劉春書

(江蘇省南京市板橋中學(xué) 210039)

學(xué)數(shù)學(xué)離不開解題,但許多人將其片面理解為學(xué)數(shù)學(xué)就是要大量刷題,導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)試式的題型教學(xué)盛行,套路訓(xùn)練泛濫,學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)沉重,創(chuàng)新意識和能力嚴(yán)重削弱．為糾正上述不良傾向、深化新時(shí)代教育評價(jià)改革,當(dāng)前數(shù)學(xué)學(xué)科中高考命題出現(xiàn)了反題型、反套路趨勢,追求通法和大道．特別是當(dāng)前立德樹人教育背景下,數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成,解題教學(xué)更要反對套路化．下面以一道幾何最值問題為例來闡述當(dāng)前解題教學(xué)如何尋求大道和通法,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),兼談為什么要反對套路化的解題訓(xùn)練.

例題如圖1,在四邊形ABCD中,AB=2,BC=BD,∠ADC=150°,∠DCB=60°,則AC的最大值是．

圖1 圖2

1 套路化的解題思路

2 套路化解題的反思

應(yīng)用套路解決本題,只需根據(jù)“兩動點(diǎn)(點(diǎn)D,C)到定點(diǎn)(點(diǎn)B)的距離之比是定值(定值為1),夾角是定角(定角為60°)”特征,迅速觸發(fā)、啟用瓜豆原理“主動點(diǎn)在圓上——角+圓”的套路解決問題,實(shí)質(zhì)上就是解題中的“條件反射”．至于怎么想到點(diǎn)C的運(yùn)動路徑是半圓、為什么是半圓等本原性問題,即解題思路如何想到的問題,根本無需考慮．正因?yàn)槿鄙賹Ρ驹詥栴}的探索、思考,“題目稍有變化,學(xué)生就會無從下手”的現(xiàn)象常常發(fā)生,而我們教師卻還在責(zé)怪學(xué)生靈活性不夠．

3 指向本原性問題解決的解題思路

解每一道題,肯定都是從這一道題的條件和結(jié)論出發(fā)進(jìn)行思考．基于本題條件和結(jié)論的特點(diǎn),指向本原性問題解決的思考有以下三個(gè)方向．

3.1 本原性思考方向一:基于運(yùn)動路徑

基于運(yùn)動路徑的本原性思考按以下三步走．

步驟一是分析條件定主從,明晰結(jié)論找關(guān)鍵．解題都需先分析條件、明晰問題．通過前面的分析,本題已知A,B為定點(diǎn),D,C為動點(diǎn),且點(diǎn)D的運(yùn)動路徑是以AB為直徑的半圓,點(diǎn)C隨著點(diǎn)D的運(yùn)動而運(yùn)動．現(xiàn)在欲求AC的最大值,關(guān)鍵是找出點(diǎn)C的運(yùn)動路徑．

步驟二是先猜想后驗(yàn)證,確定運(yùn)動路徑．動態(tài)圖形運(yùn)動路徑的問題,我們可以先嘗試畫出動點(diǎn)的一些位置,一般包括起始位置、終止位置和運(yùn)動過程中的幾個(gè)一般位置,然后再由這些位置猜測動點(diǎn)的運(yùn)動路徑．圖3畫出了點(diǎn)C的三個(gè)位置,當(dāng)點(diǎn)D在半圓上與點(diǎn)A重合時(shí),點(diǎn)C在以AB為邊的等邊三角形的頂點(diǎn)(C1)上,當(dāng)點(diǎn)D在半圓上與點(diǎn)B重合時(shí),點(diǎn)C與點(diǎn)B重合．串聯(lián)起始位置、一般位置、終止位置,進(jìn)而可以猜想點(diǎn)C的運(yùn)動路徑是以起始狀態(tài)的BC1為直徑的半圓．通過圖3,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D與點(diǎn)C的運(yùn)動路徑是全等的半圓,每對對應(yīng)點(diǎn)之間是旋轉(zhuǎn)對稱的關(guān)系,基于對應(yīng)連結(jié)AD,C1C2,易證△ABD≌△C1BC2,所以∠C1C2B=∠ADB=90°,所以點(diǎn)C的運(yùn)動路徑是以C1B為半徑的半圓.

圖3 圖4

3.2 本原性思考方向二:基于函數(shù)模型

基于函數(shù)模型的本原性思考按以下三步走．

步驟一是自主發(fā)現(xiàn)函數(shù)關(guān)系．世界是普遍聯(lián)系的,運(yùn)動圖形中某個(gè)元素的運(yùn)動變化必然帶來其他相關(guān)量的變化,函數(shù)關(guān)系是運(yùn)動圖形研究的重要方向之一．通過分析本題題意、想象運(yùn)動過程發(fā)現(xiàn),點(diǎn)C隨著點(diǎn)D的運(yùn)動而運(yùn)動,即我們要研究的線段AC的長度隨著線段BD的長度變化而變化,其中蘊(yùn)含著初中函數(shù)概念宏觀變量說的三個(gè)基本要素:①這是一個(gè)運(yùn)動變化過程;②在這個(gè)運(yùn)動變化過程中有兩個(gè)變量(線段AC與BD的長度);③一個(gè)變量(AC)隨著另一個(gè)變量(BD)的變化而變化．因此,回歸函數(shù)概念就自然聯(lián)想到問題情境中蘊(yùn)含著函數(shù)關(guān)系,即線段AC與BD的長度之間存在著函數(shù)關(guān)系．

圖5

3.3 本原性思考方向三:基于圖形變換

圖6

4 本原性思考的反思

4.1 思考本原問題,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會如何想到

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有三個(gè)遞進(jìn)的層次:第一層次是知其然,知道是什么;第二層次是知其所以然,知道為什么;第三層次是知何由以知其所以然,知道怎么想到的[1]．平時(shí)解題教學(xué)中經(jīng)常會遇到這樣一種現(xiàn)象:學(xué)生練習(xí)時(shí)冥思苦想而不得其解,但經(jīng)老師稍加提示或點(diǎn)撥就恍然大悟,這種“不是做不到,而是想不到”的現(xiàn)象問題到底出在哪里?根子出在教師在“如何想”上缺少示范和引導(dǎo)．套路化解題訓(xùn)練將解題思考的過程濃縮成了解題套路,不利于學(xué)生感悟、學(xué)會如何想到．解題教學(xué)應(yīng)重視多讓學(xué)生思考“思路是怎么想到的”這一本原性問題,教會學(xué)生學(xué)會自主尋求解決問題的思路,發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和能力．

本題點(diǎn)A是定點(diǎn),點(diǎn)C是動點(diǎn),欲求AC的最大值一般會想到要把點(diǎn)C的運(yùn)動路徑弄清楚,自然形成基于運(yùn)動路徑的解題思路;本題分析圖形運(yùn)動元素,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C隨著點(diǎn)D的運(yùn)動而運(yùn)動,即線段AC隨著線段BD的變化而變化,回歸函數(shù)概念自然聯(lián)想到問題情境中蘊(yùn)含著函數(shù)關(guān)系,從而形成基于函數(shù)模型的解題思路;本題由線段BD與BC是共端點(diǎn)的相等線段的特征,引發(fā)學(xué)生自主聯(lián)系旋轉(zhuǎn)變換的特征,自然形成基于圖形變換的解題思路．這些思路是基于圖形條件和特征自然形成的,學(xué)生不僅“做得到”,而且“想得到”．

4.2 經(jīng)歷思考過程,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出:數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn),是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的．解題是數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個(gè)過程,應(yīng)把解題思考的過程還給學(xué)生,讓學(xué)生在思路形成的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．套路化解題訓(xùn)練剝奪了學(xué)生思考的過程,不利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成[2]．

基于運(yùn)動路徑的解題思路需要學(xué)生把握運(yùn)動全過程,嘗試勾勒一些特殊位置并猜想動點(diǎn)運(yùn)動路徑;基于函數(shù)模型的解題思路需要學(xué)生充分感受點(diǎn)C與點(diǎn)D、線段AC與BD之間的運(yùn)動變化關(guān)系;基于圖形變換的解題思路需要學(xué)生根據(jù)圖形特征用圖形變換的眼光審視圖形.這些思考過程有利于學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的形成.基于運(yùn)動路徑的解題思路中,動點(diǎn)C的運(yùn)動路徑需要先猜想再證明,合情推理與演繹推理有機(jī)結(jié)合,有利于學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的形成;基于函數(shù)模型的解題思路需要學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)線段AC與BD之間的函數(shù)依賴關(guān)系,然后再自主構(gòu)造函數(shù)模型,應(yīng)用函數(shù)模型解決問題,有利于學(xué)生數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成．

4.3 反思思考過程,感悟解題通法思維大道

題型歸類和套路技巧掩蓋了解題思維的暴露和展示.解題思路的自然生成分析不夠,讓學(xué)生產(chǎn)生解法的獲得是“天才的靈機(jī)一動”、可遇而不可求的錯(cuò)覺,不利于學(xué)生形成解題通法、感悟思維大道[2]．解題通法普適性強(qiáng),可遷移應(yīng)用的范圍廣.思維大道是數(shù)學(xué)探究的基本思想方法,不僅適用于數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)和研究,同樣也適用于其他學(xué)科．

反思基于運(yùn)動路徑的解題思路,學(xué)生容易感悟到:解題要力戒“望而生畏”,敢于從特殊到一般進(jìn)行嘗試,敢于“大膽猜想,小心求證”;反思基于函數(shù)模型的解題思路,學(xué)生容易感悟到:點(diǎn)C與點(diǎn)D、線段AC與BD之間的運(yùn)動變化關(guān)系蘊(yùn)含著函數(shù)概念的基本屬性,回歸基本概念是解題的重要手段;反思基于圖形變換的解題思路,學(xué)生容易感悟到:圖形變換是研究幾何問題的重要視角．

5 反對套路訓(xùn)練,提倡本原性思考

解題套路確實(shí)可以減少學(xué)生的思維量,提升學(xué)生的解題速度,但解題套路縮略了思考過程,放棄了思考過程所承載的育人價(jià)值,無法幫助學(xué)生解決“解題思路如何想到”的本原性困惑,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育缺少土壤[3].套路往往立足于某一類題的特殊解題技巧,普適性差,題目稍有變化,學(xué)生可能就會無從下手,在反套路的評價(jià)命題趨勢下,套路訓(xùn)練的收效越來越差.同時(shí)套路繁多,就比如前面提到的“瓜豆原理”,初中階段常見的類型有主動點(diǎn)在直線上和主動點(diǎn)在圓(或圓弧)上兩大類,主動點(diǎn)在直線上又分“線段+直線”

“角+直線”,主動點(diǎn)在圓上又分“線段+圓”“角+圓”,學(xué)生每掌握一種套路類型都需要大量刷題,通過大量刷題形成“條件反射”,加重了學(xué)生的課后作業(yè)負(fù)擔(dān)．因此,我們反對套路訓(xùn)練．

本原性思考還原思考過程,能充分發(fā)揮思考過程所承載的育人價(jià)值,有利于解決學(xué)生“解題思路如何想到”的本原性困惑,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),幫助學(xué)生感悟解題通法和思維大道,從而真正提升學(xué)生的解題能力,減輕學(xué)生的課后作業(yè)負(fù)擔(dān)．因此,我們提倡給學(xué)生提供更多的本原性思考的機(jī)會．