江蘇省蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué) (215000) 吳 靜

陶行知先生倡導(dǎo)的“小先生制”指引人人都要將自己認識的字和學(xué)到的文化隨時隨地教給別人;愛德加·戴爾的金子談學(xué)習(xí)理論認為“教別人”或者“馬上應(yīng)用”可以記住90%的學(xué)習(xí)內(nèi)容.可見參與式學(xué)習(xí)是最有效果的.加入“小先生”的課堂,學(xué)生自幼即教人,為服務(wù)社會的實際工作,有利于培養(yǎng)學(xué)生的社會適應(yīng)性;加入“小先生”的課堂,學(xué)生充分進行數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)思維及膽量的訓(xùn)練,促進學(xué)生能夠大膽地將自己的見解通過語言表達出來,進而形成自己的獨立見解;加入“小先生”的課堂,優(yōu)化了教學(xué)環(huán)節(jié),為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個能夠充分表現(xiàn)自我的氛圍,為每個學(xué)生個體提供更多的機遇,促進學(xué)生綜合素質(zhì)的全面發(fā)展,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,活躍了數(shù)學(xué)課堂.本文將結(jié)合在三個日常教學(xué)情境中實施的“小先生制”案例,談?wù)勅绾卧诔Ｒ?guī)課堂中應(yīng)用“小先生制”,進而達到數(shù)學(xué)教育像空氣一樣普遍.

一、各抒己見百思齊放

“仁者見仁,智者見智”解決數(shù)學(xué)問題時常有很多種解法,在處理一些多解法問題時可以請學(xué)生上臺交流解決方法,為何選此法,能否推廣一般,引導(dǎo)學(xué)生對比方法,教會學(xué)生從不同的角度分析問題,加深理解,發(fā)展思維,提升能力.此種情境下,會解題的學(xué)生即為小先生,他們站上講臺,表達自己的所思所想.

圖1

師：數(shù)量積的解法我們常用的是四種:數(shù)量積公式法,投影向量定義法,平面向量基本定理轉(zhuǎn)化成基底法,建系轉(zhuǎn)化成代數(shù)運算(坐標(biāo))法.針對本題你有什么樣的做法呢?為什么選擇這個做法,能否推廣到一般情形?

圖2

方法推廣：以后在方便建系的情況下都可以建立直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運算,比如有直角或者等腰條件,還有一些特殊角,比如30°,45°,60°,120°,135°,150°等也可以.重點在于要寫清楚各個點的坐標(biāo),準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化到代數(shù)運算,突破方法是提升學(xué)生的運算素養(yǎng).

方法推廣：當(dāng)所求向量數(shù)量積長度和夾角不明確時,可以選擇其他合適的向量來表示進而完成運算,一般是題中已知向量或者已知模長和夾角的都適合做基底.重點在于準(zhǔn)確選定基底,有時不止一對基底,且夾角也要小心不能出錯,突破方法是提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng).

圖3

方法推廣：投影向量法是向量數(shù)量積幾何意義的表達,所以能夠采用投影法求數(shù)量積大小尤其是取值范圍問題是非常省時省力的一個方法.重點在于理解向量數(shù)量積的本質(zhì)意義,能夠在具體的問題中準(zhǔn)確找到一個向量在另一個向量上的投影向量,這對學(xué)生思維的深度是有一定要求的,需要學(xué)生多加練習(xí),體會知識發(fā)生的過程,突破方法是提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

圖4

方法推廣：對于共起點的兩個向量求數(shù)量積通過取兩向量終點連線的中點運用極化恒等式可以起到事半功倍的效果.重點在于此法適合的是“共起點”的兩個向量求數(shù)量積,具有一定的特殊性,突破方法是提升數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等素養(yǎng).

數(shù)學(xué)課堂上一題多解的情境是非常之多的,很多教師也會請學(xué)生講解方法,但是缺乏思維的提煉,而“小先生制”的數(shù)學(xué)課堂,讓學(xué)生扮演教師對一個問題解法從思維的切入點到具體操作再到方法的推廣以及對學(xué)生能力素養(yǎng)要求一一剖析,真正體現(xiàn)了“先生”的傳道授業(yè)解惑.對于分享解法的學(xué)生而言,參與了研究學(xué)習(xí),必定印象深刻,增強信心;對于聽得學(xué)生而言,則是在集體的思維中暢游,積累了更多感悟,必將激發(fā)思維,正像英國作家蕭伯納所說:“如果你有一種思想,我有一種思想,彼此交換,我們每個人就有了兩種思想,甚至多于兩種思想.”

二、孰對孰錯辯中求真

數(shù)學(xué)中有許多容易混淆的概念、知識點,他們既有相似之處也有不同,學(xué)生在解決此類問題時經(jīng)常會因概念不清導(dǎo)致不同結(jié)果.此時教師不要做“法官”直接下結(jié)論,而是交由學(xué)生組織“搜證”辯論,對比結(jié)果反查過程.此種情境下,慎辨析的學(xué)生即為小先生,他們匯總一些易混點,深度挖掘剖析理解.

案例2 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),方程x2-5|x|+6=0的根的個數(shù)為.

生1：因為x2=|x|2,則|x|2-5|x|+6=(|x|-2)(|x|-3)=0,于是x=±2,±3,共4個根.

三個同學(xué)不同的解法得到三個不同的答案,孰對孰錯呢?教師引導(dǎo)學(xué)生成立討論小組,反查過程,尋找錯因.

經(jīng)討論發(fā)現(xiàn),生1做法錯在認為復(fù)數(shù)滿足x2=|x|2,事實上從代數(shù)運算上看,設(shè)復(fù)數(shù)x=a+bi(a,b∈R),則x2=a2+2abi-b2,|x|2=a2+b2,當(dāng)且僅當(dāng)b=0時x2=|x|2成立,即x為實數(shù)時成立,生1的解法確實所得都是實數(shù)解;從幾何意義上看,x2是復(fù)數(shù)的乘法,表示了向量的旋轉(zhuǎn),而|x|2是復(fù)數(shù)模的平方,表示的是長度,兩者沒有等價關(guān)系.

生3的做法是可以和生1,生2的做法形成對比的,先待定系數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)代入,然后再實數(shù)范圍內(nèi)解含絕對值的方程利用實現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化,避免了討論,結(jié)果正確.

復(fù)數(shù)集是在實數(shù)集上的擴充,很多的運算法則也是類比推廣的,而復(fù)數(shù)的幾何意義對應(yīng)向量,復(fù)數(shù)加法、減法運算也對應(yīng)了向量的加法、減法運算,因此三者有著很緊密的聯(lián)系,既有相似但也存在區(qū)別.針對這個混淆點,教師再次引導(dǎo)各小組翻查資料提出一些向量、實數(shù)與復(fù)數(shù)運算的對比,供學(xué)生深度辨析.這里總結(jié)各小組提出的辨析問題:

(1) 若a是實數(shù),則a2=|a|2;

若z為復(fù)數(shù),則z2=|z|2;(×)

(2) 若a,b是實數(shù),且|a|=|b|,則a=±b;

若z1,z2為復(fù)數(shù),且|z1|=|z2|,則z1=±z2;(×)

(3) 若a,b是實數(shù),則|ab|=|a||b|;

若z1,z2為復(fù)數(shù),則|z1·z2|=|z1||z2|;( √ )

(4) 若a,b是實數(shù),且|a+b|=|a-b|,則ab=0;

若z1,z2為復(fù)數(shù),且|z1+z2|=|z1-z2|,則z1z2=0;(×)

(5) 若a,b,c是實數(shù),a≠0,且ab=ac,則b=c;

若z1,z2,z3為復(fù)數(shù),z1≠0,且z1z2=z1z3,則z2=z3;( √ )

(6) 若a,b是實數(shù),則|a+b|2+|a-b|2=2|a|2+2|b|2;

若z1,z2為復(fù)數(shù),則|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2;( √ )

(7) 若a,b是實數(shù),a≠0,且ab=|a|2,則b=a;

若z1,z2為復(fù)數(shù),z1≠0,且z1z2=|z1|2,則z2=z1.(×)

數(shù)學(xué)課堂上當(dāng)不同結(jié)果出現(xiàn)時,老師如果簡單判定給出正確答案,則學(xué)生不知為何而錯,而“小先生制”的數(shù)學(xué)課堂,讓學(xué)生對比結(jié)果判定正誤,搜集資料,參與設(shè)計辨析題,意在通過多角度大范圍地對比辨析,真正體會知識發(fā)生的過程,掌握方法的遷移而不是知識簡單的復(fù)制,從而提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng).

三、開放探究發(fā)散創(chuàng)新

發(fā)散思維是思考者根據(jù)已有的知識、經(jīng)驗等,從不同角度、沿不同的方向、進行各種不同層次的思考,多觸角全方位的尋求與探索新知識.一堂開放的探究課堂上,每一個有思想的學(xué)生即為小先生,他們自由地展示自己的想法,不論好差.

案例3新函數(shù)的圖像與性質(zhì)探究

一般地,對于一些重要的思想方法,涉及內(nèi)容知識較多,可開展開放活動探究課,此時小先生登臺,教師只需事先給學(xué)生分工,學(xué)生提前做好準(zhǔn)備,先小組交流,學(xué)生進行自評,互評,最終進行各小組成果的匯報課,小組成員進行自評,互評,教師點評.此情境下的“小先生制”數(shù)學(xué)課堂,人人參與,意在將教育化為“春風(fēng)風(fēng)人,夏雨雨人”一樣,人人有得到施展的機會.

結(jié)語：“小先生制”在高中數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用是廣泛的,文中提到的三種情境基本上是在習(xí)題講評中,筆者還將繼續(xù)探索在新授課及試卷講評課等中的應(yīng)用.“小先生制”的應(yīng)用將培養(yǎng)學(xué)生深度理解,充分表達,拓寬視野,發(fā)展思維．因此,教師要充分發(fā)揮“小先生制”的優(yōu)勢所在,不斷在課堂上合理踐行,從而使“小先生”成為課堂的常客,扎實提升學(xué)生的核心素養(yǎng)．路漫漫,“小先生”課堂研究之路任重而道遠,學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成之路循序而漸進.