王肇喜，翟師慧，趙 凡，王者藍(lán)，謝夏陽(yáng)

（上海航天精密機(jī)械研究所，上海 201600）

0 引 言

振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)是目前航天產(chǎn)品可靠性和環(huán)境適應(yīng)性最主要的檢驗(yàn)手段，用于發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品設(shè)計(jì)上的缺陷、工藝上的不成熟及可靠性的薄弱環(huán)節(jié)，為產(chǎn)品設(shè)計(jì)及工藝上的改進(jìn)與優(yōu)化指明方向［1］。

細(xì)長(zhǎng)型飛行器的振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)為工程中的一大難題，由于此類飛行器外形細(xì)長(zhǎng)，振動(dòng)試驗(yàn)中其超出振動(dòng)臺(tái)面的懸臂部位過(guò)多，振動(dòng)響應(yīng)懸臂端低頻放大、高頻衰減，使試驗(yàn)室狀態(tài)下飛行器的振動(dòng)環(huán)境較之飛行狀態(tài)有較大失真，飛行器各部位的過(guò)試驗(yàn)、欠試驗(yàn)現(xiàn)象異常嚴(yán)重。

多輸入多輸出（multi-input multi-output，MIMO）振動(dòng)試驗(yàn)技術(shù)采用兩（多）個(gè)振動(dòng)臺(tái)提供激振力，使試件不同部位產(chǎn)生不同的振動(dòng)響應(yīng)。這種試驗(yàn)方式能夠更加準(zhǔn)確地模擬細(xì)長(zhǎng)型飛行器各種飛行狀態(tài)下的振動(dòng)環(huán)境，有效地避免傳統(tǒng)單振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)方法中振動(dòng)應(yīng)力集中的現(xiàn)象，為力學(xué)環(huán)境試驗(yàn)技術(shù)的重大進(jìn)步和未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)［1］。

目前，國(guó)內(nèi)少數(shù)航空、航天單位已經(jīng)開(kāi)始應(yīng)用MIMO振動(dòng)試驗(yàn)方法。但由于我國(guó)現(xiàn)有的試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)該類型試驗(yàn)的描述較為籠統(tǒng)，并且國(guó)內(nèi)對(duì)互譜的作用、雙振動(dòng)臺(tái)模擬互譜的可實(shí)現(xiàn)性及其效果的研究不夠透徹［1-2］，加之此項(xiàng)技術(shù)的軍事背景，使得國(guó)外相關(guān)的技術(shù)資料難以獲得，因此，我國(guó)工程人員在進(jìn)行MIMO振動(dòng)試驗(yàn)時(shí)，面對(duì)控制參數(shù)的選取和試驗(yàn)條件的制定等問(wèn)題，大多憑借工程經(jīng)驗(yàn)，采用試驗(yàn)中不斷變換、試探、摸索的方法，這將會(huì)走很多彎路，造成大量人力、物力、財(cái)力的浪費(fèi)，而最終的試驗(yàn)效果也難以達(dá)到最優(yōu)。

本文基于虛擬激勵(lì)法、逆虛擬激勵(lì)法原理［3-5］，研究MIMO 隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)中控制譜矩陣設(shè)置的可實(shí)現(xiàn)性，并對(duì)某一細(xì)長(zhǎng)型飛行器模擬件在不同控制點(diǎn)數(shù)量、控制參數(shù)設(shè)置情況下的振動(dòng)試驗(yàn)進(jìn)行數(shù)值模擬，分析控制點(diǎn)數(shù)量及控制互功率譜對(duì)雙臺(tái)振動(dòng)試驗(yàn)的影響。

應(yīng)用此方法，在正式試驗(yàn)前對(duì)各種試驗(yàn)方案進(jìn)行預(yù)試驗(yàn)，使試驗(yàn)人員提前了解振動(dòng)試驗(yàn)中不同控制點(diǎn)位置、參數(shù)設(shè)置所產(chǎn)生的效果，提前知曉試件在試驗(yàn)過(guò)程中各部位振動(dòng)響應(yīng)情況，提前評(píng)判所選用的試驗(yàn)儀器設(shè)備能否順利完成試驗(yàn)，避免在試驗(yàn)條件定制過(guò)程中的盲目性，由此可降低大型復(fù)雜試件振動(dòng)試驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)，獲取最優(yōu)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案。

1 隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題的分析方法

1.1 隨機(jī)振動(dòng)基本理論

對(duì)于多輸入多輸出振動(dòng)系統(tǒng)，其輸入、輸出譜密度矩陣為［5-6］

式中：ω為圓頻率；n為系統(tǒng)的輸入或輸出個(gè)數(shù)。

對(duì)角線元素為各點(diǎn)的自功率譜，它表述隨機(jī)振動(dòng)在頻域的能量分布，非對(duì)角線元素為兩點(diǎn)間的互功率譜，它含有相干系數(shù)和相位這兩個(gè)參數(shù)的信息，表達(dá)式為

式中：γxixj為相干系數(shù)；φxixj為相位差；i，j為公式索引變量。

激勵(lì)與響應(yīng)的功率譜密度矩陣的關(guān)系式為［6-7］

1.2 虛擬激勵(lì)法理論

直接使用式（3）計(jì)算MIMO 隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題，計(jì)算量太大，因此林家浩等［8］提出虛擬激勵(lì)法，這種方法在不降低計(jì)算精度的前提下，大大降低了求解該類問(wèn)題的計(jì)算量。

虛擬激勵(lì)法［3-4］基本手段為矩陣的對(duì)角化變換，MIMO 系統(tǒng)的輸入、輸出功率譜密度矩陣Sxx(ω)為Hermite 矩陣，根據(jù)矩陣?yán)碚摚琀ermite 矩陣一定酉相似于對(duì)角形矩陣，且其特征值為實(shí)數(shù)。

則功率譜密度矩陣可轉(zhuǎn)化為

式中：λ1(ω)～λk(ω)為矩陣Sxx(ω)的特征值；k為矩陣Sxx(ω)的秩；U1(ω)～Un(ω)為酉矩陣的列向量；Ui*(ω)為Ui(ω)的共軛轉(zhuǎn)置。

式（4）可轉(zhuǎn)化為

1） 各激振力相互之間完全相干時(shí)，Sxx(ω)的秩k=1，式（6）可改寫(xiě)為

2） 各激振力相互之間完全不相干時(shí)，Sxx(ω)為對(duì)角線矩陣，式（6）可改寫(xiě)為

3） 激振力部分相干時(shí)，Sxx(ω)的秩為k（k≤n），式（6）可改寫(xiě)為

由于xi(ω)為列向量，且相互正交，則可將MIMO隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)的輸入項(xiàng)視為幾個(gè)相互正交的虛擬簡(jiǎn)諧激勵(lì)力xi(ω)eiωt疊加的效果。

將式（6）代入式（3）得：

則

其中

同理，根據(jù)式（11），可將MIMO 系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)視為虛擬簡(jiǎn)諧激勵(lì)xi(ω)eiωt產(chǎn)生的虛擬簡(jiǎn)諧響應(yīng)yi(ω)eiωt疊加的效果，其虛擬激勵(lì)與虛擬響應(yīng)的關(guān)系見(jiàn)式（12）。應(yīng)用虛擬激勵(lì)法，求解MIMO 系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的基本流程為：① 將輸入的譜密度矩陣分解為式（6）的形式，構(gòu)造虛擬激勵(lì)xi(ω)；② 由式（12）得出虛擬響應(yīng)yi(ω)；③ 由式（11）輸出功率譜密度矩陣。

1.3 逆虛擬激勵(lì)法理論

逆虛擬激勵(lì)法［5］多用于隨機(jī)振動(dòng)載荷識(shí)別問(wèn)題領(lǐng)域，即已知結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)和結(jié)構(gòu)的固有特性（頻響函數(shù)矩陣），反推結(jié)構(gòu)所受的激振力。逆虛擬激勵(lì)法的計(jì)算流程為：① 將Syy(ω)改寫(xiě)為式（11）的形式，構(gòu)造虛擬響應(yīng)yi(ω)；② 由式（12）構(gòu)造方程，求解xi(ω)；③ 由式（6）得出激振力的功率譜密度矩陣。

2 雙振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)?zāi)Ｐ头治?/h2>

兩個(gè)振動(dòng)臺(tái)組成的雙臺(tái)振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)如圖1 所示，其中加速度傳感器、電荷放大器、計(jì)算機(jī)、功率放大器、振動(dòng)臺(tái)構(gòu)成一個(gè)閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)。試驗(yàn)過(guò)程中閉環(huán)控制系統(tǒng)不斷反饋修正，調(diào)整兩振動(dòng)臺(tái)輸出的激振力，使試件上控制測(cè)點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)功率譜與預(yù)設(shè)值相等。

圖1 雙臺(tái)振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)Fig.1 The system of double vibration test

不同廠家的振動(dòng)控制系統(tǒng)，其控制器的控制迭代算法各有不同，但經(jīng)反饋修正，最終穩(wěn)定時(shí)，兩個(gè)振動(dòng)臺(tái)輸出的激振力都使控制點(diǎn)實(shí)際振動(dòng)響應(yīng)與預(yù)設(shè)值相等或者偏差最小。根據(jù)此原理，假設(shè)控制器性能理想，對(duì)細(xì)長(zhǎng)型飛行器雙振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)建立力學(xué)模型，并進(jìn)行分析。

2.1 雙振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)分析模型的建立

由于球頭（見(jiàn)圖1）的作用，將試件與振動(dòng)臺(tái)連接處的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度釋放，且彈簧繩的拉力與試件的重力相抵消，則試件的邊界條件可視為自由狀態(tài)，其受力模型如圖2所示，圖中fi、fj分別為i、j位置點(diǎn)所受的力。

圖2 細(xì)長(zhǎng)型飛行器的受力模型Fig.2 The mechanical model of slender aircraft

該受力模型的動(dòng)力學(xué)方程為［9-10］

式中：M、C、K、F分別為飛行器的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、所受的力矩陣。

式（13）經(jīng)傅里葉變換表示為

即

其中，F(xiàn)(ω)為

式中：fi(ω)、fj(ω)分別為圖2 中i、j位置點(diǎn)所受的力譜。

結(jié)構(gòu)的整個(gè)傳遞函數(shù)矩陣，可由模態(tài)測(cè)試的結(jié)果，根據(jù)模態(tài)疊加法［11-12］近似得到：

式中：ωi為第i階固有頻率；ξi為第i階模態(tài)阻尼比；Φi為關(guān)于質(zhì)量陣歸一化的第i階模態(tài)陣型。

2.2 雙振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)控制譜矩陣可實(shí)現(xiàn)性分析

對(duì)于雙振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)系統(tǒng)，可視為一個(gè)兩輸入多輸出的系統(tǒng)，輸入的譜密度矩陣為2×2的矩陣。

若控制點(diǎn)的個(gè)數(shù)為m時(shí)，則控制譜密度矩陣Syy(ω)的維數(shù)為m×m，將Syy(ω)分解為式（11）的形式，yi(ω)為m維列向量。雙臺(tái)振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)下，逆虛擬激勵(lì)法中式（12）為

1） 當(dāng)控制點(diǎn)的個(gè)數(shù)=2 時(shí)，H(ω)m×2為方陣，在H(ω)非奇異的情況下有唯一解（若矩陣H(ω)奇異，則有無(wú)窮多解），由式（20）可直接求出xi(ω)，解得使控制測(cè)點(diǎn)的實(shí)際振動(dòng)響應(yīng)與預(yù)設(shè)的譜值完全一致的兩激振力。

2） 當(dāng)控制點(diǎn)的個(gè)數(shù)＞2 時(shí)，H(ω)m×2為長(zhǎng)方振，此時(shí)式（20）理論上無(wú)解，只能求其最小二乘解，即試驗(yàn)控制系統(tǒng)經(jīng)反復(fù)修正迭代后，產(chǎn)生的最優(yōu)激振力，只能保證控制測(cè)點(diǎn)的實(shí)際振動(dòng)響應(yīng)值與預(yù)設(shè)的值差異最小，不能實(shí)現(xiàn)真實(shí)響應(yīng)值與預(yù)設(shè)值完全一致。

因此，采用多點(diǎn)（控制點(diǎn)數(shù)＞2）控制方式，一般情況下無(wú)法使各控制測(cè)點(diǎn)的實(shí)際振動(dòng)響應(yīng)值與預(yù)設(shè)值完全一致；雙振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)系統(tǒng)采用兩點(diǎn)控制方法，輸入完整的控制譜矩陣，無(wú)論控制測(cè)點(diǎn)互功率譜的相干系數(shù)與相角為多少，理論上都可以使測(cè)點(diǎn)的實(shí)際振動(dòng)響應(yīng)與預(yù)設(shè)的功率譜密度矩陣完全一致。

3 不同試驗(yàn)條件下雙臺(tái)振動(dòng)試驗(yàn)的數(shù)值模擬

工程中，雙振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)主要分為兩點(diǎn)和多點(diǎn)（大于兩點(diǎn)）兩大類控制方式，控制測(cè)點(diǎn)的相干性又分為完全相干、完全不相干及部分相干等情況。針對(duì)工程中常用的控制方式，選取具有代表性的情況進(jìn)行數(shù)值模擬。

研究對(duì)象為某細(xì)長(zhǎng)型飛行器模擬件，其長(zhǎng)3 100 mm、外徑200 mm、壁厚65 mm，為鋁質(zhì)結(jié)構(gòu)。該試件的模態(tài)參數(shù)由有限元分析軟件MSC.Nastran計(jì)算得到，計(jì)算時(shí)將試件劃分為20 個(gè)梁?jiǎn)卧?1 個(gè)節(jié)點(diǎn)，約束其縱向自由度。飛行器模擬件有限元離散后模型如圖3 所示，飛行器模擬件前十階固有頻率見(jiàn)表1，其中前兩階為剛體模態(tài)。

表1 試件固有頻率Tab.1 The inherent frequency of analog sample

圖3 試件的有限元模型Fig.3 The finite element model of the test specimen

應(yīng)用Matlab 軟件編程計(jì)算，模擬各種控制方式下的試驗(yàn)結(jié)果，計(jì)算流程如下：

1） 取模態(tài)阻尼比為0.03，由前十階模態(tài)參數(shù)，根據(jù)式（17）—式（19）得整個(gè)結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣；

2） 由控制點(diǎn)的控制譜密度矩陣，采用1.3 節(jié)逆虛擬激勵(lì)法計(jì)算流程，計(jì)算控制點(diǎn)位置振動(dòng)響應(yīng)達(dá)到控制譜值時(shí)，兩激振力的自、互功率譜密度；

3） 由計(jì)算得到的激振力的自、互功率譜密度，采用1.2 節(jié)虛擬激勵(lì)法計(jì)算流程，計(jì)算得到試件各點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)。

3.1 兩點(diǎn)控制方式的模擬

取試件上點(diǎn)1、21 為控制點(diǎn)（見(jiàn)圖3），兩個(gè)控制點(diǎn)的自功率譜密度如圖4所示。控制測(cè)點(diǎn)的互功率譜分別采用3種控制方式［13-15］：① 控制點(diǎn)全相干，兩控制點(diǎn)的相干系數(shù)為1，相角為零；② 控制點(diǎn)完全不相干，兩控制點(diǎn)的相干系數(shù)為零；③ 控制點(diǎn)部分相干，兩控制點(diǎn)的相干系數(shù)為0.5，相位差45°。

圖4 控制點(diǎn)的振動(dòng)譜Fig.4 The vibration spectral of the control points

3 種控制方式的自功率譜相同，互功率譜各異。3 種控制方式下，試件上各點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)的自功率譜密度、加速度均方根值分別如圖5 和圖6 所示?？刂茰y(cè)點(diǎn)的互功率譜值，對(duì)試件振動(dòng)響應(yīng)的影響顯著。

圖5 各種控制條件下試件上各點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)的自功率譜Fig.5 The auto-power spectral density of various response points under different control conditions

圖6 各種控制條件下試件上各點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)的加速度均方根值（RMS）Fig.6 The acceleration RMS of various response points under different control conditions

各種控制方式下，控制點(diǎn)位置振動(dòng)響應(yīng)達(dá)到控制譜時(shí)，試件所受激振力的自功率譜密度、相干系數(shù)、相位差如圖7—圖9 所示。其中，控制點(diǎn)完全相干時(shí)，兩激振力也完全相干，如圖8（a）所示；當(dāng)控制點(diǎn)不完全相干時(shí)，兩激振力在頻域內(nèi)的相干系數(shù)起伏變化，如圖8（b）、圖8（c）所示。

圖7 各種控制條件下試件所受激振力的自功率譜Fig.7 The auto-power spectral density of the exciting force under different control conditions

圖8 各種控制條件下試件所受兩激振力的相干系數(shù)Fig.8 The coherence coefficient of the exciting force under different control conditions

圖9 各種控制條件下試件所受兩激振力的相位差Fig.9 The phase difference of the exciting force under different control conditions

3.2 多點(diǎn)（三點(diǎn)）控制方式的模擬

多點(diǎn)控制方式：取試件上點(diǎn)1、10、21為控制點(diǎn)（見(jiàn)圖3），各點(diǎn)的自功率譜密度如圖10所示。點(diǎn)1、點(diǎn)21的相干系數(shù)為0.2，相位差為0，點(diǎn)10 與1、21 的相干系數(shù)為0.5，相位差為90°。該種控制方式下，控制測(cè)點(diǎn)處的實(shí)際振動(dòng)響應(yīng)無(wú)法與預(yù)設(shè)值完全一致，如圖11所示。

圖10 控制點(diǎn)控制譜Fig.10 Reference Auto-power spectral density

圖11 試件上各點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)Fig.11 Auto-power spectral density of the simulated sample

試件各點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)的均方根值如圖12 所示。由圖可見(jiàn)，這種控制方式各控制測(cè)點(diǎn)無(wú)法與控制譜完全一致，但可使試件各點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)分布比較均勻。

圖12 試件各點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)的加速度均方根值（RMS）Fig.12 Acceleration RMS of the simulated sample

試件所受的激振力的自譜、相干系數(shù)、相角如圖13—圖15所示。

圖13 試件所受激振力的自功率譜Fig.13 Auto-power spectral density of the exciting force

圖14 試件所受激振力的相干系數(shù)Fig.14 Coherence coefficient of the exciting force

圖15 試件所受激振力的相位差Fig.15 Phase-difference of the exciting force

3.3 分析總結(jié)

由3.1 節(jié)與3.2 節(jié)的算例可知，兩點(diǎn)控制方法可以使控制點(diǎn)位置的振動(dòng)響應(yīng)與預(yù)設(shè)值完全一致（圖5中，點(diǎn)1、點(diǎn)21的實(shí)際振動(dòng)響應(yīng)），多點(diǎn)（控制點(diǎn)數(shù)＞2）控制方式無(wú)法使控制測(cè)點(diǎn)的實(shí)際振動(dòng)響應(yīng)值與預(yù)設(shè)值完全一致（圖11）。

在振動(dòng)試驗(yàn)前，可對(duì)各種控制方式進(jìn)行預(yù)試驗(yàn)?zāi)M分析，根據(jù)試件各點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)自功率譜及加速度均方根值，選擇合適的控制方式。除此之外，還需考慮激振力的因素，如圖7（a）所示，這種控制方式下所需的激振力自功率譜密度跳變較大，有可能超出試驗(yàn)硬件設(shè)備的允許范圍，使控制效果變差。因此，應(yīng)盡可能選擇所需的激振力自功率譜變化相對(duì)緩和的控制方式，如圖7（b）、圖7（c）所示。

受激振點(diǎn)位置距離的影響，實(shí)際試驗(yàn)時(shí)激振力之間相互干擾，兩激振力在低頻段的相干系數(shù)較大，受這一因素的制約，應(yīng)盡量避免選擇所需的激振力低頻段相干系數(shù)過(guò)小的控制方式，如圖8（b）所示，該種控制方式所需激振力在20～50 Hz 之間的相干系數(shù)約為0.55，實(shí)際試驗(yàn)有可能無(wú)法實(shí)現(xiàn)，使控制效果變差。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)針對(duì)細(xì)長(zhǎng)型飛行器開(kāi)展基于虛擬激勵(lì)法的多點(diǎn)激勵(lì)振動(dòng)仿真分析，可得到如下結(jié)論：

1） 虛擬激勵(lì)法、逆虛擬激勵(lì)法的應(yīng)用可有效確保細(xì)長(zhǎng)型飛行器MIMO 隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)的數(shù)值模擬計(jì)算精度，大大降低了問(wèn)題的計(jì)算量，使試驗(yàn)前對(duì)各種試驗(yàn)條件的預(yù)試驗(yàn)分析成為可能。

2） 雙臺(tái)振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)在采用兩點(diǎn)控制方法時(shí)，輸入完整的控制譜矩陣后，理論上控制點(diǎn)的實(shí)際振動(dòng)響應(yīng)與預(yù)設(shè)的功率譜密度矩陣完全一致。

3） 采用多點(diǎn)（控制點(diǎn)數(shù)大于激勵(lì)點(diǎn)數(shù)）控制方法時(shí)，一般情況下各控制測(cè)點(diǎn)的實(shí)際振動(dòng)響應(yīng)值無(wú)法與預(yù)設(shè)值一致，輸出的激振力只能保證控制測(cè)點(diǎn)實(shí)際的振動(dòng)響應(yīng)與預(yù)設(shè)值的偏差盡可能小。