杜金梅

求數(shù)列和問(wèn)題的難度較大，命題的形式較多，同學(xué)們需熟練掌握一些常見(jiàn)題型的特點(diǎn)和解題的方法，才能在解題時(shí)根據(jù)已知信息，快速找到最佳的解題思路.下面主要介紹求數(shù)列和的幾種常用方法.

一、利用Sn 和an 之間的關(guān)系

若題目中同時(shí)涉及了 Sn 和 an ，則可根據(jù) Sn 和 an 之間的關(guān)系：an = ì í ? S1，n = 1， Sn - Sn - 1，n ≥ 2， 將數(shù)列前 n 項(xiàng)的和式與數(shù)列前 n - 1 項(xiàng)的和式相減，即可得到 an = Sn - Sn - 1 .在解題時(shí)，需要注意當(dāng) n = 1 時(shí)，a1 = S1 這一特殊情況.

題目的已知關(guān)系式 S5= a 5（2）中同時(shí)涉及了 Sn 和 an ，于是利用Sn 與an 之間的關(guān)系，將S5與S4作差，即可消去 S5，建立關(guān)于 a1、d 的方程組，便可根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得問(wèn)題的答案.

二、分組求和法

分組求和法主要應(yīng)用于求形如cn = an ± bn ±cn的數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.可將數(shù)列拆分為幾個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)列，分組進(jìn)行求和，最后將所得的和相加或相減即可.

例2.已知數(shù)列{an }滿足 a1=1， an +1=（n +1）an + n（n +1）， n ∈ N*，且 bn = cos .設(shè) Sn 為數(shù)列{bn }的前n 項(xiàng)和，則S2020的值為（? ） .

解答本題，需先根據(jù)已知關(guān)系式求得{an }、{bn }的通項(xiàng)公式.然后觀察{bn }的通項(xiàng)公式可發(fā)現(xiàn)b3k -2+ b3k -1+ b3k= ，于是將數(shù)列中的項(xiàng)以三項(xiàng)一組，分成673組，分組進(jìn)行求和，即可采用分組求和法求得數(shù)列的和.

三、裂項(xiàng)相消法

若數(shù)列的各項(xiàng)可拆分為兩項(xiàng)的差的形式，且前后兩項(xiàng)的差可相互抵消，則可采用裂項(xiàng)相消法，將復(fù)雜的數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的運(yùn)算問(wèn)題，通過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算，就能輕松求得數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.

解答本題，需先仔細(xì)研究已知的遞推關(guān)系式，將其通過(guò)變形，裂為兩項(xiàng)之差的形式 1 an = 1 an - 1 - 1 an + 1 - 1 ；然后采用裂項(xiàng)相消法，通過(guò)加減消去中間的部分項(xiàng)，化簡(jiǎn)剩余的項(xiàng)即可.由于 1 an = 1 an - 1 - 1 an + 1 - 1 涉及了數(shù)列的前后三項(xiàng)，因此需將 n 分為 n=1，2，3 以及 n≥4 幾種情況進(jìn)行討論.

四、錯(cuò)位相減法

錯(cuò)位相減法主要應(yīng)用于求形如cn = an ·bn 的數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中{an}為等差數(shù)列、{bn}為等比數(shù)列.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為 Sn ，則需將 Sn - qSn（其中q為等比數(shù)列的公比），得出 （1 - q）Sn ，通過(guò)化簡(jiǎn)即可求得 Sn .

數(shù)列 {n·an} 的通項(xiàng)公式為n （-2） n - 1 ，該式為等差數(shù)列{n} 的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列{（-2） } n - 1 的通項(xiàng)公式的乘積，可采用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，同學(xué)們要特別注意.

求數(shù)列和的方法很多，同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中要注意積累解題的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)對(duì)一些常見(jiàn)的典型題目進(jìn)行歸類、分析，熟練掌握各類數(shù)列求和問(wèn)題的特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)形式，選擇與之相應(yīng)的方法進(jìn)行求和.