許 波 于 濤

(福建省廈門雙十中學 361009) (廣東省東莞市東莞中學 523005)

1 一般觀念的基本內(nèi)涵

“觀念”(idea)在希臘文里的原意是指“看”的過程,名詞化后表示“看到的事物”.后來,觀念不單指眼睛的“目視”,更重要的是心靈的“審視”[1].杜威認為“觀念是對事物的關(guān)系、作用和原因的感覺”;布魯納指出“觀念是學科中的基本原理和學習心向”;《現(xiàn)代漢語詞典》中,“觀念”釋義為思想意識或客觀事物在人腦中留下的概括的形象(有時指表象)[2].雖然有關(guān)“觀念”的表述各不相同,但是各種表述的內(nèi)涵基本一致:第一,觀念是事物內(nèi)在的根本特性、本質(zhì)規(guī)律的反映,具有普遍性;第二,觀念的生成需要經(jīng)驗材料與已有觀念結(jié)構(gòu)同時參與、協(xié)同作用,具有系統(tǒng)性;第三,觀念需要經(jīng)歷感性認知和理性審思兩個循環(huán)過程,具有主觀性;第四,觀念是認識世界、解釋現(xiàn)象、解決問題的有效工具,具有工具性.

“一般觀念”與“個別觀念”相對應,指關(guān)于一般性事物的觀念.托克維爾指出,一般觀念是把一些相似事物或現(xiàn)象總括于同一形式下的觀念.就數(shù)學學科而言,章建躍指出,一般觀念是對內(nèi)容及其反映的數(shù)學思想和方法的進一步提煉和概括,是對數(shù)學對象的定義方式、幾何性質(zhì)指什么、代數(shù)性質(zhì)指什么、函數(shù)性質(zhì)指什么、概率性質(zhì)指什么等問題的一般性回答,是數(shù)學對象的方法論,一般觀念對學生學會用數(shù)學的方式對事物進行觀察、思考、分析以及發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題等具有指路明燈的作用.

2 立體幾何性質(zhì)定理教學分析

立體幾何性質(zhì)定理中蘊含著怎樣的“一般觀念”?又如何用“一般觀念”引領(lǐng)教學呢?

首先,要弄清什么是“性質(zhì)”.性質(zhì)是一類事物共有的特性,是事物內(nèi)在規(guī)律的本質(zhì)反映.例如,函數(shù)性質(zhì)是研究運動與變化過程中的規(guī)律性問題,代數(shù)性質(zhì)是研究運算中的不變性問題,幾何性質(zhì)是研究幾何圖形構(gòu)成要素之間確定的關(guān)系問題.

其次,要明晰立體幾何性質(zhì)定理的研究內(nèi)容.立體幾何是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小和位置關(guān)系的數(shù)學分支學科.其中,位置關(guān)系的研究以“點、直線、平面”為基本圖形,以四個基本事實(平面三公理、平行公理)為出發(fā)點,重點研究直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直關(guān)系.立體幾何性質(zhì)定理是“位置關(guān)系的性質(zhì)”,例如“平面與平面垂直的性質(zhì)”[3]是在“平面α⊥平面β”的基礎上研究其他直線或平面與平面α,β之間形成的確定的關(guān)系.從方法論的角度看,研究兩個幾何元素(兩個平面)的某種位置關(guān)系(垂直)的性質(zhì),就是研究這種位置關(guān)系下的兩個幾何元素與其他同類幾何元素所形成圖形中出現(xiàn)的確定關(guān)系(不變性)[4].這一從方法論角度的表述深刻揭示了位置關(guān)系性質(zhì)的表現(xiàn)形式,其作為對數(shù)學對象的幾何性質(zhì)指什么的一般性回答,就是立體幾何性質(zhì)定理蘊含的“一般觀念”.

最后,要厘清立體幾何性質(zhì)定理的教學思路.教學通常采用直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形及其性質(zhì).在前述“幾何性質(zhì)指什么”的“一般觀念”引領(lǐng)下,性質(zhì)定理的教學可以在確定研究對象(兩個幾何元素的位置關(guān)系)的基礎上,讓其他同類元素動起來,再以觀察變化過程中的不變性的思路展開探究性教學.

例如,“直線與平面平行的性質(zhì)”的教學思路可以是在“直線a∥平面α”的基礎上,通過觀察其他直線或平面與a,α之間是否形成確定的關(guān)系,引導學生經(jīng)歷探究、發(fā)現(xiàn)、證明、應用的全過程.直線與平面平行的性質(zhì)定理作為四個性質(zhì)定理的第一個,能起到統(tǒng)領(lǐng)其他三個性質(zhì)定理教學的作用.這里有一個教學問題需要探討:顯然,其他三個性質(zhì)定理的教學可以類比前面的性質(zhì)定理教學,從始至終地用“一般觀念”指導教學,那么,如何在直線與平面平行的性質(zhì)定理的教學中提煉出“一般觀念”,并用其指導學生明確探究內(nèi)容和方法呢?從幾何性質(zhì)的整體視角出發(fā),教學可以引導學生審視初中所學的“兩平行直線的性質(zhì)”蘊含的數(shù)學思想和方法,通過歸納“兩平行直線的性質(zhì)”,明確“探究幾何基本圖形(直線、平面)位置關(guān)系的性質(zhì)”的探究內(nèi)容與思路,即在“兩平行直線a,b”的基礎上,通過探究直線c與a,b的位置關(guān)系,觀察有關(guān)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角等幾何量之間的確定的關(guān)系,進而歸納提煉出研究幾何性質(zhì)的“一般觀念”,并類比研究空間基本圖形的位置關(guān)系[5].下面筆者以“平面與平面平行的性質(zhì)”為例,與讀者共同探討一般觀念引領(lǐng)下立體幾何性質(zhì)定理的教學.

3 “平面與平面平行的性質(zhì)”教學過程設計

3.1 復習與強化

問題1請同學們根據(jù)表1回顧直線與平面平行的性質(zhì)的探究過程.(含預設結(jié)果)

表1 “直線與平面平行的性質(zhì)”探究過程

設計意圖通過復習回顧直線與平面平行的性質(zhì)的探究過程,強化“探究空間基本圖形位置關(guān)系的性質(zhì)”的探究內(nèi)容與方法,深化“幾何元素(直線、平面)之間確定的關(guān)系就是性質(zhì)”的一般觀念,體會一般觀念的引領(lǐng)作用,為類比遷移研究平面與平面平行的性質(zhì)做好鋪墊.

3.2 探究與發(fā)現(xiàn)

活動類比直線與平面平行的性質(zhì)的探究過程,請同學們探究平面與平面平行的性質(zhì),并用圖形語言和符號語言寫出來.

學生活動4人一組共同探索,每組選2人操作展示,1人負責畫圖,1人負責寫符號表達式.(學生提前準備好表示直線、平面的學具)

教師活動①給予學生操作指導,組織有成果的小組上講臺展示.

②給予學生方法指導,引導學生從與已知直線或平面的位置關(guān)系角度考慮添加直線的所有位置情況.

活動預設探究結(jié)果整理如表2.

設計意圖在學生感悟一般觀念的基礎上,引導學生類比遷移,明確“平面與平面平行的性質(zhì)”的探究內(nèi)容與方法,即在“平面α∥平面β”的基礎上,通過添加元素(直線、平面)的方式,研究其他直線或平面與平面α,β之間形成的確定的關(guān)系.在一般觀念的引領(lǐng)下,組織學生經(jīng)歷數(shù)學探究活動的全過程,培養(yǎng)學生運用一般觀念指導自身進行數(shù)學學習與探究活動的意識,增強學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.通過直觀感知、操作確認,以及觀察歸納、交流互動、反例推斷等活動過程,培養(yǎng)學生的探究能力、創(chuàng)新精神,發(fā)展直觀想象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng).

3.3 定理與證明

問題2探究得到的性質(zhì),選哪一個作為平面與平面平行的性質(zhì)定理?為什么?

設計意圖引導學生分析探究結(jié)果,深化對各個性質(zhì)的理解.表2中有四個結(jié)論:第1個是平面與平面平行的定義的直觀體現(xiàn),屬于定義的應用;第2個和第3個具有相似性,一個反映了平行于同一個平面的直線與平面(直線在面外)的平行的傳遞性,另一個反映了平行平面之間的平行的傳遞性,類似于基本事實;第4個從面面平行推出線線平行,更能反應“判定”與“性質(zhì)”的互逆性．故選擇第4個作為平面與平面平行的性質(zhì)定理.

表2 “平面與平面平行的性質(zhì)”探究過程

借助對探究結(jié)果的甄別、篩選過程,培養(yǎng)學生養(yǎng)成良好的數(shù)學研究習慣與意識,即先運用一般觀念指導進行“創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)”,再根據(jù)簡潔有用等標準進行甄別與篩選,厘清各性質(zhì)與其他知識之間的邏輯關(guān)系,形成一個邏輯嚴密連貫、結(jié)構(gòu)功能良好的知識體系.

問題3如何證明平面與平面平行的性質(zhì)定理?

(已知α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,求證:

a∥b)

師生共同討論證明思路.第一個思路從證明的目標“兩直線平行”出發(fā),運用直線與直線平行的定義,需要說明a,b共面且沒有公共點;第二個思路是立體幾何定理證明中常用的反證法,通過假設a,b不平行(顯然共面),說明a,b有公共點,進而推出a與α有公共點的矛盾.具體證明過程如下:

證明(方法一)由γ∩α=a,γ∩β=b,可得a?α,b?β,且a?γ,b?γ．

因為α∥β,且a?α,b?β,所以直線a,b沒有公共點．

又因為a?γ,b?γ,即直線a,b共面,所以a∥b.

(方法二)假設直線a,b不平行,則直線a,b異面或相交．

由于γ∩α=a,γ∩β=b,故a?α,b?β,且a?γ,b?γ．顯然,直線a,b異面與a?γ,b?γ矛盾．

若直線a,b相交,由a?α,b?β得平面α,β有公共點,與α∥β矛盾．故假設不成立,所以a∥b.

設計意圖性質(zhì)定理的證明是“直觀感知→操作確認→思辨論證”一般研究過程的重要一環(huán),是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題之后分析問題、解決問題的體現(xiàn).一方面借助定理的證明體現(xiàn)應用數(shù)學知識與方法解決數(shù)學問題的過程,從知識應用、方法(反證法)應用兩種不同角度幫助學生構(gòu)建知識方法體系;另一方面進一步完善一般觀念指導下的數(shù)學研究習慣與意識,即“創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)→甄別篩選→推理論證”,使得學生學會數(shù)學地思考.

3.4 例題與變式

例題求證:夾在兩個平行平面間的平行線段相等.

已知:如圖1,α∥β,AB∥CD,A∈α,C∈α,B∈β,D∈β.

求證:AB=CD.

圖1 圖2 圖3

設計意圖三個題目層層深入,在已知平面平行的基礎上,分別設置了“兩平行直線”“兩相交直線”“兩異面直線”的數(shù)學情境,以此檢測學生對平面與平面平行的性質(zhì)定理的掌握情況.從例題中的平行四邊形到變式1中的相似三角形,再到變式2中的轉(zhuǎn)化思想,發(fā)展學生的邏輯推理素養(yǎng).三個題目體現(xiàn)的數(shù)學結(jié)論是一般觀念引領(lǐng)作用的進一步體現(xiàn),即在“兩個平行平面”的基礎上,添加“空間中兩條直線(平行、相交、異面)”時得到的性質(zhì),與教學過程中的探究活動遙相呼應.

3.5 小結(jié)與作業(yè)

課堂小結(jié)往往呈現(xiàn)的是知識目標和思想方法目標,而缺少知識發(fā)展形成過程中體現(xiàn)的研究路徑或一般觀念.本節(jié)課課堂小結(jié)除了知識層面的平面與平面平行的性質(zhì)定理、方法層面的定理證明方法(包括反證法),還包括過程層面的研究路徑:類比線面平行明確探究方法→借助實物模型猜想數(shù)學性質(zhì)(在其他直線、平面變化過程中的不變性)→運用邏輯推理證明數(shù)學性質(zhì)→解決具體問題深化定理理解,并通過“探究方法”引導學生進一步感悟一般觀念的引領(lǐng)作用,深化從直觀感知到操作確認、再到思辨論證的立體幾何數(shù)學觀,推動學生數(shù)學觀念、意識的發(fā)展與成長.

課后作業(yè)的設計包含兩個層面的作業(yè):一個是應用定理,提高技能發(fā)展,落實“雙基”;另一個是對課堂探究得到的性質(zhì)進行文字描述、圖形表示、符號表達,并加以證明,呼應并強化課堂學習活動中發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)的同時,鞏固提升學生數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).

4 教學反思

4.1 一般觀念引領(lǐng),促進數(shù)學活動經(jīng)驗的積累

一般觀念體現(xiàn)了對相關(guān)知識共性的歸納與提取,能引領(lǐng)一系列相關(guān)數(shù)學知識的學習.四個性質(zhì)定理的教學能仿照文中“平面與平面平行的性質(zhì)”的教學案例,形成一系列數(shù)學知識不同但數(shù)學思想與方法一致的教學.從平面幾何中“兩平行直線的性質(zhì)”到立體幾何中“直線與平面平行的性質(zhì)”,再到其他三個性質(zhì)定理的學習,每一個定理學習的生長點均為之前的性質(zhì)定理的學習經(jīng)驗．在這樣的學習過程中,學生不只是在對知識進行記憶與套用,而是需要運用已學知識的經(jīng)驗學習新知識、研究新問題.四個性質(zhì)定理的學習能促使學生反復經(jīng)歷相似的學習過程,在類比學習的過程中不斷積累活動經(jīng)驗,把新的活動經(jīng)驗納入已有的活動經(jīng)驗系統(tǒng),形成“研究對象在變,研究套路不變,思想方法不變”這樣真正意義上的數(shù)學活動經(jīng)驗,深刻體會數(shù)學知識蘊含的數(shù)學一般觀念.

4.2 一般觀念引領(lǐng),促進數(shù)學思維能力的培養(yǎng)

一般觀念引領(lǐng)下的教學實踐,給人以發(fā)現(xiàn)的眼光、洞察本質(zhì)的智慧[6].四個性質(zhì)定理的教學打破常規(guī)教學模式及教材的限制,不局限于單純的知識與技能教學,而是以性質(zhì)定理為教學載體,啟發(fā)和引導學生思考“什么是幾何性質(zhì)?”“如何發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)?”等數(shù)學問題,找到研究方法,形成研究思路,推動學生學會“用數(shù)學的思維思考世界”.教學實踐中,學生通過動手實踐、自主探究、合作交流,能發(fā)現(xiàn)、提出很多性質(zhì)定理之外的其他性質(zhì),比教學預設更豐富.顯然,一般觀念引領(lǐng)的性質(zhì)定理教學讓學生既能學習更多的性質(zhì),還能知道這些性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程,進一步強化了發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)的本領(lǐng).在四個性質(zhì)定理略顯“重復”的學習過程中,發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)只是教學的一個方面．教學需要進一步引導學生思考所有發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián),例如梳理哪些性質(zhì)更基礎、探尋它們之間的邏輯關(guān)系等,將發(fā)現(xiàn)、提出的幾何性質(zhì)整合為一個知識體系,使得學生不僅關(guān)注探究過程中的問題,還關(guān)注對探究得到的正確結(jié)論的歸納與整理,把數(shù)學思維能力的培養(yǎng)貫穿始終.