呂小兵

(江蘇省江陰市南菁高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 214400)

在“做數(shù)學(xué)”理念的引領(lǐng)下,圍繞數(shù)學(xué)折紙活動(dòng)開展的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)(以下簡稱“折紙教學(xué)”)得到一線教師與專家學(xué)者的廣泛關(guān)注．一般意義而言,折紙教學(xué)取材方便,貼近學(xué)生生活實(shí)際,能讓學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦、開發(fā)智力和陶冶情操．然而作為數(shù)學(xué)教學(xué)的折紙活動(dòng),如何實(shí)現(xiàn)與教學(xué)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合,更好地承載數(shù)學(xué)學(xué)科育人功能,在這個(gè)領(lǐng)域仍需要廣大教師積極探索．筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談一談自己的理解,拋磚引玉,與讀者交流．

1 折紙教學(xué)的意蘊(yùn)

意蘊(yùn)是指一個(gè)事物的內(nèi)容或意義．折紙看似簡單,若從數(shù)學(xué)的角度加以研究則意蘊(yùn)深妙,至今已發(fā)展出一門被稱為折紙幾何學(xué)的分支．折紙教學(xué)中的“紙”一般忽略其顏色、厚度,可以具有一定的初始形狀,如三角形、矩形等．“折”是指為了實(shí)現(xiàn)某個(gè)特定目的所進(jìn)行的對折操作,折后會(huì)在紙上留下折痕．對于折紙的“合法”操作,公認(rèn)為有以下7種:兩點(diǎn)折線、兩點(diǎn)對折、兩線對折、過點(diǎn)對折、點(diǎn)折到線、雙點(diǎn)到線和點(diǎn)線線點(diǎn)[1]．其中前5種可以用尺規(guī)作圖完成,后2種則因借用了三維空間,使得折紙可以完成尺規(guī)作圖所不能解決的問題．

折紙教學(xué)的意蘊(yùn)首先體現(xiàn)在對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)上,通過活動(dòng),學(xué)生獲得手腦協(xié)同、啟思明理之效．如果教師對折紙教學(xué)的意蘊(yùn)缺乏理解,就會(huì)產(chǎn)生活動(dòng)的目標(biāo)不明、規(guī)則不清、“數(shù)學(xué)味”不濃、內(nèi)隱性知識挖掘不充分等表現(xiàn),造成“紙上得來終覺淺”的觀感．

案例1“折”還是“不折”?

在一次公開課中,授課教師對八年級“等腰三角形的性質(zhì)”一課作出下列教學(xué)設(shè)計(jì):

(1)課前請學(xué)生準(zhǔn)備各種不同類型的等腰三角形紙片;

(2)課上請學(xué)生將紙片對折,并觀察兩個(gè)底角的關(guān)系,歸納出等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì);

(3)繼續(xù)觀察折痕與底邊的關(guān)系、折痕與頂角的關(guān)系,歸納出等腰三角形“三線合一”的性質(zhì);

(4)在歸納出結(jié)論之后,嘗試進(jìn)行演繹推理,進(jìn)而證明等腰三角形的性質(zhì)定理．

應(yīng)該說整個(gè)教學(xué)內(nèi)容完成得十分順利,課堂氣氛活躍．在闡述設(shè)計(jì)意圖時(shí),該教師認(rèn)為學(xué)生通過折紙進(jìn)行操作探究,可以直觀感知等腰三角形中各種要素之間的聯(lián)系,進(jìn)而發(fā)展幾何直觀和邏輯推理能力,感受到成功的樂趣．

實(shí)際上,問題恰恰出在教學(xué)過程的過于“順利”與“活躍”上．針對八年級的學(xué)生,尤其是在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的班級,用折紙來引入等腰三角形的性質(zhì)有明顯的弊端．其背后的思考就是如此的折紙活動(dòng)是否“稚化”了學(xué)生思維,導(dǎo)致課堂上缺少有含金量的生成．

由于學(xué)生對等腰三角形紙片進(jìn)行折疊,都會(huì)采用同一種操作,并在紙片上留下一道折痕,這種唯一性限制了學(xué)生的想象,也弱化了學(xué)生觀察圖形、添加輔助線的能力．在不作提示下,學(xué)生的思維處于發(fā)散狀態(tài),可能會(huì)產(chǎn)生各種想法,并進(jìn)行多元的數(shù)學(xué)表達(dá)．有意思的是,歐幾里得在編寫《幾何原本》時(shí)將命題“等邊對等角”排得比較靠前,以致證明時(shí)只有“邊角邊”可用,因此他采用的就是一種現(xiàn)在看起來不常規(guī)的思路．

認(rèn)知教育心理學(xué)家奧蘇貝爾指出:影響學(xué)習(xí)最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么,應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識狀況進(jìn)行教學(xué)．可以說,教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生學(xué)情永遠(yuǎn)是實(shí)現(xiàn)折紙教學(xué)意蘊(yùn)的起點(diǎn)．筆者認(rèn)為,在本課教學(xué)中,不妨將折紙活動(dòng)“懸置”,先給學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行自主探索．在經(jīng)歷了共同學(xué)習(xí)之后,對部分仍有困難的學(xué)生,用折紙活動(dòng)輔助理解．實(shí)驗(yàn)探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證都是研究圖形的重要途徑,折紙教學(xué)作為一種實(shí)驗(yàn)探究教學(xué),其設(shè)計(jì)應(yīng)充分考慮學(xué)生在認(rèn)知需求方面的差異．

2 折紙教學(xué)的開發(fā)

文[2]在比較了中日兩國教科書中折紙活動(dòng)的設(shè)置后指出:中日兩國數(shù)學(xué)教科書中設(shè)置折紙活動(dòng)的目的不同,中國將折紙視為一種單純的活動(dòng),主要讓學(xué)生在折紙活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),而日本則將折紙看作發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的一種手段,旨在通過折紙培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的精神,即前者是“在折紙中體驗(yàn)數(shù)學(xué)”,后者是“將折紙融入數(shù)學(xué)”．要做到將折紙融入數(shù)學(xué),這無疑為今后折紙教學(xué)的開發(fā)指明了方向,筆者認(rèn)為可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行嘗試.

2.1 將折紙融入幾何教學(xué)

數(shù)學(xué)折紙活動(dòng)一般發(fā)生于幾何教學(xué)中,首先需要分析折紙與幾何學(xué)科的聯(lián)系．折紙與尺規(guī)作圖一樣,都對現(xiàn)實(shí)世界的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了抽象,但是這種抽象并未完全舍棄物理背景,其本質(zhì)上仍然是建立在經(jīng)驗(yàn)直覺之上．在日常教學(xué)中,教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生了解折紙與尺規(guī)作圖的聯(lián)系以及折紙的基本規(guī)則,幫助學(xué)生順利地表達(dá)操作過程．

案例2折三角形的“心”．

在學(xué)習(xí)了三角形的重心、內(nèi)心、垂心、外心等知識之后,學(xué)生可以通過折三角形紙片來確定這些“心”的位置,二者的聯(lián)系見表1．

表1 折三角形的“心”與尺規(guī)作圖的對照

在幾何教學(xué)中借助折紙活動(dòng),有助于學(xué)生理解圖形與圖形的關(guān)系,發(fā)展空間觀念和推理能力．

2.2 將折紙融入代數(shù)教學(xué)

圖1

目前而言,學(xué)生在折紙中的學(xué)習(xí)仍然比較單一,著眼點(diǎn)在于某一個(gè)幾何知識的體驗(yàn)或者建構(gòu)．與日本折紙教學(xué)相比,我們還缺少在代數(shù)教學(xué)方面的嘗試．

學(xué)生借助動(dòng)作表征能更好地上升到對符號表征的理解,這正是具身認(rèn)知的優(yōu)勢．另一方面,折紙的過程既可以復(fù)盤再現(xiàn),也可以推進(jìn)新的問題．學(xué)生回顧知識或者繼續(xù)思考,這些都是將折紙融入數(shù)學(xué)的體現(xiàn)．

由于折紙運(yùn)用了三維空間,因此其中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理也比尺規(guī)作圖復(fù)雜．教師結(jié)合教學(xué)需要,可以設(shè)計(jì)出許多與折紙有關(guān)的代數(shù)問題．例如:

問題1如圖2,點(diǎn)E,F分別是矩形紙片ABCD的邊AD,BC上的點(diǎn),將紙片沿著EF折疊,B′F與AD交于點(diǎn)G,試探究:怎樣折能夠使△EFG的面積最大?

(此為一次函數(shù)問題)

圖2 圖3

問題2如圖3,將正方形紙片ABCD折疊,使折痕①與邊AB平行,打開后再次折疊使點(diǎn)B和點(diǎn)E重合,出現(xiàn)折痕②,兩條折痕交于點(diǎn)G．將上述操作重復(fù)進(jìn)行若干次,可以觀察到點(diǎn)G的不同位置形成一條曲線,試探究:這是一條怎樣的曲線?

(此為二次函數(shù)問題)

2.3 將折紙融入作業(yè)設(shè)計(jì)

在素養(yǎng)目標(biāo)的指引下,當(dāng)今的數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)正在發(fā)生改變．帶有數(shù)學(xué)任務(wù)的折紙活動(dòng)完全可以設(shè)計(jì)為學(xué)生作業(yè),從而打破紙筆作業(yè)“一統(tǒng)天下”的局面,使得數(shù)學(xué)作業(yè)能夠體現(xiàn)過程性、加強(qiáng)活動(dòng)性、重視差異性,實(shí)現(xiàn)紙筆作業(yè)難以達(dá)到的效果．在九年級學(xué)習(xí)了“相似三角形”之后,筆者設(shè)計(jì)了一份這樣的作業(yè):

案例3折三等分點(diǎn)．

問題1利用尺規(guī)作圖,作出線段AB的一個(gè)三等分點(diǎn),你有哪些方法?

學(xué)生典型作法如圖4、圖5所示．

圖4 圖5

問題2取一張正方形紙片,你能通過折紙折出一邊上的三等分點(diǎn)嗎?如果你有方法(控制在6步之內(nèi)),畫出示意圖,闡釋其中的原理．最后從折法是否簡捷、是否具有一般性等角度對自己的方案進(jìn)行評價(jià)．

學(xué)生實(shí)際提交的方案有很多,有的圖案繪制精美,有的理論敘述嚴(yán)謹(jǐn)．根據(jù)其中所用知識大體可分為三類:相似、勾股定理、三角函數(shù)．有一些折法與著名的日本芳賀和夫折紙三大定理一致,當(dāng)然也有一些折法是錯(cuò)誤的．鑒于此,備課組迅速跟進(jìn),制作了相應(yīng)教學(xué)課件“‘紙’愛數(shù)學(xué)”,充分發(fā)揮了這節(jié)課的教學(xué)價(jià)值．以下是其中兩個(gè)教學(xué)片斷:

圖6是學(xué)生提交的一種折法,并認(rèn)為這種折法具有巧合性．教師點(diǎn)評:這種折法是有可能一次成功的,但是它是一個(gè)零概率事件．

圖7是一種學(xué)生進(jìn)行不下去的折法．教師點(diǎn)評:注意觀察3乘3的正方形和4乘4的正方形,它們之間具有的位似關(guān)系．從失敗到成功往往只有一步之遙(再折一次即可)!

圖6 圖7 圖8

圖8是教師開發(fā)的一種“半成品”方案,請學(xué)生思考這種折法有沒有利用價(jià)值(注意折痕BF,DE的交點(diǎn)相當(dāng)于△ABD的重心)．讓學(xué)生再次感受“多走一步就會(huì)成功”的體驗(yàn)．

3 折紙教學(xué)的實(shí)施建議

3.1 合理安排教學(xué)方式

林崇德指出:在少年期的思維中,抽象邏輯思維開始占優(yōu)勢,但在很大程度行還屬于經(jīng)驗(yàn)型,他們的邏輯思維需要感性經(jīng)驗(yàn)的直接支持[3]．因此,在七年級開展折紙教學(xué)應(yīng)當(dāng)以直觀為主,學(xué)生在折紙活動(dòng)中對折垂線、平行線、三角形的三線等基本任務(wù)形成動(dòng)作表征,增強(qiáng)空間觀念．而在八年級與九年級應(yīng)當(dāng)開展一些具有較高思維含量的折紙教學(xué)．

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》對數(shù)學(xué)教學(xué)的課程目標(biāo)、內(nèi)容目標(biāo)、實(shí)施建議、學(xué)業(yè)評價(jià)都提出了具體指導(dǎo)．教師應(yīng)在課標(biāo)的指導(dǎo)下靈活開展折紙教學(xué),可以是一個(gè)課堂教學(xué)片段,也可以是一節(jié)完整的實(shí)驗(yàn)課,甚至是一個(gè)多課時(shí)、跨學(xué)科的項(xiàng)目式學(xué)習(xí),也可以設(shè)計(jì)為課后作業(yè)．以“圖形與幾何”“數(shù)與代數(shù)”兩大主題中篩選出的部分題材為例,來說明折紙教學(xué)的安排與建議(表2)．

3.2 善用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材可以很好地彌補(bǔ)基礎(chǔ)教材在指導(dǎo)學(xué)生活動(dòng)方面的不足．以蘇科版《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材(九年級全一冊)》為例,該教材中設(shè)計(jì)了三個(gè)課時(shí)

表2 部分折紙教學(xué)的教學(xué)方式建議

的折紙活動(dòng),分別是:利用圓形紙片折出正六邊形;利用正方形紙片折出黃金矩形;利用正方形和等邊三角形紙片折出一些特殊角,并計(jì)算這些角度的三角函數(shù)值[4]．這三個(gè)活動(dòng)分布在圓、相似三角形、銳角三角函數(shù)等章節(jié)的學(xué)習(xí)中．

要發(fā)揮出教材中有關(guān)折紙教學(xué)應(yīng)有的價(jià)值,關(guān)鍵在于如何整合以適應(yīng)學(xué)生發(fā)展的需要．在利用圓形紙片折正六邊形的教學(xué)中,可以設(shè)置如下:

初始環(huán)節(jié)可以是設(shè)計(jì)折圓心、折圓內(nèi)接正方形等簡單任務(wù),以便逐漸過渡;拓展環(huán)節(jié)可以設(shè)計(jì)本質(zhì)不變的進(jìn)階任務(wù),以利于遷移,如:改變紙形為正方形,你還能折出正六邊形嗎?引導(dǎo)學(xué)生抓住構(gòu)造正六邊形的中心角60°這個(gè)解決問題的關(guān)鍵．

教師創(chuàng)造性地使用教材,方能促進(jìn)折紙教學(xué)能與常規(guī)教學(xué)一樣做到“源于教材,高于教材”．

3.3 著力于學(xué)生能力發(fā)展

不能發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力的折紙教學(xué)應(yīng)當(dāng)堅(jiān)決予以摒棄．喻平認(rèn)為,數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的形成和發(fā)展依賴兩類知識,分別是外顯性知識和內(nèi)隱性知識．外顯性知識是外顯的、靜態(tài)的結(jié)果型知識;內(nèi)隱性知識是指不以文本形式顯性表述的,潛藏于顯性知識深層的知識,包括數(shù)學(xué)知識的文化元素、數(shù)學(xué)知識的過程元素、數(shù)學(xué)知識的邏輯元素、數(shù)學(xué)知識的背景元素、學(xué)生錯(cuò)誤認(rèn)知資源、外顯知識的推廣與拓展等,品格與價(jià)值觀的培養(yǎng)基本上依托于內(nèi)隱性知識的作用[5]．如果局限于顯性知識,把折紙教學(xué)僅僅作為單一知識的教學(xué)或者某一道題的教學(xué),那就違背了折紙教學(xué)的初衷,不利于實(shí)現(xiàn)以數(shù)學(xué)折紙活動(dòng)發(fā)展學(xué)生關(guān)鍵能力、提升學(xué)生品格和價(jià)值觀的高層次目標(biāo)．

事實(shí)上,在數(shù)學(xué)折紙活動(dòng)中蘊(yùn)含著豐富的隱性知識,例如折紙有關(guān)的數(shù)學(xué)文化:作為古希臘尺規(guī)作圖三大難題之一的三等分角,利用折紙可以輕松實(shí)現(xiàn),其中的道理是什么;折紙有關(guān)的德育:學(xué)生在折紙的過程中發(fā)展持續(xù)探索和永不言棄的精神;折紙中的美學(xué):利用矩形紙片可以折出黃金矩形;折紙中的審辨性思維:學(xué)生在面對一種錯(cuò)誤折法時(shí),如何進(jìn)行證否．這些都是提升教學(xué)厚度、促進(jìn)學(xué)生開展深度學(xué)習(xí)的資源．

總而言之,盡管學(xué)界對于折紙?jiān)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的價(jià)值已經(jīng)有充分的認(rèn)識,但是在初中階段關(guān)于折紙教學(xué)的內(nèi)涵挖掘仍是一片藍(lán)海．如何將折紙自然而然地融入到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中去,需要一線教師的廣泛實(shí)踐與研究．

折紙教學(xué)目標(biāo)的立意不能局限于“一折一得”,而應(yīng)圍繞學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展需要進(jìn)行整體思考,在培養(yǎng)“四基”、提升“四能”的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步探索折紙教學(xué)對學(xué)生的數(shù)學(xué)價(jià)值觀念、數(shù)學(xué)思維品格、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等方面的提升作用．