張維忠 唐慧榮

(浙江師范大學(xué)教育學(xué)院 321004)

大家一定都聽(tīng)過(guò)“大禹治水”的故事吧．“大禹治水十三載,三過(guò)家門(mén)而不入．”家喻戶曉的他是如何成功治水的呢?趙爽在《周髀算經(jīng)注》中這樣提到:“禹治洪水,決流江河.望山川之形,定高下之勢(shì).除滔天之災(zāi),釋昏墊之厄,使東注于海,而無(wú)浸溺.乃勾股之所由生也．”大禹治水竟然與著名的勾股定理有關(guān),是不是有些出人意料呢?

一直以來(lái),勾股定理作為“千古第一定理”,是浩瀚無(wú)垠的數(shù)學(xué)海洋中不可缺失的一顆耀眼明珠,在幾何學(xué)科中舉足輕重．它的神秘面紗吸引了廣大的數(shù)學(xué)愛(ài)好者,不同的民族對(duì)其都有著獨(dú)特的探索．目前,世人對(duì)其證明的方法已達(dá)500多種．在我國(guó),那不得不提及的就是著名的“趙爽弦圖”．趙爽到底是如何證明勾股定理的呢?下面,我們一起來(lái)探究華夏文明中這顆幾何學(xué)的璀璨明珠——趙爽弦圖．

1 什么是“趙爽弦圖”

1.1 中國(guó)勾股定理的最早記載——《周髀算經(jīng)》

在中國(guó)古代,人們把手臂彎曲成一個(gè)近似直角時(shí),靠近肩膀的那部分就叫做“勾”,靠近手的那部分便叫做“股”．一般來(lái)說(shuō),“勾”的長(zhǎng)度小于“股”的長(zhǎng)度．西周初年,商高在與周公旦的對(duì)話中提到“勾廣三,股修四,徑隅五”．后人簡(jiǎn)單地稱之為“勾三股四弦五”,這便是“勾股定理”的雛形．它如何產(chǎn)生的呢?

大約在4 000多年前,黃河流域洪水為患,洶涌的洪水淹沒(méi)了田地和房屋,百姓苦不堪言,部落治水九年卻得不到成效．善良的大禹不忍看到百姓飽受水害之苦,他吸取前人的經(jīng)驗(yàn),利用“左準(zhǔn)繩,右規(guī)矩”進(jìn)行測(cè)量,走遍了山山水水,終于治水成功!咆哮的河水失去了以往的兇惡,百姓的日子變得安定．大禹在此所用的“準(zhǔn)繩”和“規(guī)矩”就是我國(guó)最早的測(cè)量工具．簡(jiǎn)單地說(shuō),準(zhǔn)繩是定平、畫(huà)直線的工具,可以用來(lái)檢測(cè)水平和垂直．規(guī)矩則分別用來(lái)畫(huà)圓形和方形．

圖1 《周髀算經(jīng)》書(shū)影

大禹是如何利用這兩個(gè)工具的呢?《周髀算經(jīng)》(圖1)中提到,大禹是利用了“勾廣三,股修四,徑隅五”(32+42=52)的原理來(lái)進(jìn)行距離的計(jì)算、規(guī)劃并劃分九州以達(dá)到疏通河道的目的的[1]．

對(duì)于32+42=52,這是勾股定理的一個(gè)特例,也是勾股定理在中國(guó)的最早記載．追根溯源,勾股定理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的重要起源,中華數(shù)學(xué)傳統(tǒng)中的精髓開(kāi)方術(shù)、方程術(shù)等都與勾股定理密切相關(guān)．我們知道,數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué),任何結(jié)論的提出都必須經(jīng)過(guò)一步步的邏輯推理．因此,定理的發(fā)現(xiàn)是一回事,但對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)格的證明更是一件了不起的事．千百年來(lái),人們被它的魅力吸引,對(duì)此定理的證明趨之若鶩．目前,它是世界上已知證明方法最多的數(shù)學(xué)定理之一,但在《周髀算經(jīng)》中尚未發(fā)現(xiàn)直接的相關(guān)證明．

1.2 中國(guó)數(shù)學(xué)界的圖騰——趙爽弦圖

我國(guó)最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的是三國(guó)時(shí)代的趙爽(約182—250)．趙爽是我國(guó)三國(guó)時(shí)代的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家．早在公元3世紀(jì)左右,他在為《周髀算經(jīng)》作注釋時(shí),便撰寫(xiě)了《勾股圓方圖說(shuō)》一文,介紹了“勾股圓方圖”(圖2)．這幅圖也就是著名的“趙爽弦圖”(圖3)．

圖2 勾股圓方圖 圖3 趙爽弦圖

圖4 第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)

“趙爽弦圖”被人們稱為“中國(guó)古代數(shù)學(xué)的圖騰”,它簡(jiǎn)約美觀而不失深厚,是數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)．圖形呈中心對(duì)稱,內(nèi)部是由4個(gè)全等直角三角形圍著一個(gè)小正方形形成,外部則是將這4個(gè)三角形的頂點(diǎn)連接成一個(gè)大正方形．一直以來(lái),“趙爽弦圖”在數(shù)學(xué)人心中的地位非同小可．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議用一幅反映勾股定理的數(shù)形關(guān)系圖來(lái)作為與“外星人”交談的語(yǔ)言．2002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)(圖4)就依此制作．讓我們想象一下,這個(gè)古老而飽含智慧的圖案是不是還像一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)著的風(fēng)車?它透露著中國(guó)人民熱情友好的民族特色[2]．

那趙爽是如何記載的呢?他在《周髀算經(jīng)注》中寫(xiě)道:“勾、股各自乘,并之為弦實(shí).開(kāi)方除之,即弦．”你們能看懂這句古文的意思嗎?

這樣來(lái)看趙爽所記載的內(nèi)容就是大家所熟悉的勾股定理“原貌”.在初中教材中,一般把勾股定理簡(jiǎn)單表述為:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．

作為一條古老的數(shù)學(xué)定理,勾股定理包含著中國(guó)古代厚重的文明,它的出現(xiàn)和發(fā)展對(duì)于發(fā)揚(yáng)古代數(shù)學(xué)文化起到了重要作用．縱觀數(shù)學(xué)史,它不僅為幾何學(xué)奠定了基礎(chǔ),它衍生的許多分支也都得到了廣泛的應(yīng)用,對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響．比如,在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“利用數(shù)形結(jié)合,把直角三角形的特征轉(zhuǎn)化成三邊的數(shù)量關(guān)系”,勾股定理就與之密切相關(guān)．

2 趙爽弦圖與勾股定理

對(duì)于利用趙爽弦圖來(lái)證明勾股定理,目前有兩種比較主流的方法:一種是數(shù)學(xué)史家錢寶琮(1892—1974)解讀的“代數(shù)證明”,另一種是數(shù)學(xué)史家李文林提出的“出入相補(bǔ)”[3]．

2.1 “趙爽弦圖”與“代數(shù)證明”

我們跟著錢寶琮先生一起來(lái)解讀趙爽弦圖吧．

圖5 弦圖

觀察弦圖(圖5),圖中的4個(gè)全等直角三角形涂上了朱色,其面積被稱為朱實(shí);中間的1個(gè)小正形涂上黃色,其面積被稱中黃實(shí)．趙爽寫(xiě)道:“按弦圖,又可以勾、股相乘為朱實(shí)二,倍之,為朱實(shí)四.以勾、股之差自相乘,為中黃實(shí).加差實(shí),亦成弦實(shí)．”

值得指出的是,在弦圖原圖中,雖然趙爽畫(huà)的是邊長(zhǎng)為3,4,5的直角三角形,但其證明不失一般性,可見(jiàn)古代中國(guó)在數(shù)學(xué)上的成就不同凡響．

2.2 “趙爽弦圖”與“出入相補(bǔ)”

數(shù)學(xué)史家李文林認(rèn)為,趙爽是利用了“出入相補(bǔ)”的原理來(lái)證明勾股定理的．“出入相補(bǔ)”原理,顧名思義,就是對(duì)圖形進(jìn)行分割再移補(bǔ)而解決問(wèn)題的方法．對(duì)此,有沒(méi)有似曾相識(shí)的感覺(jué)呢?在平面圖形面積計(jì)算的教學(xué)中,我們就是利用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行公式推導(dǎo),如將三角形進(jìn)行分割拼成長(zhǎng)方形后進(jìn)行面積公式的推導(dǎo),這就是出入相補(bǔ)的應(yīng)用．

在總面積相等的條件下,先對(duì)兩個(gè)正方形進(jìn)行分割,根據(jù)需要移動(dòng)補(bǔ)湊,對(duì)分割后的圖形進(jìn)行位置上的變動(dòng),就這樣達(dá)到了證明勾股定理的目的．如圖6(1),根據(jù)一個(gè)直角三角形的兩條直角邊a,b為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形畫(huà)出的一個(gè)合并圖形,面積為a2+b2;再如圖6(2)這樣,截下兩個(gè)直角邊分別為a和b的全等三角形,并且將這兩個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)至圖6(3),這樣就得到一個(gè)以原三角形之弦為邊的正方形,其面積應(yīng)為c2．根據(jù)變化前后總面積不變,得到a2+b2=c2．在中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中像這樣運(yùn)用“出入相補(bǔ)”原理證明數(shù)學(xué)命題的方法十分普遍．

圖6

以上兩種對(duì)趙爽弦圖的解讀代表了中國(guó)古代數(shù)學(xué)以形證數(shù)、數(shù)形合一的特點(diǎn),這種代數(shù)與幾何之間密不可分的特色在世界數(shù)學(xué)史上獨(dú)樹(shù)一幟．

2.3 穿越古今,感受數(shù)形結(jié)合的魅力

看了以上的兩種證法,如果給你提供以下2個(gè)活動(dòng)材料(圖7),你能像古人一樣運(yùn)用自己的智慧感受一下數(shù)形結(jié)合的證明過(guò)程嗎?

圖7

活動(dòng)1 探究趙爽弦圖的證明

在白紙上先畫(huà)出圖7,再剪下試試．如果碰到困難,可以借助以下三條線索進(jìn)行解決．

線索1 對(duì)比趙爽弦圖,利用提供的材料進(jìn)行拼圖實(shí)驗(yàn)．

線索2 每一塊區(qū)域的面積分別怎樣表示?它們之間有怎樣的關(guān)系?

線索3 趙爽弦圖還有其他的解讀方法嗎?你可以利用網(wǎng)絡(luò)等資源進(jìn)行了解和探索．

活動(dòng)2 探究畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的證明

勾股定理作為世界的共同文化遺產(chǎn),受到了全世界的重視．西方人們相信它是由古希臘思想家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯(約前580—約前500)在公元前500年發(fā)現(xiàn)的,故稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派從鋪地磚問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)勾股定理(圖8、圖9),但由于學(xué)術(shù)的秘密性及歷史年代的久遠(yuǎn),他對(duì)勾股定理的證明并沒(méi)有流傳下來(lái)．畢達(dá)哥拉斯是怎樣發(fā)現(xiàn)勾股定理,又用了什么方法證明?后人對(duì)其做了合乎情理的推測(cè)．

圖8 圖9

請(qǐng)你完成下列任務(wù),試著進(jìn)行證明．

(1)請(qǐng)仔細(xì)觀察圖10,完成下表．

圖10

A面積B面積C面積圖11(1)圖11(2)

(2)你有什么發(fā)現(xiàn)呢?

(3)畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了三角形直角邊上的兩個(gè)正方形合起來(lái)的面積等于斜邊上的大正方形的面積．你同意他的說(shuō)法嗎?

對(duì)比兩種方法,你更喜歡哪一種?

(待續(xù))