凌璐予

摘 要：直觀想象是分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段。數(shù)學(xué)問題解決中直觀想象的運(yùn)用，可以融合轉(zhuǎn)化與建模的策略，經(jīng)歷數(shù)形轉(zhuǎn)化、模型建立等過程，借助直觀模型，獲得解決實(shí)際問題的一般思路與方法。由此，《計(jì)算經(jīng)過時(shí)間》一課的教學(xué)，可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷如下三個(gè)環(huán)節(jié)：自主轉(zhuǎn)化，初步建立問題解決的直觀模型；引導(dǎo)轉(zhuǎn)化，深度理解問題解決的直觀模型；多元轉(zhuǎn)化，變式豐富問題解決的直觀模型。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；直觀想象；問題解決；計(jì)算經(jīng)過時(shí)間

一、直觀想象與數(shù)學(xué)問題的解決

直觀想象可以建立數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路，是分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段。尤其是對以直觀形象思維為主的小學(xué)生來說，可以利用圖形簡單、直接地描述和刻畫數(shù)學(xué)問題（包括實(shí)際應(yīng)用問題），借助幾何直觀和空間想象認(rèn)識(shí)和理解問題，從而把握問題本質(zhì)，形成解題思路與方法。特別是對比較復(fù)雜和抽象的數(shù)學(xué)問題來說，通過直觀想象來解決，能起到事半功倍的效果。

二、策略要義

一是轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化又稱化歸，即采用某種手段，把一個(gè)有待解決的問題轉(zhuǎn)變成已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，從而使原問題得以解決的一種策略。［1］二是建模。建模是指通過抽象、簡化，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、語言，建立近似的數(shù)學(xué)模型（一般化、可遷移的數(shù)學(xué)本質(zhì)），進(jìn)而解決實(shí)際問題的一種策略。直觀想象支持下的數(shù)學(xué)問題解決中，轉(zhuǎn)化是建模的前提，建模是轉(zhuǎn)化的提煉，兩者相互作用。使用轉(zhuǎn)化與建模策略，一般要經(jīng)歷“幾何直觀—數(shù)形轉(zhuǎn)化—數(shù)學(xué)抽象—模型建立—模型運(yùn)用—方法內(nèi)化”過程，通過以形助數(shù)、以形助形等轉(zhuǎn)化策略，利用直觀圖形表達(dá)抽象的數(shù)量關(guān)系，建立直觀的思維模型與形式模型，讓抽象的問題形象化，得到解決問題的一般思路與方法。

三、實(shí)踐案例

現(xiàn)以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊第一單元《時(shí)、分、秒》的第二課時(shí)《計(jì)算經(jīng)過時(shí)間》為例，具體闡述數(shù)學(xué)問題解決中直觀想象運(yùn)用的轉(zhuǎn)化與建模策略。

“計(jì)算經(jīng)過時(shí)間”是生活中常見的數(shù)學(xué)問題，包括不跨時(shí)、到下一個(gè)整時(shí)、跨時(shí)三種類型的計(jì)算。雖然教材循序漸進(jìn)地編排問題類型，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，但是經(jīng)過的時(shí)間不同于可視的長度，也不同于可感的質(zhì)量，它是動(dòng)態(tài)、抽象的，對以具體形象思維為主的三年級學(xué)生來說，具有一定的難度。課前，我們用三類問題的具體例子（每道題可以寫多種方法）對學(xué)生進(jìn)行檢測，結(jié)果如表1所示。

可以看到，三道題的正確率逐漸下降，選擇列式方法的人數(shù)占比也明顯下降。這表明，多數(shù)學(xué)生還不會(huì)以“數(shù)學(xué)運(yùn)算”這一純抽象的方法來解決“計(jì)算經(jīng)過時(shí)間”問題，他們對時(shí)間點(diǎn)的認(rèn)知強(qiáng)于對時(shí)間段的感知，因此，簡單地認(rèn)為結(jié)束時(shí)刻與開始時(shí)刻的差就是經(jīng)過的時(shí)間，出現(xiàn)“9：40-9：20=20（分）”“940-920=20（分）”這樣的錯(cuò)誤表征方式。但是，給足學(xué)生思考的時(shí)間（想到幾種寫幾種）后，很多學(xué)生還是會(huì)用畫鐘面、時(shí)間尺的方式來外顯自己的思維過程。

因此，教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生借助直觀想象支持下的轉(zhuǎn)化與建模策略，通過明確形與數(shù)（量）的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)抽象與形象、無感與可感之間的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而建立直觀模型，探索解決問題的思路與方法。

（一）自主轉(zhuǎn)化，初步建立問題解決的直觀模型

【教學(xué)活動(dòng)1】 計(jì)算不跨時(shí)活動(dòng)經(jīng)過的時(shí)間

教師提出問題：“幸福嘉年華活動(dòng)中的一些活動(dòng)的時(shí)間安排是這樣的。跳跳球游玩時(shí)間為8：10—8：45。跳跳球可以玩多長時(shí)間？”多數(shù)學(xué)生不假思索地喊出：35分。教師請學(xué)生說說是怎樣得到的。學(xué)生說出算式：45-10=35（分）。教師又請學(xué)生用其他方法驗(yàn)證這樣算對不對。很多學(xué)生用畫鐘面（如圖1所示）或時(shí)間尺（如圖2所示）的方法，5分5分地?cái)?shù)出了經(jīng)過的時(shí)間是35分。教師用課件動(dòng)態(tài)演示學(xué)生畫圖數(shù)出經(jīng)過時(shí)間的過程。

這一活動(dòng)實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)層面的目標(biāo)：

一是基于前測發(fā)現(xiàn)的學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)，抓住三年級學(xué)生的表現(xiàn)欲，讓學(xué)生計(jì)算跳跳球游玩經(jīng)過的時(shí)間，激發(fā)學(xué)生探索的興趣，激活學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生自發(fā)使用多種方法理解什么是經(jīng)過的時(shí)間，展現(xiàn)解決問題的過程。

二是在交流方法的過程中，學(xué)生將式轉(zhuǎn)化為形，溝通計(jì)算思維與圖形思維，通過畫圖（鐘面、時(shí)間尺）初步建立直觀模型，清楚地看到時(shí)間經(jīng)過留下的痕跡，體驗(yàn)到時(shí)間的長短，建立起“經(jīng)過時(shí)間”的表象（并非時(shí)間點(diǎn)的相減，而是時(shí)間段的長度），從而真正理解“經(jīng)過時(shí)間”，強(qiáng)化思維過程，解決計(jì)算問題。

（二）引導(dǎo)轉(zhuǎn)化，深度理解問題解決的直觀模型

【教學(xué)活動(dòng)2】 計(jì)算跨時(shí)活動(dòng)經(jīng)過的時(shí)間

教師繼續(xù)提出問題：“降落傘游玩時(shí)間為8：45—9：20。降落傘可以玩多長時(shí)間？”學(xué)生嘗試解決后交流。有學(xué)生回答：45-20=25（分）。對此，有學(xué)生點(diǎn)頭贊同，有學(xué)生提出不同的想法以及相應(yīng)的困難：應(yīng)該是20-45，可是減不了。教師順勢提出問題：減不了怎么辦？有了之前的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，很多學(xué)生想到畫鐘面（如圖3所示）或時(shí)間尺（如圖4所示），借助整時(shí)化繁為簡，分兩段跳著數(shù)出了經(jīng)過的時(shí)間是35分。由此，教師用課件在鐘面上動(dòng)態(tài)拉出時(shí)間尺（如圖5所示），引導(dǎo)學(xué)生得到（理解）算式：60-45=15（分），15+20=35（分）。

這一活動(dòng)在兩個(gè)層面做了思考：

一是創(chuàng)造性地處理教材，讓問題更具挑戰(zhàn)性。教材在通過例題讓學(xué)生計(jì)算7：30-7：45經(jīng)過的時(shí)間后，給出“做一做”，讓學(xué)生計(jì)算8：40-9：00經(jīng)過的時(shí)間。雖然計(jì)算8：40-9：00經(jīng)過的時(shí)間是難點(diǎn)，60分需要學(xué)生想象出來，但是，根據(jù)前測結(jié)果，接近60%的學(xué)生能列式算出正確結(jié)果，可見多數(shù)學(xué)生知道9：00就是8：60。由此，學(xué)生并不能很好地感悟整時(shí)在計(jì)算經(jīng)過時(shí)間中的重要性。于是，將9：00改為9：20，讓學(xué)生在驗(yàn)證計(jì)算不跨時(shí)的經(jīng)過時(shí)間可以用“分”直接相減后，嘗試計(jì)算跨時(shí)的經(jīng)過時(shí)間，從而突破思維定式，發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)，感受整時(shí)的重要性。這里，用“分”直接相減不夠減引發(fā)認(rèn)知沖突，使學(xué)生不得不思考其他方法，特別是畫圖方法來解決問題。

二是差異化呈現(xiàn)學(xué)材，讓學(xué)生對直觀模型的認(rèn)識(shí)更深刻。計(jì)算8：45—9：20經(jīng)過的時(shí)間時(shí)，學(xué)生又想到了畫鐘面或時(shí)間尺的方法，從而對8：45—9：20分段轉(zhuǎn)化為8：45—9：00—9：20有了直觀的感知。此時(shí)，在鐘面上動(dòng)態(tài)拉出時(shí)間尺，學(xué)生便會(huì)借助直觀模型，思考算式的列法與含義。在算式與圖形的充分溝通中，學(xué)生不僅理解了直觀模型的內(nèi)涵，更明確了如何利用直觀模型分析和解決問題。

（三）多元轉(zhuǎn)化，變式豐富問題解決的直觀模型

【教學(xué)活動(dòng)3】 跟進(jìn)練習(xí)

教師出示跟進(jìn)練習(xí)：“9：55—10：30經(jīng)過了多長時(shí)間？10：40—11：15經(jīng)過了多長時(shí)間？用喜歡的方法記錄思考過程?！庇械膶W(xué)生用時(shí)間尺記錄計(jì)算過程，但更多學(xué)生沒有借助時(shí)間尺，而直接列式計(jì)算。交流反饋時(shí)發(fā)現(xiàn)，其實(shí)直接列式計(jì)算的學(xué)生心中也有一把無形的時(shí)間尺在幫助他們思考。

在學(xué)生理解計(jì)算經(jīng)過時(shí)間的算理后，安排跟進(jìn)練習(xí)讓學(xué)生熟練算法，用喜歡的方法把想法記錄下來，旨在鼓勵(lì)學(xué)生對問題進(jìn)行多元轉(zhuǎn)化。學(xué)生能從畫有形的時(shí)間尺到“畫”無形的時(shí)間尺，表明他們真正理解了計(jì)算經(jīng)過時(shí)間的方法本質(zhì)。［2］

【教學(xué)活動(dòng)4】 拓展練習(xí)

教師出示拓展練習(xí)：“義賣活動(dòng)時(shí)間1：20-3：05，義賣活動(dòng)經(jīng)過了多長時(shí)間？用喜歡的方法記錄思考的過程?！睂W(xué)生出現(xiàn)了兩種不同的算法：（1）60-20=40（分），40+5=45（分）；（2）1小時(shí)=60分，60-20+60+5=105（分）。教師引導(dǎo)學(xué)生想象相應(yīng)的時(shí)間尺，在對比中認(rèn)識(shí)到：第一種算法是機(jī)械模仿之前練習(xí)的算法，分成兩段計(jì)算；第二種算法才真正理解了經(jīng)過時(shí)間的實(shí)質(zhì)，根據(jù)具體問題的特點(diǎn)分段計(jì)算。

跟進(jìn)練習(xí)中時(shí)間段的“時(shí)”都是相鄰的，一成不變的題型易造成學(xué)生的機(jī)械模仿，因此在拓展練習(xí)中，設(shè)計(jì)時(shí)間段的“時(shí)”不相鄰，旨在幫助學(xué)生突破思維定式，從模仿到創(chuàng)造。由此，引導(dǎo)學(xué)生比較不同的算法，走向思維的深處，體會(huì)“計(jì)算經(jīng)過時(shí)間”問題萬變不離其宗，都可以借助直觀想象化數(shù)為形、建立模型來解決。

總之，借助直觀想象，通過轉(zhuǎn)化與建模，可以很好地將抽象的時(shí)間形象化，凸顯思維的過程，明晰問題的本質(zhì)，提高學(xué)生分析和解決實(shí)際問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 許瑞平.巧用轉(zhuǎn)化策略，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維［J］.江西教育，2021（3）：45-46.

［2］ 薛躍東.借助幾何直觀 解決實(shí)際問題——“求簡單的經(jīng)過時(shí)間”教學(xué)片斷與思考［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2019（1/2）：81.