徐天涵，邱艷宇，謝 方，王明洋，3

（1.陸軍工程大學 爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國家重點實驗室，江蘇 南京 210007；2.武漢理工大學 道路橋梁與結(jié)構(gòu)工程湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430070；3.南京理工大學 機械工程學院，江蘇 南京 210094）

目前，軍事強國已投入實戰(zhàn)的制導(dǎo)鉆地炸彈侵徹更深，破壞作用更大，對淺層防護工程構(gòu)成現(xiàn)實威脅；已列裝的鉆地核彈爆炸產(chǎn)生的耦合地沖擊作用對深層防護工程威脅巨大。鉆地爆炸對地下工程產(chǎn)生的破壞效應(yīng)與其地沖擊特征密切相關(guān)。因此，準確評估地沖擊是地下防護工程設(shè)計計算的基礎(chǔ)。

與空爆和觸地爆相比，地下爆炸的耦合地沖擊強度大大增強，且隨著埋深增大，地沖擊強度增大。達到封閉爆埋深時，地沖擊強度達到最大值，不再隨埋深增大而增大。由于封閉爆可簡化為無限介質(zhì)中的球?qū)ΨQ爆炸，因此可方便地利用爆炸力學理論進行計算［1-2］。對于觸地爆和非封閉的地下爆炸，由于地表自由面的影響，理論求解較為困難，一般利用試驗手段測量地沖擊大小，或進行數(shù)值模擬計算。為表征地沖擊的耦合程度，引入耦合系數(shù)，其定義為地下爆炸地沖擊與封閉爆或觸地爆地沖擊的比值。若以封閉爆為基準，則耦合系數(shù)小于1，僅當封閉爆時耦合系數(shù)等于1，表征了地表自由面對地沖擊的削減作用；若以觸地爆為基準，則在地表時耦合系數(shù)等于1，隨埋深增大耦合系數(shù)增大，表征了埋深增大對地沖擊的放大作用。

以不同的地沖擊參數(shù)為研究對象，可得到不同的耦合系數(shù)。目前較為常用的為美國學者根據(jù)數(shù)值模擬給出的和俄羅斯學者根據(jù)試驗給出的地沖擊能量耦合系數(shù)曲線［3-4］。地沖擊能量指介質(zhì)運動的機械能。此外，國內(nèi)外研究人員利用不同埋深的化爆試驗給出了不同介質(zhì)中地沖擊應(yīng)力、等效當量等參數(shù)的耦合系數(shù)變化曲線［5-14］。利用耦合系數(shù)可以直觀表征地下爆炸的耦合效率，同時也可方便計算任意深度的地沖擊大小。

相關(guān)研究已取得了較為豐富的成果，但對于耦合系數(shù)的計算仍主要依靠試驗和數(shù)值模擬，對于地沖擊的耦合機理和理論表征仍需進一步研究。不同耦合系數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系尚未給出，導(dǎo)致不同的研究成果之間難以形成統(tǒng)一、普適的結(jié)果。本文在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上，針對上述問題，分析地沖擊與爆炸破壞區(qū)尺寸的關(guān)系，據(jù)此建立不同耦合系數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，給出耦合系數(shù)計算方法。

1 地下爆炸破壞區(qū)特征與常用耦合系數(shù)

鉆地爆炸瞬間，與裝藥直接接觸的介質(zhì)受到強烈壓縮，介質(zhì)結(jié)構(gòu)完全破壞，在擠壓作用下形成一個空腔，該范圍稱為壓縮范圍，對應(yīng)半徑為壓縮半徑ra。介質(zhì)中爆炸壓力隨爆心距增加迅速減小，當壓力小于巖體介質(zhì)的壓縮強度時，介質(zhì)不會壓壞。但介質(zhì)仍在進行徑向運動，因此在環(huán)向會受到拉應(yīng)力作用，若拉應(yīng)力大于巖體抗拉強度，則會產(chǎn)生徑向裂縫，由于巖體、混凝土等介質(zhì)的抗拉強度比抗壓強度小得多，因此壓縮范圍外就出現(xiàn)了比壓縮范圍大得多，以產(chǎn)生裂縫為主的破壞區(qū)，其半徑為破壞半徑rp。破壞范圍外只產(chǎn)生很小的彈性變形，稱為彈性區(qū)。當空腔內(nèi)爆炸產(chǎn)物卸荷后，受壓縮的空腔會向爆心方向發(fā)生部分回彈，從而在介質(zhì)中產(chǎn)生環(huán)形裂縫。

對于接觸爆炸，如圖1a所示，其裝藥中心位于地表，壓縮范圍與破壞范圍的截面形狀近似拋物線型［15］，此時爆心下方的壓縮半徑與破壞半徑分別為ra0與rp0，地表水平面的壓縮（成坑）半徑與破壞半徑分別為ra*與rp*。接觸爆炸的壓縮半徑與破壞半徑比封閉爆炸的要小，這是由于部分能量泄入空氣中，減小了裝藥對介質(zhì)的破壞作用。

圖1 地下爆炸示意圖Fig.1 Diagram of underground explosions

對于地下爆炸，如圖1b所示，比例埋深（爆深與當量的立方根之比）為hˉ時爆心下方壓縮半徑與破壞半徑分別為rah與rph。隨著埋深增加，壓縮半徑與破壞半徑逐漸增加，直至某一深度后與封閉爆炸的值相等，繼續(xù)增加埋深也不再變化。

對于完全封閉爆炸，如圖1c所示，地表自由面的影響可忽略，爆炸后周圍介質(zhì)同時受到爆炸產(chǎn)物的作用，爆炸產(chǎn)生的壓縮區(qū)與破壞區(qū)均近似為球形，半徑分別為rac與rpc。相關(guān)研究［1，2，16］已形成了較為準確的計算公式。

淺埋爆炸地沖擊是十分復(fù)雜的耦合作用問題，理論研究和試驗均存在困難。通常是通過耦合系數(shù)將其轉(zhuǎn)化為等效的封閉爆炸或接觸爆炸進行計算。國內(nèi)外常用的地沖擊耦合系數(shù)有如下幾種：

（1）地沖擊能量耦合系數(shù)ηe，定義為相同介質(zhì)、相同爆炸當量情況下，地下爆炸地沖擊能量與封閉爆炸地沖擊能量之比［3］，即

式中：Wsc為封閉爆炸地沖擊能量；Wsh為比例埋深hˉ處的爆炸地沖擊能量。

地下爆炸地沖擊能量向四周傳遞，但對地下防護工程安全設(shè)計而言，有效的地沖擊能量通常是位于爆心下方半空間的部分。因此，對應(yīng)的耦合系數(shù)即可分為全部能量耦合系數(shù)ηet和有效能量耦合系數(shù)ηef。通過數(shù)值模擬和現(xiàn)場試驗，美國學者與俄羅斯學者分別給出了地下核爆的有效能量耦合系數(shù)曲線［3-4］，如圖2所示。

圖2 美國與俄羅斯有效能量耦合系數(shù)曲線Fig.2 Curves of effective energy coupling factor of the United States and Russia

（2）當量耦合系數(shù)ηQ，定義為相同介質(zhì)、相同爆距處，產(chǎn)生相同地沖擊參數(shù)大小的封閉爆炸與地下爆炸的當量之比［12］，即

式中：Q為比例埋深為hˉ的爆炸當量；Qeff為等效的封閉爆炸當量。

利用當量耦合系數(shù)可以方便地換算地下爆炸對應(yīng)的封閉爆當量，文獻［10-12，14］通過不同埋深處的爆炸試驗，給出了不同介質(zhì)中的當量耦合系數(shù)隨比例埋深的變化曲線。

（3）地沖擊參數(shù)耦合系數(shù)ησ，定義為相同介質(zhì)、相同當量、相同爆心距情況下地下爆炸地沖擊參數(shù)與封閉爆炸地沖擊參數(shù)之比［5］，即

式中：σ、v、a、u分別為地沖擊應(yīng)力、粒子速度、粒子加速度以及介質(zhì)位移；下標h與c分別代表比例埋深為hˉ以及封閉爆炸的情況。

美國工程兵水道試驗站給出了混凝土和土中化爆的地沖擊參數(shù)耦合系數(shù)曲線［5］，文獻［10-12，14］通過試驗得到了不同介質(zhì)中的應(yīng)力、加速度耦合系數(shù)曲線。

（4）填塞系數(shù)m，定義為相同介質(zhì)，相同爆炸當量條件下，地下爆炸壓縮半徑與接觸爆炸壓縮半徑之比，即

根據(jù)定義，上述前3 種耦合系數(shù)在封閉爆炸時等于1，非封閉時小于1；填塞系數(shù)m在接觸爆炸時等于1，在封閉爆炸時為大于1的常數(shù)。

國內(nèi)外上述幾種表述的耦合系數(shù)曲線主要由試驗得到，系數(shù)之間關(guān)系不清，適用范圍受介質(zhì)所限。為此，本文通過理論揭示耦合地沖擊機理，闡明上述耦合系數(shù)之間的關(guān)聯(lián)性，并提出便于防護工程應(yīng)用的當量耦合系數(shù)和填塞系數(shù)計算方法。

2 地下爆炸地沖擊耦合系數(shù)計算理論

2.1 地沖擊能量計算

首先研究封閉爆炸與接觸爆炸的地沖擊能量與破壞區(qū)體積的關(guān)系。對于封閉爆炸，計算簡圖如圖1c所示，可視為處于無限均勻介質(zhì)中。在彈性區(qū)內(nèi)，爆炸引起的介質(zhì)運動可以看作是半徑為r的球面擴張問題。在r處介質(zhì)徑向應(yīng)力為σr，半徑為r的球面相當于一個能量“源”，從球面輻射出的能量完全等于球面上介質(zhì)應(yīng)力所做功。由此可得輻射能量為

式中：Sr= 4πr2為半徑為r的球面表面積；ur為r處介質(zhì)的徑向位移；ur(∞)為時間趨于無窮時的最終位移。

積分式（5）后可得到兩項，分別代表介質(zhì)的靜態(tài)彈性勢能與向遠處傳播的動能。地沖擊能量指的就是介質(zhì)運動動能，可寫為［17］

式中：B*=[5+3(1+24ν)2]/64，ν為介質(zhì)泊松比；τs為介質(zhì)剪切強度；G為介質(zhì)剪切模量；cp與cs分別為介質(zhì)的縱波波速與剪切波速；Vpc=4πr3pc/3 為破壞范圍邊界所包圍介質(zhì)體積。

對于接觸爆炸，計算簡圖如圖1a所示，爆心上方的能量耗散至空氣中，地沖擊能量僅存在于爆心下方的半空間范圍，因此有效能量與全部能量相等。

爆心下方破壞區(qū)范圍為rp0，地表水平面上破壞區(qū)半徑為rp*，假設(shè)破壞區(qū)邊界截面為拋物線［15］，則可得爆心下方破壞區(qū)邊界面積為

耦合能量計算式（5）的本質(zhì)是將單位面積能量流對破壞區(qū)邊界面積進行積分。對于任意形狀的破壞區(qū)表面，可將其按面積等效為半球面［18］，因此對于式（7），有Sp0=4πrp0rp*/3=2πrˉp02，rˉp0為等效半球半徑，可得接觸爆炸向下傳播的地沖擊能量為

式中：Vp0=2πrˉ3p0/3。

由式（6）和式（8）可知，封閉爆炸和接觸爆炸的地沖擊能量與破壞體積成線性關(guān)系，單位破壞體積的能量相等，且為僅與介質(zhì)性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。

綜上可知，對于比例埋深為hˉ的地下爆炸，破壞半徑rph介于rpc和rp0之間，破壞體積Vph介于Vpc和Vp0之間，因此地沖擊能量Wsh介于Wsc與Ws0之間。

封閉爆炸的壓縮半徑與破壞半徑一般呈線性關(guān)系。但對非封閉爆炸而言，自由面的影響加大了破壞范圍，根據(jù)文獻［19］的研究，壓縮半徑ra與破壞半徑rp的關(guān)系為

式中：θ為介質(zhì)參數(shù)。

從式（9）可以看出，rp與ra的比值存在尺度放大效應(yīng)。

2.2 地下爆炸耦合系數(shù)的理論表征

2.2.1 全部能量耦合系數(shù)與有效能量耦合系數(shù)

根據(jù)公式（1），結(jié)合公式（6）和（8），全部地沖擊能量耦合系數(shù)ηet表述為

式中：0.5 ≤ξ≤1.0，為隨埋深變化的系數(shù)，表征地下爆炸破壞區(qū)封閉度。

接觸爆炸時破壞區(qū)可等效為半球，ξ=0.5；封閉爆炸時為完整球形，ξ=1.0。

有效地沖擊能量耦合系數(shù)ηef表述為

式中：WshL與VphL分別為比例埋深hˉ處地下爆炸爆心下方半空間的地沖擊能量和破壞區(qū)等效半球體積。需要注意的是，非封閉爆炸的有效地沖擊能量WshL不等于全部地沖擊能量Wsh的一半，因為地沖擊在爆心上下半空間內(nèi)不是均勻分布的。

由公式（10）、（11）可知，對于接觸爆炸，有效地沖擊能量耦合系數(shù)為全部地沖擊能量耦合系數(shù)的兩倍。

若將破壞半徑換算成壓縮半徑，由公式（9）可將公式（10）和（11）分別改寫為

2.2.2 當量耦合系數(shù)與能量耦合系數(shù)的關(guān)系表征

量綱分析與試驗均表明［20-22］，爆炸成坑體積V與 爆 炸 當 量Q為 指 數(shù) 關(guān) 系，V=kQα，α=0.75～1.00，k為比例系數(shù)，由此推得壓縮半徑與爆炸當量的關(guān)系為ra∝Qα/3，從安全的角度，可取α=1.00。結(jié)合式（2），可將式（12）、（13）分別轉(zhuǎn)化為以下當量耦合系數(shù)的形式：

由公式（14）、（15）可知，若不考慮公式（9）地下爆炸破壞區(qū)的尺度效應(yīng)，則有效地沖擊能量耦合系數(shù)ηef與當量耦合系數(shù)ηQ是一致的，即ηef=ηQ。

2.2.3 地沖擊參數(shù)耦合系數(shù)與當量耦合系數(shù)的關(guān)系

對于封閉爆炸，地沖擊可按下式計算［4］：

式中：vpk為粒子速度峰值；A與n為參數(shù)，可由試驗確定。

地沖擊應(yīng)力可寫為

式中：ρ0為靶體初始密度。

對于淺埋爆炸，根據(jù)式（2）的定義，地沖擊可寫為

或者根據(jù)式（3）的定義可寫為

聯(lián)立式（18）、（19），結(jié)合式（2）可得

2.2.4 填塞系數(shù)與當量耦合系數(shù)的關(guān)系

填塞系數(shù)是壓縮半徑之比，由式（4）與式（15）可得，填塞系數(shù)m與有效能量耦合系數(shù)ηef，以及與當量耦合系數(shù)ηQ的關(guān)系為

式中：ηef(0)、ηQ(0)分別為埋深為0時的有效能量耦合系數(shù)和當量耦合系數(shù)

綜上可知，幾種耦合系數(shù)之間均存在轉(zhuǎn)換關(guān)系，且均與破壞體積密切相關(guān)。當量耦合系數(shù)、地沖擊參數(shù)耦合系數(shù)以及填塞系數(shù)均是按有效地沖擊能量計算。

3 耦合系數(shù)計算方法

針對接觸爆炸和封閉爆炸破壞范圍的研究已取得較為豐碩的成果，盡管目前在理論上尚難得到耦合系數(shù)隨比例埋深的解析規(guī)律，但試驗和數(shù)值模擬表明，能量耦合系數(shù)的演化軌跡類似Boltzmann函數(shù)的形式。圖3 給出了一條完整的Boltzmann 函數(shù)曲線，對比圖2 可以看出，耦合系數(shù)曲線與Boltzmann函數(shù)曲線的右半部分變化規(guī)律一致，通過調(diào)整具體系數(shù)大小可以改變曲線的初始值和增長速率。

圖3 Boltzmann函數(shù)曲線Fig.3 Curve of the Boltamann function

因此，可以將能量耦合系數(shù)ηe（實際計算中，ηe可取全部能量ηet或有效能量ηef）表達為

可以將ηe=0.99時看作達到完全耦合，將其代入式（22）可得

地沖擊源自于爆炸空腔的擴張，當空腔擴張停止后，爆炸能量基本完成了耦合入介質(zhì)的過程。當爆炸成腔在拋擲成坑之前完成時，可忽略自由面對地沖擊耦合的影響，滿足該條件的最小比例埋深約等于封閉爆炸壓縮半徑，即≈rac。大量拋擲爆炸試驗充分證實了該結(jié)論［4］。因此，式（23）可寫為

綜上，確定式（22）僅需接觸爆壓縮半徑和封閉爆壓縮半徑這兩個參數(shù)。

根據(jù)美、俄數(shù)值模擬數(shù)據(jù)和試驗數(shù)據(jù)，封閉爆的有效地沖擊能量大約是接觸爆的16 倍，則D1= 1/16 = 0.062 5，即ηef(0)=0.062 5，由公式（15）可得，封閉爆壓縮半徑是接觸爆的2 倍。根據(jù)室外現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)［4］，硬巖中封閉爆炸壓縮半徑為8～12 m·kt?1/3，可取10 m·kt?1/3，代入式（24），可得D2=1.9，由此可得有效能量耦合系數(shù)隨深度變化的曲線。同理，根據(jù)式（15）換算可得有效能量耦合系數(shù)曲線，與美國根據(jù)數(shù)值模擬得到的曲線［3］和俄羅斯根據(jù)試驗得到的曲線［4］進行比較，結(jié)果見圖4。由圖4可以看出，理論計算曲線總體介于試驗和模擬曲線之間。比例埋深小于2.0 m·kt?1/3時，理論結(jié)果與俄羅斯試驗數(shù)據(jù)吻合度更好；比例埋深大于2.0 m·kt?1/3時，理論結(jié)果更接近美國數(shù)值模擬數(shù)據(jù)。同時可以看到，全部能量耦合系數(shù)與有效能量耦合系數(shù)差距最大時是在埋深為0處，隨埋深增加差距減小，最終均趨近于1。

圖4 能量耦合系數(shù)理論計算結(jié)果與試驗、模擬結(jié)果對比Fig.4 Comparison of theoretical energy coupling factor with experimental and simulation re?sults

利用式（15）將圖4中的有效能量耦合系數(shù)曲線以及美國和俄羅斯的耦合系數(shù)曲線換算為當量耦合系數(shù)曲線，結(jié)果如圖5 所示。由圖5 可以看出，當量耦合系數(shù)計算曲線介于美、俄曲線之間，三者之間相互關(guān)系與能量耦合系數(shù)（圖4）一致。

圖5 當量耦合系數(shù)ηQ與美、俄曲線比較Fig.5 Theoretical ηQ versus curves of the United State and Russia

由式（21）將有效能量耦合系數(shù)曲線換算為填塞系數(shù)曲線（圖6），當比例埋深為6.7 m·kt?1/3時，填塞系數(shù)為1.97，當比例埋深為10.0 m·kt?1/3時，填塞系數(shù)為2.00，表明比例埋深到6.7 m·kt?1/3時已可認為地沖擊接近完全耦合，與美國結(jié)論一致。

圖6 填塞系數(shù)m計算曲線Fig.6 Calculated curve of packing factor m

為便于工程應(yīng)用，可將圖5當量耦合系數(shù)與圖6填塞系數(shù)分別表達成如下關(guān)系：

4 結(jié)論

本文探討了地下爆炸耦合地沖擊等效計算理論和方法，得到如下結(jié)論：

（1）根據(jù)地沖擊能量與爆炸破壞區(qū)的關(guān)系，得到了能量耦合系數(shù)（全部能量耦合系數(shù)和有效能量耦合系數(shù)）、當量耦合系數(shù)、地沖擊參數(shù)耦合系數(shù)及我國規(guī)范使用的填塞系數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，若不考慮地下爆炸破壞區(qū)的尺度放大效應(yīng)，有效能量耦合系數(shù)與當量耦合系數(shù)相等。

（2）通過Boltzmann 函數(shù)，利用接觸爆和封閉爆壓縮半徑兩個初始參數(shù)，可以得到耦合系數(shù)曲線計算公式。對于不同介質(zhì)，封閉爆壓縮半徑已有大量理論和試驗結(jié)論，而接觸爆壓縮半徑仍需進一步理論分析和試驗補充。

（3）通過與美、俄地下核爆耦合系數(shù)曲線對比分析，可以看出當埋深較小時耦合系數(shù)理論值與俄羅斯曲線較接近，埋深較大時與美國曲線較接近。結(jié)合填塞系數(shù)計算，美國給出的耦合系數(shù)曲線具有較好的可靠性，且偏安全。

作者貢獻聲明：

徐天涵：初稿撰寫，理論推導(dǎo)，稿件修改。

邱艷宇：文獻查找，理論推導(dǎo)。

謝 方：文獻查找，理論推導(dǎo)，初稿校對。

王明洋：提出選題，寫作指導(dǎo)，內(nèi)容把關(guān)。