萬敏, 楊山山

(西南石油大學(xué) 機電工程學(xué)院,成都 610000)

機械臂是一個比較復(fù)雜的多輸入多輸出的非線性系統(tǒng),并且由于其具有強耦合和時變的特性,因而對機械臂的軌跡跟蹤控制一直是一個難點[1]。目前對于機械臂的控制方法一般有前饋補償法、自適應(yīng)控制、變結(jié)構(gòu)控制、魯棒控制、PID控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊控制等方法[2]。目前對由于外界干擾或是自身因素引起的機械臂的參數(shù)跳變問題多是使用魯棒控制和自適應(yīng)控制,但是魯棒控制有比較大的控制力矩。自適應(yīng)控制通過在線辨識、學(xué)習(xí),在線調(diào)整控制規(guī)律能夠達(dá)到不錯的控制效果,但是其每一次控制參數(shù)的變化都會重復(fù)進行一次自適應(yīng)調(diào)節(jié)過程,對于實時性要求比較高的系統(tǒng)并不是很適合。實際上,針對含有參數(shù)跳變和有著未知擾動的機械臂系統(tǒng)是可以看做一個切換系統(tǒng),不同的控制參數(shù)對應(yīng)著不同的子系統(tǒng),切換系統(tǒng)也彌補了自適應(yīng)控制的實時性問題。近年來,對于非線性切換系統(tǒng)的跟蹤控制問題也有著大量的研究[3-6]。文獻[2]針對一類柔性機械臂在負(fù)載跳變時對其軌跡跟蹤控制進行研究,其利用多Lyapunov函數(shù)及ADT理論設(shè)計的切換滑?？刂破魍瓿闪藢θ嵝詸C械臂的軌跡控制。文獻[7]針對一類具有隨機切換的非線性系統(tǒng),提出了一種自適應(yīng)模糊控制方案。文獻[8]針對一類非嚴(yán)格反饋不確定切換非線性系統(tǒng),提出了一種模糊自適應(yīng)輸出反饋控制方法,并將該方法應(yīng)用于帶有電機驅(qū)動的機械臂軌跡跟蹤控制的研究。

狀態(tài)約束是指系統(tǒng)由于安全性和性能因素等原因要求其某些狀態(tài)在暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)時都能運行在某個特定的邊界內(nèi),即滿足一定的約束條件。在實際工業(yè)生產(chǎn)中,如果忽視這些約束限制帶來的系統(tǒng)狀態(tài)“越界”的情況,可能就會引發(fā)嚴(yán)重的事故,造成不必要的財產(chǎn)損失,因此對于狀態(tài)約束控制的研究是非常有必要的。目前對于狀態(tài)約束的研究多是引入合適的Barrier Lyapunov函數(shù)防止系統(tǒng)狀態(tài)違反相應(yīng)的約束。文獻[9]研究了一類全狀態(tài)約束和輸入飽和的全向三輪驅(qū)動移動機器人的軌跡跟蹤控制問題,并達(dá)到了良好的控制效果,但是其對系統(tǒng)狀態(tài)不完全可測的情況缺乏考慮。文獻[10]針對具有輸入飽和的全狀態(tài)約束非線性系統(tǒng),研究了狀態(tài)和外界干擾均不可測情況下的輸出反饋跟蹤控制,但是其關(guān)于反步法中存在的復(fù)雜性“爆炸”問題并未解決。文獻[11]針對一類具有全狀態(tài)約束和狀態(tài)不完全可測的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng),提出了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)觀測器的動態(tài)面輸出反饋技術(shù),達(dá)到了良好的控制精度,但是該文獻僅是針對單一系統(tǒng)進行控制器設(shè)計和穩(wěn)定性分析,未考慮包含多個子系統(tǒng)的情況。

本文的特點在于:首先,大多數(shù)控制器的設(shè)計都是需要所有的狀態(tài)向量是可測的,而本文僅是需要系統(tǒng)的輸出信號可測即可完成控制器的設(shè)計,實用范圍更廣;其次, 由于在反步設(shè)計方法中虛擬控制律需要在每一級的反推設(shè)計中進行重復(fù)求導(dǎo),因而所設(shè)計的控制器的計算復(fù)雜度會隨著系統(tǒng)階數(shù)的增加而增加,設(shè)計的控制器也只能應(yīng)用于一些低階實際系統(tǒng)。因此本文利用動態(tài)表面控制技術(shù),即在反步設(shè)計方法中引入一階濾波器,將復(fù)雜的微分運算變?yōu)楹唵蔚拇鷶?shù)運算,從而避免了控制器設(shè)計中反復(fù)對虛擬控制律求導(dǎo)的情況,極大的簡化了控制器的設(shè)計過程;最后,本文設(shè)計的控制算法能夠應(yīng)用于實際工程模型,有一定的實用性。

1 被控系統(tǒng)模型及準(zhǔn)備

1.1 系統(tǒng)模型描述及基本假設(shè)

考慮如下一類嚴(yán)格反饋非線性切換系統(tǒng),其形式為:

(1)

式中:x為系統(tǒng)的狀態(tài)向量,x=[x1,x2,…,xn]T∈Rn,i=1,2,…,n-1,且只有x1是可測的;uσ(t)∈R為控制信號;σ(t):[0,∞)→M={1,2,…,m}為系統(tǒng)的切換信號,并且它是一個右分段連續(xù)函數(shù),當(dāng)σ(t)=k時,即第k個子系統(tǒng)處于運行狀態(tài),uk∈R是第k個子系統(tǒng)的控制器輸入;y∈R為系統(tǒng)的輸出;fi,σ(t)(i=1,2,…,n,下文中若無其他說明,i均為此取值范圍)為一個未知非線性光滑函數(shù);di,σ(t)(t)是未知擾動。

(2)

引理2[21]對任意正常數(shù)kbi,當(dāng)|zi|

(3)

控制目標(biāo):1) 設(shè)計一個自適應(yīng)輸出反饋控制器,使得輸出y(t)能夠跟蹤期望軌跡yd(t),且跟蹤誤差z1=y-yd盡可能小;2) 保證閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號有界;3) 系統(tǒng)中的所有狀態(tài)都不違反約束。

1.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)觀測器設(shè)計

對于第k個子系統(tǒng),非線性切換系統(tǒng)(1)可以寫成如下形式:

(4)

(5)

式中:Qk>0與Pk>0分別是任意給定的正定對角矩陣和正定對稱矩陣,Qk>0和Pk>0。

(6)

其中

(7)

(8)

因此,最小逼近誤差可以表示為

(9)

將式(6)和式(9)代入式(4)可得:

(10)

因此對于第k個子系統(tǒng),神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)觀測器可以設(shè)計成如下形式:

(11)

(12)

2 自適應(yīng)控制律設(shè)計

對于自適應(yīng)控制律的推導(dǎo)過程包括n步,通過在每一個步驟中選擇恰當(dāng)?shù)腂arrier Lyapunov函數(shù)Vi,k,k∈{1,2,…,m}來構(gòu)造虛擬控制律?？刂破髟O(shè)計步驟如下:

定義z1為跟蹤誤差,zi為虛擬誤差,αi-1,k為虛擬控制律,同時引入一階濾波器,有:

(13)

步驟1 對z1進行求導(dǎo),可得

(14)

定義如下的Lyapunov函數(shù)

(15)

(16)

根據(jù)Young′s不等式,有:

(17)

(18)

(19)

由式(17)～式(19)可得

(20)

將式(20)代入式(16)得

(21)

(22)

(23)

根據(jù)Young′s不等式,有

(24)

將式(22)和式(23)代入式(21),有

(25)

步驟i(2≤i≤n-1):對zi進行求導(dǎo),可得

(26)

定義Barrier Lyapunov函數(shù)為

(27)

式中γi,k為設(shè)計參數(shù),γi,k>0。

Vi,k的時間導(dǎo)數(shù)為

(28)

(29)

(30)

由式(29)和式(30),有

(31)

步驟n在最后一步中,系統(tǒng)的控制輸出為u,有

(32)

定義如下的Barrier Lyapunov函數(shù)

(33)

式中γn,k為設(shè)計參數(shù),γn,k>0。

Vn,k的時間導(dǎo)數(shù)為

(34)

(35)

(36)

由式(35)和式(36),有

(37)

3 穩(wěn)定性分析

定義閉環(huán)系統(tǒng)的李亞普洛夫函數(shù)為Vk=Vn,k,因此可以得到Vk的導(dǎo)數(shù),有

(38)

根據(jù)文獻[11],有

(39)

式中B1,k(·)是連續(xù)函數(shù)。

因此,有

(40)

當(dāng)Vk=p時,連續(xù)函數(shù)Bi,k(·)有界,且存在一個最大值Mi,k[11]。

根據(jù)Young′s不等式,有:

(41)

(42)

根據(jù)引理2,可得

(43)

所以由式(38),有

(44)

其中

(45)

通過選擇合適的Qk,ci,cn和νi,有

λmin(Qk)-1>0,ci,k-1>0,

(46)

式中i=1,2,…,n-1。

定義正參數(shù)

(47)

定義C=minCk和D=maxMk,因此,式(44)可寫為

(48)

證明W(t)=eCtVσ(t)(x(t))是系統(tǒng)方程式(1)的解且分段可微。根據(jù)式(48),在每一個[tj,tj+1)區(qū)間里,有

(49)

同式(16)的證明方式,有

(50)

其中μ>1,且k,l∈M。因此,可以得到

W(tj+1)=eCtj+1Vσ(tj+1)(x(tj+1))≤

μeCtj+1Vσ(tj+1)(x(tj+1))=

(51)

對于任意T>t0=0,將不等式(51)從j=0迭代到j(luò)=Nσ(T,0)-1,有

(52)

因此,可得

?T≥t≥0

(53)

由于,Nσ(T,0)-j≤1+Nσ(T,tj+1)(j=0,1,…,Nσ(T,0)),則

(54)

(55)

將式(54)和式(55)代入式(52),可得

(56)

(57)

由式(57)可得

(58)

(59)

因此,可得

(60)

式(60)表明,狀態(tài)觀測器的誤差可以通過選擇適當(dāng)?shù)卦O(shè)計參數(shù)減小[11,15]。

4 與已有成果的對比分析

將提出的控制算法和已有的成果進行對比分析。

1) 文獻[11]針對一類具有全狀態(tài)約束和狀態(tài)不完全可測的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)(其結(jié)構(gòu)如式(61)所示),提出了一種自適應(yīng)輸出反饋控制算法。但該控制算法僅考慮的單一系統(tǒng),未考慮被控對象存在著切換系統(tǒng)的情況。事實上,在實際生活中切換系統(tǒng)是廣泛存在的,如汽車變速系統(tǒng),智能機器人系統(tǒng)和電壓轉(zhuǎn)換系統(tǒng)等,因此,針對上述系統(tǒng),很顯然文獻[11]所提的控制算法是不適用的。而本文提出的控制算法就解決了這一類切換問題,且通過利用Lyapunov方法和平均駐留時間理論保證了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(61)

式中:x1,x2,…,xn是系統(tǒng)狀態(tài)向量;u∈R和y∈R分別為系統(tǒng)的輸入和輸出;di是有界未知擾動;令Xi=[x1,…,xi]T,假定在該系統(tǒng)中只有x1是已知可測的,fi(Xi),是一個未知的非線性光滑函數(shù)。

2) 文獻[22]針對一類嚴(yán)格反饋不確定非線性切換系統(tǒng)進行研究(其結(jié)構(gòu)如式(62)所示),提出了一種基于共同Lyapunov函數(shù)的自適應(yīng)動態(tài)表面控制方法。但是,該方法由于未考慮系統(tǒng)狀態(tài)變量是否可測的問題,有著一定的局限性。因為在實際工業(yè)中通過直接測量從而得到所有狀態(tài)變量的現(xiàn)象是很少見的,大多數(shù)情況下都需要可靠地估計出不可測量的狀態(tài)變量。 因此本文通過設(shè)計神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)觀測器去估計系統(tǒng)未知狀態(tài)從而解決了這一問題。

(62)

3) 文獻[9]研究了一類具有全狀態(tài)約束和輸入飽和的全向移動機器人的軌跡控制問題,并且基于反步法設(shè)計了一種自適應(yīng)輸出反饋控制方法。但是該方法沒有考慮反步設(shè)計方法中存在的“微分爆炸”問題,使得控制器的設(shè)計更為復(fù)雜且有著一定的局限性。因此,本文通過應(yīng)用動態(tài)表面控制技術(shù)解決了這一問題,同時也避免了反步設(shè)計方法中要求參考信號必須是n階可導(dǎo)條件的限制。

綜上所述,本文同時針對一類具有狀態(tài)約束和狀態(tài)不完全可測的非線性切換系統(tǒng)進行研究,設(shè)計了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)輸出反饋控制方法,同時也解決了反步設(shè)計方法中存在的“微分爆炸”問題。相比于以上文獻提出的控制算法,本文所提算法實用范圍更廣,控制精度更高。

5 仿真

本節(jié)將對具體的算例進行仿真,對本文所提出的控制算法進行仿真驗證?？紤]嚴(yán)格反饋非線性切換系統(tǒng)為:

(63)

其中:

(64)

約束邊界選擇為kc1=1.5,kc2=4。參考信號為yd=sin(t)。

設(shè)計帶有觀測器的自適應(yīng)切換控制器為:

(65)

式中k=1,2。

本文采用高斯基函數(shù)作為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基函數(shù)來進行相關(guān)算法的設(shè)計,其結(jié)構(gòu)為

(66)

式中:i=1,2…,n;k=1,2…,n。

圖1是系統(tǒng)的輸出y和參考信號yd的跟蹤軌跡,可以看到y(tǒng)和yd并未違反約束且能達(dá)到很好的控制效果。

圖1 系統(tǒng)輸出y和參考信號yd的跟蹤軌跡

圖2是跟蹤誤差z1,可以看到z1并未違反約束條件-ka1(t)

圖2 跟蹤誤差z1

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)x1和其狀態(tài)觀測值的軌跡

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)x2和其狀態(tài)觀測值的軌跡

圖5是切換系統(tǒng)的切換信號,當(dāng)k=1時運行第一個子系統(tǒng),當(dāng)k=2時運行第二個子系統(tǒng)。圖6是控制器輸入軌跡。仿真結(jié)果說明,所提出的控制方法是有效的。

圖5 切換信號

圖6 控制器軌跡

6 機械臂軌跡跟蹤控制

本文所提出的控制算法通過穩(wěn)定性證明和數(shù)值例子的仿真實驗進行了驗證,結(jié)果表明該算法針對一類具有全狀態(tài)約束和狀態(tài)不完全可測的嚴(yán)格反饋非線性切換系統(tǒng)有著良好的控制性能。因此,本節(jié)將所提出的控制算法應(yīng)用于實際工程模型,探究其控制效果。

考慮如下一個帶有電機驅(qū)動以及未知擾動的單關(guān)節(jié)機械臂系統(tǒng)。針對其軌跡進行跟蹤控制,其動態(tài)方程[23]為:

(67)

(68)

其中:

(69)

圖7給出了單關(guān)節(jié)機械臂位置輸出信號x1和參考信號yd的跟蹤軌跡。

圖7 位置輸出信號y和參考信號yd的跟蹤軌跡

圖8給出了機械臂軌跡跟蹤誤差z1,由圖易知,該系統(tǒng)在穩(wěn)定后的軌跡跟蹤誤差在0.01以內(nèi),有著良好的控制效果,且所有的信號都在規(guī)定的約束邊界內(nèi)。

圖8 位置跟蹤誤差z1

圖9 位置輸出信號x1和其狀態(tài)觀測值的軌跡

圖10 速度信號x2和其狀態(tài)觀測值的軌跡

圖11 電機轉(zhuǎn)矩x3和其狀態(tài)觀測值的軌跡

圖12和圖13分別是機械臂系統(tǒng)的切換信號和控制器軌跡。

圖12 機構(gòu)臂切換信號

圖13 機構(gòu)臂控制器軌跡

通過以上的仿真結(jié)果表明,本文所提出的控制算法能夠有效應(yīng)用于實際工程模型,且有著良好的控制效果。

7 結(jié)論

本文設(shè)計的自適應(yīng)動態(tài)面輸出反饋控制器,能夠很好的控制一類具有全狀態(tài)約束和狀態(tài)不完全可測的不確定嚴(yán)格反饋非線性切換系統(tǒng)。通過Lyapunov方法、ADT理論和數(shù)值仿真分別在理論和實驗層面驗證了所提方法的有效性,同時,通過選擇恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計參數(shù),可以使跟蹤誤差和觀測器誤差保持在一個足夠小的零鄰域內(nèi)。最后,針對帶有狀態(tài)約束的機械臂進行控制,仿真結(jié)果表明,其軌跡跟蹤誤差很小,且有著良好的控制效果,也為將來將該控制算法應(yīng)用于實際工業(yè)中奠定了理論基礎(chǔ)。