錢(qián) 蓉，鄧樹(shù)新，王明洋，，邱艷宇

（1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094；2.陸軍工程大學(xué) 爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210007）

人類(lèi)所需的資源和能源越來(lái)越依賴于地球深部，向地球深部進(jìn)軍是必須解決的戰(zhàn)略科技問(wèn)題。在深部工程中，巖體的開(kāi)挖將導(dǎo)致巖體原有的平衡狀態(tài)被打破，圍巖應(yīng)力將重新分布，切向應(yīng)力增加并產(chǎn)生應(yīng)力集中，同時(shí)徑向應(yīng)力降低，并在硐室邊壁降低到零。一般將地下巷道周?chē)邢驊?yīng)力增高的部分稱為支撐壓力。隨著埋深的增加，巖體承受的地應(yīng)力增大，支撐壓力也隨之增大。一般將圍巖周?chē)h(huán)向應(yīng)力最大的部分稱為最大支撐壓力區(qū)，最大支撐壓力增大到一定程度將造成圍巖破壞，破壞后形成新的破裂面。穩(wěn)定的支撐壓力區(qū)即為圍巖松動(dòng)圈。圍巖松動(dòng)圈變形演化過(guò)程是圍巖應(yīng)力、圍巖強(qiáng)度等共同作用的結(jié)果。深部工程長(zhǎng)期穩(wěn)定防控需要確定圍巖松動(dòng)圈的范圍并揭示其變形演化機(jī)理。

目前，探測(cè)圍巖松動(dòng)圈的方法主要有聲波法、地質(zhì)雷達(dá)法、鉆孔成像法等。郭志宏等［1］采用現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)方法，通過(guò)對(duì)開(kāi)灤礦務(wù)局趙各莊礦深井開(kāi)展現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)，揭示了松動(dòng)圈厚度與開(kāi)采深度及圍巖強(qiáng)度之間的非線性關(guān)系以及松動(dòng)圈厚度與采動(dòng)次數(shù)、支護(hù)難度、臨界開(kāi)采深度等的關(guān)系。戴俊等［2］提出聲波測(cè)試法和窺視技術(shù)相結(jié)合的方法來(lái)確定圍巖松動(dòng)圈的位置。王睿等［3］對(duì)寶漢高速石門(mén)隧道工程通過(guò)單孔聲波測(cè)試獲得了松動(dòng)圈的厚度。李延河等［4］基于弱光纖光柵傳感技術(shù)，研制了一種準(zhǔn)分布式大量程應(yīng)變傳感器光纜，并在現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試中成功觀測(cè)到圍巖應(yīng)變、圍巖松動(dòng)圈邊界等變化過(guò)程，為圍巖內(nèi)部變形以及圍巖松動(dòng)圈時(shí)空演化規(guī)律提供參考。趙海斌等［5］闡述了聲波法在松動(dòng)圈動(dòng)態(tài)分析中的適用性，并在實(shí)測(cè)中繪制了開(kāi)挖深度、巖體波速、時(shí)間、空間位置與松動(dòng)圈的相互關(guān)系曲線。于慶磊等［6］以太平礦業(yè)矽卡巖型銅鐵礦床為例，采用地質(zhì)雷達(dá)探測(cè)巷道圍巖松動(dòng)圈，分析了松動(dòng)圈的分布特征。于占軍等［7］利用現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試和數(shù)值模擬的方法研究了不同深度下的圍巖松動(dòng)圈演化規(guī)律。研究結(jié)果表明，隨著深度的增加，巷道松動(dòng)圈的范圍逐漸增加，并且增加的速度越來(lái)越快，大致呈現(xiàn)指數(shù)關(guān)系增長(zhǎng)。李建功等［8］以山西某礦回風(fēng)大巷為研究背景，采用聲波測(cè)試法對(duì)巷道圍巖松動(dòng)圈進(jìn)行測(cè)試，確定了大巷的支護(hù)方式。曹慶華［9］采用電磁雷達(dá)法對(duì)巷道圍巖松動(dòng)圈進(jìn)行測(cè)試，得到了巷道圍巖松動(dòng)圈級(jí)別，優(yōu)化了巷道支護(hù)參數(shù)，有效控制了巷道圍巖變形。

現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試試驗(yàn)雖然有著較高的可信度，但是其受場(chǎng)地限制較大，且測(cè)量成本較高。因此，有關(guān)圍巖松動(dòng)圈的理論研究也在不斷發(fā)展。國(guó)外對(duì)于松動(dòng)圈的理論研究起步較早。1926 年，普羅托奇亞科夫提出自然平衡拱學(xué)說(shuō)，認(rèn)為巖石開(kāi)掘后各組成單位將在自重作用下向洞室空間方向移動(dòng)，移動(dòng)后各單位被迫擠壓而形成一個(gè)拱，這個(gè)拱就是自然平衡拱，大致呈拋物線形。此外，該學(xué)說(shuō)還認(rèn)為，拱線以上的巖體均處于極限平衡狀態(tài)，而拱線以下的巖石如不加以支護(hù)則會(huì)脫落［10］。一般認(rèn)為自然平衡拱學(xué)說(shuō)在均質(zhì)黏性巖石中有較好的適用性。1946 年，太沙基從現(xiàn)場(chǎng)研究的統(tǒng)計(jì)資料出發(fā)，提出了松動(dòng)冒落拱學(xué)說(shuō)，該學(xué)說(shuō)認(rèn)為巷道兩側(cè)將產(chǎn)生楔形體的作用，并給出了楔形體高度的計(jì)算公式［11］。但是隨著開(kāi)挖深度的不斷增加，地質(zhì)條件的復(fù)雜化，該學(xué)說(shuō)的準(zhǔn)確性以及適用性都無(wú)法保證。1982 年，Dube等對(duì)在受壓條件下松動(dòng)圈的半徑進(jìn)行估算，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展了圖示法，但是該方法忽略了圍巖壓力以及巖體本身性質(zhì)的影響，與實(shí)際情況存在較大差距［12］。1989 年，前蘇聯(lián)學(xué)者考慮埋深、跨度、巖石強(qiáng)度、應(yīng)力集中等問(wèn)題，提出了有關(guān)松動(dòng)圈的關(guān)系式，給出了圍巖出現(xiàn)不連續(xù)區(qū)的埋深臨界值［12］。但是在確定不連續(xù)區(qū)的厚度時(shí)仍存在一些問(wèn)題，比如公式中常量難以確定等。我國(guó)學(xué)者董方庭［13］提出圍巖松動(dòng)圈支護(hù)理論，并對(duì)圍巖松動(dòng)圈的形狀、圍巖強(qiáng)度以及圍巖應(yīng)力對(duì)圍巖松動(dòng)圈的影響等做了討論。鄒紅英等［14］根據(jù)圍巖松動(dòng)圈的主要影響因素，結(jié)合試驗(yàn)研究成果，基于施工開(kāi)挖的聲波資料，在統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上給出洞室松動(dòng)圈判別的數(shù)學(xué)模型。陳建功等［15］考慮巷道圍巖在開(kāi)挖過(guò)程中的動(dòng)靜力作用，認(rèn)為圍巖松動(dòng)區(qū)包括破碎區(qū)和塑性軟化區(qū)兩個(gè)部分，并且兩者的形成過(guò)程有較大區(qū)別。此外，陳建功還根據(jù)動(dòng)靜力學(xué)分析得出圍巖松動(dòng)圈的半徑計(jì)算公式。李政林等［16］基于雙線性損傷模型和應(yīng)力等效原理，推導(dǎo)出卸荷圍巖應(yīng)力狀態(tài)的損傷理論解析解。趙國(guó)彥等［17］采用量綱分析法構(gòu)建圍巖松動(dòng)圈厚度與巖石單軸抗壓強(qiáng)度、圍巖節(jié)理系數(shù)、圍巖重度等的量綱為一關(guān)系式。Bai 等［18］在損傷力學(xué)的基礎(chǔ)上討論了松動(dòng)圈的力學(xué)機(jī)理，提出了松動(dòng)圈半徑的計(jì)算公式。黃鋒等［19］基于D-P 準(zhǔn)則推導(dǎo)了圍巖松動(dòng)圈的彈塑性理論和損傷理論計(jì)算方法，其中損傷理論方法對(duì)于低級(jí)別圍巖有很好的適用性。Wang 等［20］基于統(tǒng)一強(qiáng)度理論，推導(dǎo)了考慮中間主應(yīng)力影響的松動(dòng)圈半徑計(jì)算公式，并對(duì)云屯堡隧道典型斷面的松動(dòng)圈進(jìn)行了理論計(jì)算和現(xiàn)場(chǎng)驗(yàn)證，揭示了大變形軟巖隧道圍巖松動(dòng)圈的厚度和分布規(guī)律。

以上關(guān)于圍巖松動(dòng)圈半徑的計(jì)算公式大多從巖石的本構(gòu)關(guān)系出發(fā)，很少考慮圍巖開(kāi)挖后的應(yīng)力分布特點(diǎn)以及圍巖峰后強(qiáng)度的影響。此外，上述圍巖松動(dòng)圈理論計(jì)算公式大多比較復(fù)雜，無(wú)法直接利用工程中得到的巖石力學(xué)參數(shù)，在實(shí)際工程中難以得到廣泛應(yīng)用，因此需要提出更加直接、簡(jiǎn)潔的圍巖松動(dòng)圈半徑計(jì)算公式。本文首先利用圍巖平衡方程和泰勒展開(kāi)法得到圍巖松動(dòng)圈的范圍，然后采用 Maxwell 方程表征巖體中缺陷應(yīng)力演化方程，推導(dǎo)了圍巖松動(dòng)圈發(fā)生劈裂破壞的條件。

1 圍巖松動(dòng)圈范圍

1.1 圍巖松動(dòng)圈范圍的理論推導(dǎo)

巷道開(kāi)挖前，地下巖體處于三向應(yīng)力平衡狀態(tài)，巷道開(kāi)挖將破壞圍巖原有的應(yīng)力狀態(tài)，一方面使應(yīng)力重新分布，切向應(yīng)力增加并引起應(yīng)力集中，同時(shí)徑向應(yīng)力降低；另一方面圍巖受力狀態(tài)由三向近似變成二向。隨著埋深增加，巖體承受地應(yīng)力將增大，如果大于巖體強(qiáng)度，則圍巖產(chǎn)生塑性區(qū)。圖1 為開(kāi)挖后巷道圍巖應(yīng)力分布示意圖。圖中σ為應(yīng)力，σ0為初始地應(yīng)力，σθ為環(huán)向應(yīng)力，σr為徑向應(yīng)力，r為任意點(diǎn)到隧道軸線的距離，a為開(kāi)挖半徑，c為最大支撐壓力處半徑。

圖1 開(kāi)挖后圍巖應(yīng)力分布示意圖Fig.1 Stress distribution diagram of surroundingrock after excavation

圍巖平衡方程為

在巷道邊壁處（r=a），假設(shè)巖石材料滿足Tresca 屈服準(zhǔn)則，即σθ-σr=2τoc（τoc為巖石殘余應(yīng)力），由公式（1）可知

同樣地，在最大支撐壓力處（r=c）有

式中：τmax為巖石剪切強(qiáng)度。

將σr在r=a處進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，計(jì)算r=c處徑向應(yīng)力（取二階導(dǎo)數(shù)），有

根據(jù)公式（5）和（7）可知

因?yàn)樵趓=c處，有σr(c)=σ0-τmax，因此公式（8）可以整理為

公式（10）的解為

由公式（13）和得到圍巖松動(dòng)圈范圍為

由公式（14）可知，圍巖松動(dòng)圈半徑和巷道半徑、初始地應(yīng)力、圍巖強(qiáng)度、圍巖殘余強(qiáng)度有關(guān)。圍巖松動(dòng)圈半徑與初始地應(yīng)力關(guān)系如圖2 所示，隨著埋深增加，松動(dòng)圈范圍增大。圍巖殘余強(qiáng)度與峰值強(qiáng)度比值越低，即巖體脆性越強(qiáng)，松動(dòng)圈范圍越大。說(shuō)明在不發(fā)生劈裂破壞的情況下，峰后強(qiáng)度越低，形成的松動(dòng)圈越大，這樣才能對(duì)彈性區(qū)提供足夠的支撐力，實(shí)現(xiàn)圍巖的自穩(wěn)。

圖2 圍巖松動(dòng)圈半徑與初始地應(yīng)力的關(guān)系Fig.2 Radius of surrounding rock loose circleversus initial ground stress

本文推導(dǎo)出的公式（14）與卡斯特納方程獲得的松動(dòng)圈半徑計(jì)算公式相比，計(jì)算方法更加簡(jiǎn)便，公式包含的力學(xué)參數(shù)在工程實(shí)際中容易獲取，同時(shí)也考慮了巖石的峰后強(qiáng)度，計(jì)算結(jié)果更加合理。

1.2 算例分析

算例一 銅旬高速某隧道［21］位于銅川市趙金鎮(zhèn)某村二組西約400 m。選取該隧道ZK204+930 斷面分析。隧道建筑限界：凈寬10.50 m，凈高5.00 m；經(jīng)現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)發(fā)現(xiàn)該圍巖松動(dòng)圈半徑在6.77 m 左右。圍巖的力學(xué)參數(shù)如表1所示。

表1 算例1圍巖力學(xué)參數(shù)Tab.1 Mechanical parameters of surrounding rock in Example 1

初始地應(yīng)力只考慮圍巖的自重應(yīng)力，不考慮構(gòu)造應(yīng)力，則

將以上參數(shù)代入公式（15）可得圍巖松動(dòng)區(qū)半徑為c=6.127 m。理論所得圍巖松動(dòng)圈半徑與實(shí)測(cè)結(jié)果誤差約為9.5%。

算例二 石門(mén)隧道［22］建筑限界：凈寬16.50 m，凈高 5.50 m；內(nèi)輪廓采用單心圓曲墻式設(shè)計(jì)，內(nèi)半徑R=7.50 m，仰拱內(nèi)半徑為 21.88 m；最大開(kāi)挖寬度18.0 m。巖石力學(xué)參數(shù)如表2所示。

表2 算例2圍巖力學(xué)參數(shù)Tab.2 Mechanical parameters of surrounding rock in Example 2

代入公式（15）可得該松動(dòng)圈半徑為c=8 m。理論計(jì)算所得圍巖松動(dòng)圈半徑與實(shí)測(cè)圍巖松動(dòng)圈半徑誤差約為1.3%。

由算例一和算例二可知，本文提出的理論計(jì)算公式所得的圍巖松動(dòng)圈半徑與實(shí)際測(cè)量所得的圍巖松動(dòng)圈半徑有很好的一致性，兩者的誤差在可接受范圍內(nèi)。因此，本文提出的圍巖松動(dòng)圈半徑計(jì)算公式可以為后續(xù)圍巖支護(hù)等問(wèn)題研究提供參考。

2 圍巖松動(dòng)圈變形破壞機(jī)理

2.1 圍巖應(yīng)力集中演化方程

在地下巷道開(kāi)挖過(guò)程中，縱向應(yīng)力與初始應(yīng)力變化不大，切向應(yīng)力隨著開(kāi)挖逐漸增大，徑向應(yīng)力則被快速卸載，其作用機(jī)制可視為有側(cè)壓的環(huán)向加載和靜水壓力下的徑向卸載的疊加。這兩種應(yīng)力狀態(tài)都傾向于產(chǎn)生徑向的拉應(yīng)力，由于巖體較低的抗拉能力，在最大支撐壓力區(qū)可能產(chǎn)生受壓劈裂。巖體內(nèi)部的徑向局部拉應(yīng)力σlocr由彈性應(yīng)力σer和缺陷引起的附加應(yīng)力Δσr組成，即

根據(jù)應(yīng)力松弛的Maxwell 模型，缺陷處應(yīng)力集中的演化方程可以表示為

式中：J為特定尺寸缺陷上的應(yīng)力集中系數(shù)；Ec為巖體壓縮模量；ν為泊松比；er為偏應(yīng)變；η為附加應(yīng)力的松弛速率；l為缺陷尺度。

結(jié)合Maxwell 模型，下面分別分析環(huán)向加載和徑向卸載產(chǎn)生的局部拉應(yīng)力。

2.2 環(huán)向加載

假設(shè)開(kāi)挖后應(yīng)力調(diào)整時(shí)間為tmax，應(yīng)力變化過(guò)程為線性過(guò)程，環(huán)向加載時(shí)圍巖徑向應(yīng)力σr、環(huán)向應(yīng)力σθ、軸向應(yīng)力σz分別為（應(yīng)力以壓為正）

按平面應(yīng)變算，根據(jù)廣義胡克定律可得徑向應(yīng)變?chǔ)舝、環(huán)向應(yīng)變?chǔ)纽取⑤S向應(yīng)變?chǔ)舲分別為

偏應(yīng)變?yōu)?/p>

即

將公式（25）代入公式（18）解得

式中：Δσr1為環(huán)向加載引起的局部應(yīng)力變化量。

2.3 徑向卸載

應(yīng)力狀態(tài)變化為

按平面應(yīng)變計(jì)算，根據(jù)廣義胡克定律計(jì)算應(yīng)變?yōu)?/p>

式中：Ee為巖體卸荷模量。

偏應(yīng)變?yōu)?/p>

代入公式（18）解得

式中：Δσr2為徑向卸載引起的局部應(yīng)力變化量。

2.4 劈裂破壞條件

將式（26）與式（34）相加可得總的局部應(yīng)力變化量為

一般情況下，圍巖在開(kāi)挖后因彈性回彈誘發(fā)松動(dòng)而存在較大尺寸的缺陷，即l?ηt，因而式（35）可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

若局部應(yīng)力達(dá)到巖石抗拉強(qiáng)度-σt，則裂隙擴(kuò)展，此時(shí)初始地應(yīng)力應(yīng)滿足的條件為

取J=2，則

深部圍巖在一定的臨界初始地應(yīng)力條件下有可能發(fā)生劈裂破壞。σ0/τmax取1/10，根據(jù)公式（39）可以得到發(fā)生劈裂的地應(yīng)力與巖石模量的關(guān)系如圖3所示。

圖3 劈裂的地應(yīng)力與巖石模量的關(guān)系Fig.3 Ground stress versus rock modulus ofsurrounding rock when splitting

局部拉應(yīng)力使巖石內(nèi)部的微裂紋擴(kuò)展，直至貫穿形成劈裂破壞［23］。而材料的不均勻性是產(chǎn)生局部拉應(yīng)力的本質(zhì)原因。在圖3 中，壓縮模量與卸荷模量的比值反映了圍巖不均勻性。不均勻巖體（Ec

當(dāng)最大支撐壓力區(qū)r=c處發(fā)生劈裂破壞形成環(huán)狀破壞區(qū)后，一個(gè)更大的卸載面形成，圍巖應(yīng)力將再一次重新分布，形成新的松動(dòng)圈。如果巷道埋深很大，新松動(dòng)圈的應(yīng)力狀態(tài)仍然能夠滿足公式（39）所示破壞條件，則將發(fā)生新一輪的破壞，形成深部巷道特有的分區(qū)破裂化現(xiàn)象。

3 結(jié)論

本文從開(kāi)挖后圍巖的平衡方程出發(fā)，結(jié)合泰勒公式，得到了圍巖松動(dòng)圈范圍的理論計(jì)算公式。結(jié)合工程實(shí)際測(cè)量結(jié)果對(duì)計(jì)算公式加以驗(yàn)證，結(jié)果表明兩者具有較好的一致性。采用 Maxwell 方程表征巖體缺陷處應(yīng)力演化過(guò)程，給出了圍巖發(fā)生破裂所滿足的條件。綜合研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)：圍巖松動(dòng)圈范圍與埋深相關(guān)，隨著埋深增加，松動(dòng)圈范圍增大；圍巖脆性越強(qiáng)，松動(dòng)圈范圍越大；圍巖峰后強(qiáng)度越低，形成的圍巖松動(dòng)圈范圍越大，這樣才能給彈性區(qū)提供足夠的支撐力，實(shí)現(xiàn)圍巖的自穩(wěn)。圍巖松動(dòng)圈破裂破壞的臨界初始地應(yīng)力與圍巖抗剪強(qiáng)度、抗拉強(qiáng)度以及圍巖不均勻性密切相關(guān)。圍巖發(fā)生分區(qū)破裂時(shí)初始地應(yīng)力存在臨界值且越不均勻巖體越容易發(fā)生劈裂破壞。

本文計(jì)算公式同時(shí)考慮了初始地應(yīng)力和圍巖的峰后強(qiáng)度，計(jì)算結(jié)果更為合理；包含的力學(xué)參數(shù)在工程實(shí)際中容易獲取，計(jì)算簡(jiǎn)便，可以為深部巷道的穩(wěn)定性分析以及支護(hù)方式的確定提供計(jì)算依據(jù)。

作者貢獻(xiàn)聲明：

錢(qián) 蓉：論文撰寫(xiě)。鄧樹(shù)新：論文訂正。王明洋：研究思路指導(dǎo)。邱艷宇：研究思路指導(dǎo)。