充氣自旋結(jié)構(gòu)的安全性設(shè)計(jì)提供了參考依據(jù)。

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