□汪 楊 陸世奇 徐文彬

從廣義上來說，數(shù)線即表征數(shù)的意義、性質(zhì)和運算的線。它作為數(shù)形結(jié)合的典型工具，能生動、形象、直觀地反映數(shù)和形之間的對應(yīng)關(guān)系，是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的輔助手段。和數(shù)線相比，數(shù)軸在教學(xué)中具有更高的關(guān)注度。數(shù)軸包含于數(shù)線，是一條規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線。與這樣具有嚴格性和限制性的數(shù)軸相比，數(shù)線使用范圍更廣，具有靈活性、開放性和包容性等特點，能為教學(xué)提供更多的可能性。因此，厘清數(shù)線各種分類的內(nèi)涵，并分析其所具有的教學(xué)價值，是十分有必要的。

一、物理數(shù)線和心理數(shù)線及其教學(xué)價值

從存在形式的角度看，數(shù)線可分為物理數(shù)線和心理數(shù)線。物理數(shù)線具有外顯性，而心理數(shù)線具有內(nèi)隱性。物理數(shù)線是在客觀世界中真實存在的具象實體，能夠被直接呈現(xiàn)，具有直觀可視的特點，具體包括溫度計、時間尺、直尺、自制實體數(shù)線等。心理數(shù)線存在于人的大腦中，具有抽象性。如數(shù)字在大腦中的表達像一條從左至右依次遞增的數(shù)線，小數(shù)表征在左邊，大數(shù)表征在右邊［1］。

物理數(shù)線常作為數(shù)學(xué)課堂上的教學(xué)工具呈現(xiàn)，能展示出學(xué)生的思維過程，促進學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。其教學(xué)價值體現(xiàn)在三個方面。第一，承載具體數(shù)值，使常見的量直觀化。如：人教版教材二年級上冊“長度單位”單元中，直尺可用于度量紙條的長度（如圖1）；人教版教材二年級下冊“克和千克”單元中，秤上的非水平物理數(shù)線能測量事物的具體重量（如圖2）；另外，還有溫度計能準確地測量具體溫度；時間尺是一種表示時間的工具，能直觀地展現(xiàn)出普通計時法和24時計時法中時刻的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化關(guān)系；等等。受這些生活中的物理數(shù)線的啟發(fā)，學(xué)生會逐步完成從實物到抽象數(shù)線表征的過渡，發(fā)展抽象思維。第二，清晰地展現(xiàn)出對應(yīng)點和數(shù)的關(guān)系，使數(shù)的認識系統(tǒng)化?？蓪?shù)線上的標記刻度視為參考點，歸類出正數(shù)和負數(shù)、真分數(shù)和假分數(shù)等，建立整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)等不同數(shù)系之間的聯(lián)系，實現(xiàn)數(shù)系間的跨越。物理數(shù)線作為學(xué)習(xí)數(shù)的稠密性、連續(xù)性和離散性的幾何模型，可加深學(xué)生對數(shù)概念的理解和感悟。第三，呈現(xiàn)運算過程，使數(shù)的運算形象化。物理數(shù)線的形象化能幫助學(xué)生理解運算原理，促進學(xué)生對四則運算的深入理解，擴展其解決運算問題的思路和途徑，體驗計算方法的多樣性。

圖1 物理數(shù)線的應(yīng)用示意圖

圖2 物理數(shù)線的應(yīng)用示意圖

心理數(shù)線作為個人心理想象空間中的一種抽象空間情境，虛擬且不可視。心理數(shù)線的教學(xué)價值體現(xiàn)在三個方面。第一，心理數(shù)線的表征具有豐富性、差異性。因?qū)W生對數(shù)線的認識和理解的角度、程度不同，他們抽象的心理數(shù)線也會各不相同。在教學(xué)中，教師可抓住這種差異性，打破學(xué)生常規(guī)的心理定式，讓學(xué)生自主創(chuàng)作數(shù)線，如數(shù)的大小序列［2］數(shù)線。第二，心理數(shù)線與數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力具有相關(guān)性［3］。整數(shù)知識是圍繞著心理數(shù)線組織起來的，如人教版教材一年級上冊“11~20 各數(shù)的認識”單元例3 中做一做的第3 題（如圖3），題中11~19和20~12的整數(shù)數(shù)序認知便得益于相應(yīng)心理數(shù)線的建立。另外，心理數(shù)線的發(fā)展與數(shù)學(xué)能力的發(fā)展也存在一定關(guān)聯(lián)，有研究表明，心理數(shù)線的發(fā)展和測量、分類等數(shù)學(xué)能力的發(fā)展似乎是齊頭并進的。第三，心理數(shù)線體現(xiàn)具身認知理論的適用性。心理數(shù)線具有響應(yīng)碼（SNARC）的空間—數(shù)值關(guān)聯(lián)效應(yīng)（右手對大數(shù)、左手對小數(shù)會作出更快的反應(yīng)），這表明心理數(shù)線與多感官互相影響。因此，教師在教學(xué)中可調(diào)動學(xué)生的多感官來感知、理解數(shù)線，通過與數(shù)線相關(guān)的活動來擴展和完善學(xué)生的心理數(shù)線。

圖3 心理數(shù)線的應(yīng)用示意圖

二、有界數(shù)線和無界數(shù)線及其教學(xué)價值

從有限和無限的角度看，數(shù)線可分為有界數(shù)線和無界數(shù)線。這兩種數(shù)線能夠體現(xiàn)不同情境下數(shù)線的工具性本質(zhì)。有界數(shù)線完整地標記出數(shù)線的端點，固定的起點和終點使得該數(shù)線的長度有限（如圖4）。無界數(shù)線的端點標記不完整，通常沒有端點或者只有一個端點，所以數(shù)線的長度可無限延伸（如圖5）。有些無界數(shù)線上的基本單位長度選擇用數(shù)來標記［4］。

圖4 有界數(shù)線示意圖

圖5 無界數(shù)線示意圖

有界數(shù)線的教學(xué)價值體現(xiàn)在三個方面。第一，有界數(shù)線是數(shù)形結(jié)合的典型載體。有界數(shù)線的長度是確定的，可對應(yīng)表示數(shù)量的大小和多少。因此，可借助有界數(shù)線直觀的長短關(guān)系來表示其所代表的實際數(shù)量的大小關(guān)系，以形示數(shù)。如人教版教材五年級上冊“簡易方程”單元“實際問題與方程”中的例10（如圖6），教材借用有界數(shù)線來分析其隱含的數(shù)量關(guān)系，使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，這是典型的數(shù)形結(jié)合思想。第二，有界數(shù)線是比例推理的有力手段。數(shù)量間的大小關(guān)系和對應(yīng)的有界數(shù)線的長度關(guān)系應(yīng)成比例，這要求學(xué)生把握數(shù)量間的大小關(guān)系，并反映在有界數(shù)線的長短關(guān)系上，以此促進比例推理的發(fā)展。第三，有界數(shù)線是數(shù)線估計的主要工具。如北師大版教材二年級下冊“生活中的大數(shù)”單元練習(xí)二中的第8 題（如圖7），有界數(shù)線上的兩個端點2000 和3000 給定區(qū)間長度范圍，讓學(xué)生通過判斷2691 與兩端點數(shù)的相對關(guān)系，估計2691的具體位置，完成標準的數(shù)線估計任務(wù)。數(shù)所代表的實際數(shù)值和目標數(shù)值之間的差異體現(xiàn)出學(xué)生對數(shù)值大小的理解。有研究發(fā)現(xiàn)，估計的精度會隨著年齡的增長而增加，且估計的熟練度與數(shù)學(xué)能力呈顯著正相關(guān)［5］。因此，教師應(yīng)常利用有界數(shù)線設(shè)計數(shù)線估計任務(wù)，并隨學(xué)生年齡的增長逐步提高對估計精度的要求，以此來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

圖6 有界數(shù)線的應(yīng)用示意圖

圖7 有界數(shù)線的應(yīng)用示意圖

無界數(shù)線與有界數(shù)線在策略使用和感知覺上存在差異。無界數(shù)線的教學(xué)價值體現(xiàn)在兩個方面。第一，無界數(shù)線上用數(shù)值標記的基本單位是使用計數(shù)策略的基礎(chǔ)，所以無界數(shù)線常用于計數(shù)。第二，無界數(shù)線的長度沒有端點的限制，具有開放性和延伸性。如人教版教材二年級下冊“萬以內(nèi)數(shù)的認識”單元中的例10（如圖8），學(xué)生在此無界數(shù)線的使用中可體會到兩端無限擴張的延伸性，對整數(shù)數(shù)系的無限延伸產(chǎn)生直觀感受，培養(yǎng)空間想象力，促進數(shù)學(xué)抽象思維的發(fā)展。Regina Miriam Reinert 在相關(guān)研究綜述中就曾明確指出，越來越多的證據(jù)表明，無界數(shù)線是一種純粹和有效的心理數(shù)量級表征的測量方法［6］，這也與無界數(shù)線的無限性特征有關(guān)。

圖8 無界數(shù)線的應(yīng)用示意圖

三、結(jié)構(gòu)化數(shù)線、半結(jié)構(gòu)化數(shù)線和空數(shù)線及其教學(xué)價值

從標準化程度來看，數(shù)線可分為結(jié)構(gòu)化數(shù)線、半結(jié)構(gòu)化數(shù)線和空數(shù)線。結(jié)構(gòu)化數(shù)線標準化程度最高，空數(shù)線標準化程度最低，半結(jié)構(gòu)化數(shù)線介于兩者之間，三者之間能互相轉(zhuǎn)化。結(jié)構(gòu)化數(shù)線等同于數(shù)軸，具有原點、正方向和單位長度這3個要素，即有基準點0，用箭頭表示數(shù)線的大小、方向和數(shù)線的延續(xù)，同時包含位于數(shù)線上方或下方的刻度線，以表示單位長度［7］，如圖9所示。半結(jié)構(gòu)化數(shù)線只具有其中1～2 個數(shù)軸要素，是結(jié)構(gòu)化數(shù)線簡化后的產(chǎn)物，如圖10 所示?？諗?shù)線直接以一條直線的形式呈現(xiàn)，是由結(jié)構(gòu)化數(shù)線向半結(jié)構(gòu)化數(shù)線逐步簡化發(fā)展而成的，如圖11所示。目前，空數(shù)線已成為國際公認的一種發(fā)展心理策略的成功模式，其概念看似簡單，卻是一種基于先前研究結(jié)果的復(fù)雜結(jié)構(gòu)［8］。

圖9 結(jié)構(gòu)化數(shù)線示意圖

圖10 半結(jié)構(gòu)化數(shù)線示意圖

圖11 空數(shù)線示意圖

具體而言，結(jié)構(gòu)化數(shù)線是數(shù)線中最嚴格化的形式，它通過數(shù)線上的標記來表示數(shù)，可視為一條被分割標記成數(shù)個相等大小部分的線性比例尺。結(jié)構(gòu)化數(shù)線具有數(shù)線的迭代、均分特征。迭代是指連續(xù)地復(fù)制和粘貼基本單位，由基本單位的重復(fù)形成整條數(shù)線；均分是指把一條數(shù)線平均分成多個基本單位，整條數(shù)線由若干個基本單位組成。兩者構(gòu)成了理解結(jié)構(gòu)化數(shù)線的兩種視角。教師在教學(xué)中可根據(jù)教學(xué)目標和教學(xué)內(nèi)容靈活選擇不同視角下的數(shù)線。如學(xué)生在初步認識數(shù)線時可以選擇“迭代數(shù)線”，在學(xué)習(xí)分數(shù)時可以選擇“均分數(shù)線”，使結(jié)構(gòu)化數(shù)線有效服務(wù)于數(shù)學(xué)教學(xué)。結(jié)構(gòu)化數(shù)線是數(shù)學(xué)教學(xué)中高頻使用的工具，便于學(xué)生理解各種數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)運算過程，為數(shù)的排序搭建了直觀的平臺，有助于有理數(shù)連續(xù)性的可視化［9］，從而呈現(xiàn)給學(xué)生一個嚴密而完備的數(shù)系統(tǒng)。如人教版教材運用結(jié)構(gòu)化數(shù)線引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)的認識（如圖12）和數(shù)的四則運算（如圖13）。

圖12 結(jié)構(gòu)化數(shù)線的應(yīng)用示意圖

圖13 結(jié)構(gòu)化數(shù)線的應(yīng)用示意圖

半結(jié)構(gòu)化數(shù)線比結(jié)構(gòu)化數(shù)線更簡潔高效，給學(xué)生留有足夠的可操作空間，具有一定的靈活性和自主性。在半結(jié)構(gòu)化數(shù)線中，學(xué)生可以根據(jù)使用目的選取對自己解決問題有用的相關(guān)要素。這一過程能反映出學(xué)生的思維方式，有利于教師了解學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，及時提供指導(dǎo)幫助。如間隔排列問題中典型的植樹問題，只需在數(shù)線上標記刻度，以示意間距、尋找段數(shù)，從而找到解決問題的關(guān)鍵之處。

作為自由度最高的空數(shù)線，具有多方面教學(xué)價值。第一，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力。空數(shù)線為學(xué)生提供了個性化的使用方式，賦予學(xué)生表征和記錄的高度自由，使他們有足夠的發(fā)揮空間，可根據(jù)自己的想法進行調(diào)整，與其他數(shù)學(xué)元素靈活結(jié)合。第二，增強數(shù)感，提升數(shù)學(xué)能力。教師要創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生嘗試在空數(shù)線上放置正負整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)，增強學(xué)生對數(shù)和數(shù)關(guān)系的理解，提高學(xué)生的排序能力和比例推理能力。另外，有研究表明，空數(shù)線也是增強學(xué)生心算能力的有力工具［10］。第三，記錄個人思考痕跡。學(xué)生解決問題的思考過程可完整地展示在空數(shù)線上。教學(xué)中，教師要鼓勵學(xué)生使用空數(shù)線來記錄自己解決問題的過程。當學(xué)生思考不順暢或成功解決問題后進行回顧總結(jié)時，教師可借助其記錄痕跡提供指導(dǎo)和干預(yù)。但國內(nèi)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對空數(shù)線的重視度有待提升，目前僅有北師大版教材有使用空數(shù)線的傾向（如圖14）。

圖14 空數(shù)線的使用傾向示意圖

四、雙數(shù)線和單數(shù)線及其教學(xué)價值

從聯(lián)結(jié)性和分裂性的角度來看，數(shù)線可分為雙數(shù)線和單數(shù)線。這種分類凸顯出雙數(shù)線的特殊價值。雙數(shù)線是兩條數(shù)線的聯(lián)結(jié)（如圖15），每一條數(shù)線代表一種數(shù)量，通過兩種數(shù)量恒定的比率關(guān)系而將這兩個數(shù)量一一對應(yīng)。在使用中，可以根據(jù)實際情況把兩種數(shù)量簡化表示在一條數(shù)線的同一點上，實現(xiàn)兩條數(shù)線的對應(yīng)統(tǒng)一（如圖16）。相對于雙數(shù)線而言，單數(shù)線僅能表示出一種數(shù)量，讓兩種數(shù)量分別呈現(xiàn)，無法展現(xiàn)出兩種數(shù)量之間的聯(lián)結(jié)和變化，也不能體現(xiàn)兩種數(shù)量之間的比率關(guān)系。

圖15 雙數(shù)線示意圖

圖16 雙數(shù)線簡化示意圖

雙數(shù)線包含上下兩條數(shù)線，這兩條數(shù)線通常以不同的基本單位進行構(gòu)造。除直接呈現(xiàn)出的這兩條數(shù)線所表示的數(shù)量外，雙數(shù)線還暗含第三個量——兩個數(shù)量之間的恒定比率。如人教版教材六年級下冊“比例”單元“正比例”中的做一做（如圖17），路程和時間的數(shù)據(jù)各自形成水平非直觀數(shù)線，兩者間隱含的恒定比率即速度，可進一步簡化，形成雙數(shù)線，直觀呈現(xiàn)出兩種數(shù)量的共同變化過程及其固定的比率。雙數(shù)線是學(xué)習(xí)比及比例知識的教學(xué)工具，能幫助學(xué)生建立比和比例的關(guān)系，理解比、比例與分數(shù)、除法之間的聯(lián)系，為學(xué)生解決按比例分配的相關(guān)問題提供思考支架，有利于培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想。

圖17 雙數(shù)線的應(yīng)用示意圖

單數(shù)線將兩種數(shù)量分開呈現(xiàn)，一條數(shù)線對應(yīng)一種量，涵蓋了數(shù)線的普遍意義。

綜上所述，不同分類維度下的數(shù)線并非完全獨立的，而是存在交叉關(guān)系。根據(jù)以上不同分類，從直接性和間接性角度進行審視，數(shù)線發(fā)揮著作為研究對象和作為教學(xué)工具的雙重價值。

作為研究對象是指研究者直接研究數(shù)線本身固有的性質(zhì)、特征和功能等，以豐富數(shù)線的內(nèi)涵，開發(fā)數(shù)線的功能，這體現(xiàn)出數(shù)線的直接價值。例如，借助計算機研究心理數(shù)線；研究數(shù)軸的3 個要素，掌握數(shù)線內(nèi)在的邏輯體系；研究數(shù)線的均分特征、迭代特征和測量功能等。當研究者對數(shù)線內(nèi)在屬性的研究達到一定的深度和廣度后，再將數(shù)線作為工具使用會更得心應(yīng)手。

作為教學(xué)工具是指教師將其視為一種達到教學(xué)目的的工具，體現(xiàn)了數(shù)線的工具價值。例如：在小數(shù)和分數(shù)的學(xué)習(xí)中，數(shù)線可展現(xiàn)數(shù)概念的形成過程，幫助學(xué)生體會數(shù)的稠密性、連續(xù)性和離散性；也可將數(shù)的運算過程形象化，幫助學(xué)生比較數(shù)的大小。同時，教師要認識到，學(xué)生對各數(shù)線屬性有準確的認識是正確、高效運用數(shù)線解決問題的前提和基礎(chǔ)。

如表1所示，第一種分類是為了凸顯心理數(shù)線的獨特性。物理數(shù)線能讓學(xué)生從外顯的表面直觀中總結(jié)、概括出數(shù)線的內(nèi)在一致性，把握數(shù)線最基本、最普遍的內(nèi)涵。心理數(shù)線則是以抽象的形式存在于個人的想象空間里，具有個體差異性。教學(xué)中，要注意兼顧外顯的一致性和內(nèi)在的差異性。第二種分類聚焦于無界數(shù)線。無界數(shù)線的無限性和整數(shù)的無限性相對應(yīng)，具有開放性和延伸性。有界數(shù)線的長度固定有限，能表示出數(shù)與數(shù)的關(guān)系。這里的開放性和封閉性不存在孰優(yōu)孰劣，只是對兩種數(shù)線特征的表述。第三種分類有意突出空數(shù)線。結(jié)構(gòu)化數(shù)線是數(shù)線迭代特征和均分特征的重要體現(xiàn)，形式要求嚴格。空數(shù)線是學(xué)生增強數(shù)感、記錄思考路徑和培養(yǎng)創(chuàng)造力的有力工具，具有高度的自主性。半結(jié)構(gòu)化數(shù)線為方便學(xué)生的使用，保留了數(shù)軸的部分要素。三者賦予學(xué)生不同程度的表征和記錄自由。第四種分類傾向于表現(xiàn)雙數(shù)線的特殊價值。雙數(shù)線表現(xiàn)出兩種數(shù)量的聯(lián)結(jié)和協(xié)變關(guān)系。單數(shù)線只表示出一種數(shù)量，在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有普遍意義。

表1 作為研究對象的數(shù)線和作為教學(xué)工具的數(shù)線

由此可見，數(shù)線形式的多元化趨勢體現(xiàn)了數(shù)線的橫向發(fā)展，對數(shù)線內(nèi)涵、功能等的深入挖掘體現(xiàn)了數(shù)線的縱向發(fā)展。