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厚薄通用四邊形平板殼元在薄壁結(jié)構(gòu)加筋布局優(yōu)化中的應(yīng)用

2023-07-12 02:47丁曉紅
空天防御 2023年2期
關(guān)鍵詞:舵面加強筋四邊形

王 謙,丁曉紅,張 橫

(上海理工大學(xué) 機械工程學(xué)院,上海 200093)

0 引 言

舵面作為彈體的重要部件,是飛行器主要承力部件之一,具有輕質(zhì)、高承載的設(shè)計要求[1]。舵面結(jié)構(gòu)由薄壁板殼結(jié)構(gòu)組成,單純薄壁板殼結(jié)構(gòu)的剛度、強度、振動等力學(xué)性能不佳,在實際應(yīng)用中一般采用加筋結(jié)構(gòu)形式。布置加強筋能夠以較小的質(zhì)量增加為代價,大幅提高板殼結(jié)構(gòu)的靜動態(tài)性能。因此,如何布局加強筋成為了加筋設(shè)計中的重點問題。

近年來,研究人員將結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化引入舵面結(jié)構(gòu)加強筋分布的設(shè)計中,提升了舵面結(jié)構(gòu)的各項性能[2-4]。但是基于變密度法(density method)尋求最優(yōu)材料布局進而間接確定加強筋位置的方法需要特殊的后處理手段,才能判定加強筋的實際位置、走向、厚度等,但后處理過程存在一定的主觀性,會影響優(yōu)化設(shè)計結(jié)果的最優(yōu)性。丁曉紅等[5-6]提出了一種啟發(fā)式幾何顯式加筋拓撲優(yōu)化方法“自適應(yīng)成長法(adaptive growth method)”,該方法基于自然界分枝系統(tǒng)成長、分歧與退化機理發(fā)展而來。相較變密度法等幾何隱式方法,自適應(yīng)成長法直接以加強筋截面幾何參數(shù)作優(yōu)化設(shè)計變量,具有優(yōu)化效率高、優(yōu)化結(jié)果清晰、可制造性強等優(yōu)點,近年來被廣泛運用于各類板殼結(jié)構(gòu)加筋靜動態(tài)優(yōu)化設(shè)計中。

自適應(yīng)成長方法通過有限元方法進行結(jié)構(gòu)分析,在迭代中以筋板截面參數(shù)變化表示“成長”和“退化”。季學(xué)榮[7]利用自適應(yīng)成長法對汽車發(fā)動機罩板加筋布局進行了設(shè)計。侯劍云[8]同樣受自然界生物自適應(yīng)成長機理啟發(fā),提出基于連續(xù)階躍參考應(yīng)力的軟殺法(soft kill optimization,SKO)。這兩項研究的結(jié)構(gòu)分析部分利用商業(yè)有限元分析軟件,采用差分法計算單元靈敏度,因此,計算精度受到限制且計算效率較低;Shen 等[9-10]基于自適應(yīng)成長法提出了3D 箱型結(jié)構(gòu)的剛度、阻尼協(xié)同優(yōu)化方法,結(jié)構(gòu)分析部分利用Long 等[11]提出的基于廣義協(xié)調(diào)理論的平板型矩形殼元GCR24 處理的,該單元由平面薄膜元GR12 和薄板彎曲元GPL-R12 單元耦合構(gòu)建。GCR24 單元用于幾何顯式板殼加筋拓撲優(yōu)化時具有列式簡單、計算效率高的優(yōu)勢,同時在筋板厚度變化過程中避免了剪切閉鎖問題,但GCR24 單元是矩形單元,不能滿足舵面等復(fù)雜結(jié)構(gòu)的有限元分析對網(wǎng)格靈活性的需求。

綜上所述,利用自適應(yīng)成長法對舵面結(jié)構(gòu)的加筋布局進行拓撲優(yōu)化,構(gòu)建一種厚薄通用、高準(zhǔn)確度的四邊形平板殼元十分必要。本文通過耦合GQ12膜元和MITC4 板元構(gòu)造了四邊形平板殼元并構(gòu)建基結(jié)構(gòu),隨后引入自適應(yīng)成長法對舵面結(jié)構(gòu)進行加筋布局拓撲優(yōu)化,以此實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計。

1 GQ12 膜元與MITC4 板元耦合的四邊形平板殼元

1.1 具有旋轉(zhuǎn)自由度的四邊形膜元GQ12

為克服低階位移型單元計算精度差的問題,Long等[12-13]采用廣義協(xié)調(diào)條件構(gòu)造了具有旋轉(zhuǎn)自由度的四邊形膜元GQ12,該單元列式簡單,能通過任意四邊形分片檢驗收斂單元,計算精度較高。GQ12引入剛體轉(zhuǎn)角作為單元節(jié)點的旋轉(zhuǎn)自由度,每個節(jié)點有兩個線自由度和一個平面內(nèi)轉(zhuǎn)角自由度,每個節(jié)點的自由度為

式中:ui、vi為節(jié)點線位移分量;θi為節(jié)點附加平面內(nèi)轉(zhuǎn)角位移分量。

GQ12膜元的位移場由兩個部分組成:

式中:u0=[u0v0]T,為雙線性協(xié)調(diào)位移場;uθ=[uθvθ]T,為由單元節(jié)點角位移分量θi引起的附加位移場。附加位移場為

式中:(ξ,η)為單元的自然坐標(biāo)系。

將附加剛體轉(zhuǎn)角位移而產(chǎn)生的單元邊界位移沿單元邊界設(shè)為三次分布,并對每一邊引入廣義協(xié)調(diào)條件。待定參數(shù)αi、βi(i=1,2,3,4)的詳細推導(dǎo)過程參見文獻[12],代入式(3)可得GQ12 單元的總位移場,表示為

式中:N0i、Nuθi、Nvθi為單元對不同位移場的形函數(shù)。

式中:ξ、η和ξi、ηi分別為單元和單元節(jié)點的自然坐標(biāo)系坐標(biāo)。

GQ12的應(yīng)變場為

單元剛度矩陣為

式中:B為單元應(yīng)力-應(yīng)變矩陣;D為彈性系數(shù)矩陣;|J|為雅可比矩陣行列式;t為單元厚度。

1.2 剪應(yīng)變混合插值板元MITC4

基于一階剪切變形理論的Mindlin 板元對位移場和轉(zhuǎn)角場各自獨立插值,由于單元邊界只要求C0類連續(xù),因此滿足網(wǎng)格靈活性的需求,以及舵面等復(fù)雜外形結(jié)構(gòu)的分析需要。一階剪切變形理論放棄了Kirchhoff 理論的直法線假設(shè),因此對于橫向剪切變形明顯的中厚板的分析,Mindlin 板元的預(yù)測效果相比Kirchhoff板元更好。但是,Mindlin板用于薄板時存在剪切閉鎖和應(yīng)力振蕩等問題,不能滿足幾何顯式加筋拓撲優(yōu)化對有限元分析的要求。

縮減積分和選擇積分方法列式簡單,可解決剪切閉鎖的問題,但根據(jù)約束類型等的不同,會帶來零能模式問題?;旌喜逯凳且环N比較理想的構(gòu)造厚薄通用板元的方法,通過對單元面內(nèi)應(yīng)變和橫向剪切應(yīng)變使用不同的插值函數(shù),避免剪切閉鎖和零能模式問題。Bathe等[14-15]基于Mindlin板理論提出剪應(yīng)變混合插值板元(mixed interpolated tensorial component,MITC4),計算結(jié)果較好,滿足復(fù)雜結(jié)構(gòu)的工程分析需要,如圖1所示。

圖1 板單元位移場Fig.1 Displacement field of plate element

由圖1可得,板單元的橫向剪切應(yīng)變?yōu)?/p>

式中:θx、θy為x軸和y軸轉(zhuǎn)角位移分量;ω為橫向位移。

Mindlin板理論中,對于系統(tǒng)總位能公式中的彎曲應(yīng)變能項,MITC4 單元使用與基于位移方法的Mindlin板單元相同的插值方法,廣義位移通過相同的形函數(shù)獨立插值為

式中:ωi、θxi、θyi分別為單元各節(jié)點處橫向位移分量、x軸和y軸轉(zhuǎn)角位移分量。

但是,對于橫向剪切應(yīng)變能項,如果采用相同的插值形式,會在薄板情況下出現(xiàn)剪切閉鎖問題。Bathe 等[14-15]提出的MITC4 單元方案中,構(gòu)造了一種在單元邊和單元內(nèi)滿足剪應(yīng)變一致的插值函數(shù),插值形式為

式中:γAξz、γBηz、γCξz、γDηz分別為MITC4 單元在ξ-η-z坐標(biāo)系下A、B、C、D四邊中點的橫向剪應(yīng)變。

如圖2 所示,對于x-y平面內(nèi)任意凸四邊形單元I-J-K-L,γξz、γηz的計算式為

圖2 任意四邊形單元Fig.2 Quadrilateral element

式中:detJ為雅可比矩陣行列式,

則有

同時,由于剪應(yīng)變表達式定義在ξ-η-z坐標(biāo)系下,需要轉(zhuǎn)化到x-y-z坐標(biāo)系下,轉(zhuǎn)換形式為

式中:α為ξ軸與x軸夾角;β為η軸與y軸夾角。

1.3 驗證算例

為驗證GQ12 膜元與MITC4 板元耦合平板殼元的分析精度,設(shè)計一個四邊形折板,其幾何尺寸如圖3所示。折板一側(cè)約束,另一側(cè)一點受集中力載荷F=-1 000 N 的作用,取結(jié)構(gòu)E=210 GPa,v=0.3,分別對5 mm厚度及10 mm厚度折板算例求解結(jié)構(gòu)應(yīng)變。

圖3 四邊形折板算例Fig.3 Example of quadrilateral folded-plate

5 mm 厚度折板GQ12 膜元與MITC4 板元耦合平板殼元自編Matlab 程序的分析結(jié)果如圖4(a)所示,采用商業(yè)有限元分析軟件Ansys的分析結(jié)果如圖4(b)所示。不同厚度折板加載節(jié)點和最大位移節(jié)點Z軸方向位移數(shù)值對照見表1和表2。

表1 5 mm厚四邊形折板Z軸方向位移Tab.1 Z-axis displacement of the quadrilateral foldedplate with 5 mm thickness

表2 10 mm厚四邊形折板Z軸方向位移Tab.2 Z-axis displacement of the quadrilateral foldedplate with 10 mm thickness

圖4 四邊形折板分析結(jié)果對比Fig.4 Analysis results comparison of the quadrilateral folded-plate

對以上算例結(jié)果進行對比,考察加載節(jié)點與最大位移節(jié)點Z軸方向位移值,相同約束和載荷條件下,5 mm 厚度折板與10 mm 厚度折板自編程序GQ12+MITC4 耦合平板殼元與商業(yè)有限元軟件分析結(jié)果誤差均<4.5%,說明GQ12+MITC4耦合平板殼元具備厚薄通用性,計算精度良好。

2 自適應(yīng)成長法

在自適應(yīng)成長法結(jié)構(gòu)加筋拓撲優(yōu)化中,采用基結(jié)構(gòu)法建立優(yōu)化幾何模型,其優(yōu)點在于避免優(yōu)化迭代過程中網(wǎng)格的重劃分。參考承載和約束條件確定“種子點”的位置,如圖5(a)所示。從“種子點”生長出來的加強筋根據(jù)一定規(guī)則成長或退化;生長到一定尺度可以“分歧”,再從“分歧點”繼續(xù)生長,在下步迭代中參與成長與退化;退化到一定尺度則“消失”,如圖5(b)—圖5(c)所示。這個過程在優(yōu)化迭代中反復(fù)進行,直至滿足收斂條件。

圖5 加強筋拓撲優(yōu)化的自適應(yīng)成長過程Fig.5 Adaptive growth process of stiffener topology optimization

2.1 數(shù)學(xué)模型及靈敏度分析

靜載荷下,薄壁結(jié)構(gòu)自適應(yīng)成長法加筋拓撲優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可以表述為:在給定的體積約束下,選擇加強筋厚度作為設(shè)計變量,以結(jié)構(gòu)在載荷條件下的總應(yīng)變能為目標(biāo)函數(shù),逐步尋求最優(yōu)解。其統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型可以表達為

式中:X為設(shè)計變量;xi為第i個活動筋板單元的厚度;n為加強筋單元的總數(shù);Φ(X)為目標(biāo)函數(shù),即總應(yīng)變能;V、V0分別為整體結(jié)構(gòu)總體積和結(jié)構(gòu)初始體積;η為體積約束因子;xmin、xmax為設(shè)計變量xi的取值下限和上限;g(X)為約束函數(shù)。

薄壁結(jié)構(gòu)的柔度關(guān)于加強筋厚度的靈敏度計算公式為

式中:ui為第i加強筋單元的位移矢量;ki為第i加強筋單元的剛度矩陣。

2.2 優(yōu)化設(shè)計流程

基于優(yōu)化數(shù)學(xué)模型和自適應(yīng)成長法基本原理,以移動漸近線法(method of moving asymptotes,MMA)作為迭代更新準(zhǔn)則對結(jié)構(gòu)分布進行尋優(yōu),具體流程如圖6所示。

圖6 自適應(yīng)成長法優(yōu)化設(shè)計流程Fig.6 Flow chart of optimization design of adaptive growth method

1) 建立基結(jié)構(gòu),設(shè)置設(shè)計域。

2) 選取“種子點”,設(shè)置優(yōu)化參數(shù)。參考結(jié)構(gòu)的載荷和支撐情況,選取基結(jié)構(gòu)上若干節(jié)點作為“種子點”,給定加強筋的初始厚度x0、分歧臨界值xb、體積約束因子η、收斂容差ε以及最大迭代次數(shù)N。

3) 靈敏度分析。對結(jié)構(gòu)進行有限元分析,通過解析法計算活動筋板單元的靈敏度。

4) 成長和退化。判斷收斂狀態(tài),如果滿足筋板成長條件,通過MMA 算法更新xi;如果筋板厚度達到分歧臨界值xb,該單元進行分歧;如果滿足退化條件,該單元退化。

3 舵面結(jié)構(gòu)加筋布局優(yōu)化

3.1 舵面基結(jié)構(gòu)構(gòu)建

根據(jù)舵面幾何形狀,在優(yōu)化設(shè)計前構(gòu)建拓撲優(yōu)化基結(jié)構(gòu),舵面外層為蒙皮結(jié)構(gòu),定義厚度為0.5 mm。選擇舵面內(nèi)部空間區(qū)域作為設(shè)計域,定義基結(jié)構(gòu)初始厚度為0.5 mm,如圖7 所示。由于舵面的幾何特征,構(gòu)成基結(jié)構(gòu)的單元為任意凸四邊形單元,GQ12 膜元和MITC4 板元耦合構(gòu)造的四邊形等參平板殼元適用于舵面基結(jié)構(gòu)的有限元分析。

圖7 舵面優(yōu)化初始基結(jié)構(gòu)Fig.7 Initial ground structure of rudder structure for optimization

3.2 基于自適應(yīng)成長法的加筋布局

根據(jù)舵面的實際工作狀態(tài),對其約束施加于舵軸,受單側(cè)橫向均布載荷。因此,本文以舵面舵軸處約束點為自適應(yīng)成長法的“種子點”,以整體結(jié)構(gòu)應(yīng)變能最小為設(shè)計目標(biāo),骨架結(jié)構(gòu)體積為約束條件,對舵面進行加筋拓撲優(yōu)化,尋找最優(yōu)的骨架結(jié)構(gòu)分布。優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型為

式中:T為設(shè)計變量,為每個活動筋板的厚度;U(T)為目標(biāo)函數(shù),即整體結(jié)構(gòu)應(yīng)變能;V、V0分別為加筋舵面結(jié)構(gòu)總體積和初始實體舵面結(jié)構(gòu)體積;η=20%為體積約束因子。

經(jīng)過拓撲優(yōu)化設(shè)計得到的舵面內(nèi)部最優(yōu)加筋布局如圖8 所示。圖中呈現(xiàn)出清晰的分枝結(jié)構(gòu),拓撲形態(tài)合理且具有較優(yōu)的可制造性。

圖8 拓撲優(yōu)化后的舵面加筋布局Fig.8 Rudder stiffener layout obtained by topology optimization

優(yōu)化過程迭代曲線如圖9 所示。優(yōu)化迭代過程中,應(yīng)變能與初始應(yīng)變能比值在前10個迭代步中下降較快,隨后迭代過程逐漸平緩直至收斂,優(yōu)化效果理想,驗證了GQ12膜元和MITC4板元耦合四邊形等參平板殼元分析的準(zhǔn)確性,自適應(yīng)成長法的有效性及優(yōu)化結(jié)構(gòu)的合理性。

圖9 舵面結(jié)構(gòu)加筋布局優(yōu)化迭代曲線Fig.9 Iteration history curve of rudder stiffener layout

3.3 設(shè)計結(jié)果分析

為了評估加筋拓撲優(yōu)化效果,利用耦合四邊形平板殼元建立舵面的傳統(tǒng)蒙皮-網(wǎng)格式骨架設(shè)計模型,如圖10所示。對文獻[1]中介紹的傳統(tǒng)骨架設(shè)計進行建模并分析,計算得到拓撲優(yōu)化前后舵面的整體結(jié)構(gòu)應(yīng)變能,如圖11所示。

圖10 舵面?zhèn)鹘y(tǒng)骨架設(shè)計Fig.10 Traditional rudder skeleton design

圖11 舵面結(jié)構(gòu)優(yōu)化前后整體結(jié)構(gòu)應(yīng)變Fig.11 Strain of overall structure before and after rudder structure optimization

對比傳統(tǒng)網(wǎng)格式骨架設(shè)計與加筋拓撲優(yōu)化后舵面整體結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能數(shù)值以及結(jié)構(gòu)質(zhì)量,結(jié)果見表3。由表3可見,優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為17.28 J,較傳統(tǒng)設(shè)計25.80 J降低了33%,結(jié)構(gòu)剛度得到增強;傳統(tǒng)骨架設(shè)計的質(zhì)量為1.19 kg,優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的質(zhì)量降低了29%。

表3 舵面結(jié)構(gòu)優(yōu)化前后性能比較Tab.3 Performance comparison before and after rudder structure optimization

4 結(jié)束語

本文利用GQ12 膜元與MITC4 板元耦合構(gòu)造了四邊形等參平板殼元,通過有限元分析實現(xiàn)了基于自適應(yīng)成長法的不規(guī)則薄壁結(jié)構(gòu)的加筋設(shè)計。隨后以輕質(zhì)、高承載的舵面結(jié)構(gòu)為例,獲得了靜載荷狀態(tài)下舵面內(nèi)部的最優(yōu)骨架布局。經(jīng)過對優(yōu)化前后舵面結(jié)構(gòu)的性能對比,驗證了GQ12膜元與MITC4板元耦合平板殼元分析工具的準(zhǔn)確性和實用性,同時驗證了自適應(yīng)成長法對舵面優(yōu)化設(shè)計的有效性。

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