安徽省阜陽市第二中學(xué) (236000) 劉蘭梅

合肥工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué) (230009) 王 峰

一、問題提出

由此看出,反證法的證題依據(jù)是根據(jù)邏輯性中的排中律與矛盾律,通過“否定命題結(jié)論的反面,從而知原命題的結(jié)論正確”,其實(shí)質(zhì)上是駁倒結(jié)論的反面,從而反襯出原命題的結(jié)論正確,故稱反證法屬于間接證法.

在多年的教學(xué)實(shí)踐中,筆者一直有個(gè)困惑,那就是在運(yùn)用反證法處理問題中,從“反設(shè)(假設(shè)結(jié)論的否定正確)”出發(fā)進(jìn)行推理論證,導(dǎo)出矛盾,此時(shí)我們就說“反設(shè)”錯(cuò)誤,究竟為何呢?即由“矛盾”怎么就知道一定是由于“反設(shè)”造成的呢?其依據(jù)的原理是什么?有的教師認(rèn)為反證法實(shí)質(zhì)上是改正原問題的逆否問題,但反證法證題過程中時(shí),從兩個(gè)不同角度進(jìn)行論證,出現(xiàn)“自相矛盾”的現(xiàn)象顯然不是證原問題的逆否問題,故知反證法的本質(zhì)是改證其逆否命題的說法不完全正確,那么由“矛盾斷定反設(shè)錯(cuò)誤”這一理論依據(jù)是什么呢?

二、問題解決

眾所周知,在運(yùn)用反證法處理問題時(shí),出現(xiàn)的矛盾的情形概括起來無外乎三種情況:一是與數(shù)學(xué)知識(shí)或常識(shí)性知識(shí)矛盾;二是與題設(shè)條件矛盾;三是自相矛盾.事實(shí)上,由于出現(xiàn)矛盾的情形不同,則其由“矛盾”斷定“‘假設(shè)’是錯(cuò)誤的”的原理也有所不同,要因“法”而已,下面就根據(jù)“矛盾”這三種情形詮釋一下它們判斷“反設(shè)錯(cuò)誤”的依據(jù).

(1)當(dāng)所證的命題是一個(gè)“簡(jiǎn)單命題時(shí)”時(shí),這樣的命題若用反證法論證時(shí),出現(xiàn)的就是與“常識(shí)性知識(shí)或題設(shè)條件”的矛盾.這種情況的邏輯基礎(chǔ)是原命題與其逆否命題的等價(jià)性.

(2)當(dāng)所證明的命題是“若‘p且q’,則r”時(shí),這種形式的命題若用反證法論證時(shí),我們常常論證命題“r且p?q”或“r且q?p”成立,其推理模式是邏輯學(xué)中的反三段論,反三段論的前提“如果p且q,那么r”,可以看作一個(gè)三段論,反三段論的結(jié)論是“如果p并且非r,那么非q”可以看作是把該三段論的一個(gè)前提加以否定,結(jié)論也加以否定,并且也調(diào)換它們的位置而成.反三段論不但前提蘊(yùn)含結(jié)論,而且結(jié)論也蘊(yùn)含前提,也就是說,前提與結(jié)論是等值的.

反三段論的形式是:如果p且q,那么r,所以如果(p并且非r),那么非q.(或如果(q并且非r),那么非p).這個(gè)推理形式的有效性可以這樣來解釋:如果同時(shí)具備p,q兩個(gè)條件,那么就必然出現(xiàn)結(jié)果r;當(dāng)條件p已經(jīng)具備而結(jié)果r沒出現(xiàn)時(shí).就可以推斷另一條件q沒有具備.如零點(diǎn)存在性定理:若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)f(b)<0,則f(x)在區(qū)間(a,b)上至少有一個(gè)零點(diǎn).這個(gè)定理的條件有兩個(gè):(1)函數(shù)f(x)連續(xù);(2)f(a)f(b)<0,結(jié)論是“f(x)在區(qū)間(a,b)上至少有一個(gè)零點(diǎn)”.“假設(shè)f(x)在區(qū)間(a,b)上沒有一個(gè)零點(diǎn)且函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),則f(a)f(b)≥0.”或“假設(shè)f(x)在區(qū)間(a,b)上沒有一個(gè)零點(diǎn)且f(a)f(b)<0,則函數(shù)f(x)在[a,b]不連續(xù).”

由此看出,反三段論的本質(zhì)是在題設(shè)條件有兩個(gè)時(shí),即“如果p且q,那么r,”將一個(gè)條件p保持不變的情況下,反證法論證的命題是“若非r,則q”,這就是原命題在條件p不變的情況下,命題“若q,則r”的逆否命題,故根據(jù)原命題與其逆否命題的等價(jià)性,由于反三段論命題:將一個(gè)條件p保持不變的情況下,“若非r,則q”是正確的,故知故知原命題在條件p不變的情況下,命題“若q,則r”是真的.反三段論在思維中上經(jīng)常用到的,如果幾個(gè)條件聯(lián)合起來構(gòu)成某一情況的充分條件,那么當(dāng)該情況不出現(xiàn)時(shí),就可推出幾個(gè)條件中至少有一個(gè)條件不具備,凡是作這樣的推理時(shí),我們就是應(yīng)用了反三段論的形式.

案例3函數(shù)f(x)在R上是遞增的,且f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),則a+b≥0.

證明：假設(shè)a+b<0,則a<-b,b<-a,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上是遞增的,所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-b),兩式相加,得f(a)+f(b)

值得注意的是,利用“反三段論式”推理的反證法,也可理解為改證原命題的逆否命題,這與“反三段論式”的理解是如出一轍,本質(zhì)一樣.因?yàn)楫?dāng)命題的條件和結(jié)論不止一個(gè)時(shí),原命題的逆否命題不是唯一的,且逆否命題含有原命題的部分條件,這將有助于應(yīng)用反證法時(shí)采用不同的推理方法.例如,“若a,b都是正數(shù),則ab是正數(shù)”為原命題,則“若ab不是正數(shù)且a正,則b不是正數(shù)”、“若ab不是正數(shù)且b正,則a不是正數(shù)”,它們都是原命題的逆否命題,故與原命題都是等價(jià)的.如案例3中,“若函數(shù)f(x)在R上是遞增的,且a+b<0,則f(a)+f(b)

(3)當(dāng)用反證法論證時(shí),將結(jié)論的反面與題設(shè)所有條件都參與使用時(shí),就會(huì)出現(xiàn)自相矛盾的現(xiàn)象,這種情形的推理模式是邏輯學(xué)中的歸謬式推理.歸謬式推理是根據(jù)某一判斷蘊(yùn)含著兩個(gè)不可同真的結(jié)果,推出該判斷為假的推理.歸謬式推理的一般形式是:

如果P,那么Q

如果P,那么Q

所以非P

這個(gè)推理形式的意思是:如果從一個(gè)假定能夠合乎邏輯地導(dǎo)出互相矛盾的結(jié)果來,則原來的假定不成立.

在這個(gè)推理模式中,為什么由“如果P,那么Q與 如果P,那么Q”就可知命題P是錯(cuò)誤的呢?其原理是什么呢?因?yàn)椤叭绻鸓,那么Q”?“若Q,則P”,又“如果P,那么Q”,故由“P?Q?P”,顯然這樣的命題P不存在,即非P.

特別指出的是,在利用反證法論證命題是,命題P是指“題設(shè)條件+反設(shè)”.如不妨設(shè)欲論證的命題為“若p,則q”,若用反證法論證命題“若p,則q”時(shí).假設(shè)q成立,即將q作為已知條件,如再聯(lián)手題設(shè)條件p,若從兩個(gè)角度進(jìn)行推理,導(dǎo)出r與r得矛盾出現(xiàn),就屬于歸謬式推理,因?yàn)檫\(yùn)用反證法論證時(shí),若將p與q作為推證的條件,此時(shí)記“p與q”為P,則若由P既可推出r,又可推出r,根據(jù)歸謬式推理知,命題P錯(cuò)誤,即“p與q”錯(cuò)誤,說明“p與q”至少有一個(gè)錯(cuò)誤,而命題p是題設(shè)條件為真,故知q必錯(cuò),根據(jù)矛盾律與排中律,知q必正確.

證明：假設(shè)a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,則a+b+c≤0;又a+b+c=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3≥0,這與a+b+c≤0矛盾,故假設(shè)錯(cuò)誤,所以a,b,c中至少有一個(gè)大于0.

當(dāng)然,究竟推證的“矛盾”究竟使用三類中的哪一類,與論證過程的表達(dá)方式有關(guān),如案例2,運(yùn)用反證法也可這樣表達(dá)過程:

三、教學(xué)思考

對(duì)于反證法的學(xué)習(xí),常常表現(xiàn)為學(xué)生問教師:“反證法這一內(nèi)容高考考不考?”從這個(gè)問法就可看出學(xué)生對(duì)于“反證法”的學(xué)習(xí)容易產(chǎn)生誤解,認(rèn)為學(xué)習(xí)反證法就是為了做題,實(shí)則時(shí)是對(duì)反證法的學(xué)習(xí)價(jià)值的認(rèn)識(shí)不到位,的確,表面上,多年來高考試題沒有明顯呈現(xiàn)“反證法”的題目,但是運(yùn)用反證法解題的思想無不是不知不覺中在使用.

例如在解答選擇題時(shí),我們?yōu)榱伺袛嗄硞€(gè)選擇支是否正確,不妨設(shè)A選項(xiàng),若直接不易判斷A是否正確,我們常常假設(shè)這個(gè)選擇支A正確,如果結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行推理,不出現(xiàn)矛盾,就認(rèn)為A正確;如果結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行推理,出現(xiàn)了矛盾,就認(rèn)為A錯(cuò)誤,這一錯(cuò)誤判斷的過程,其實(shí)就是使用了反證法的“反證思想”.

又如,舉反例也是我們駁倒某個(gè)命題的常用方法,其實(shí)質(zhì)上就是反證法的運(yùn)用.特別是,當(dāng)提出一個(gè)命題之后,就面臨兩種選擇:一是推證命題成立;二是尋找一個(gè)滿足命題的條件使結(jié)論不成立,從而否定這個(gè)命題,這就是舉反例.

事實(shí)上,舉反例是一種重要的反證手段,故學(xué)會(huì)構(gòu)造反例也是一種重要數(shù)學(xué)技能,應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)容而滲透于教學(xué)過程之中,所以學(xué)習(xí)反證法的意義重大,但為什么經(jīng)常使用“反證法”的思想解題,而沒有意識(shí)到在使用反證法呢?筆者認(rèn)為根本原因是沒有理解透反證法的原理所致,將反證法的三個(gè)步驟只是死記硬背的結(jié)果,解題時(shí)機(jī)械操作過程罷了,之所以出現(xiàn)這種現(xiàn)象,筆者認(rèn)為教師在教授“反證法”時(shí),推理講的多,而對(duì)“反證法”的原理分析的少,結(jié)果導(dǎo)致學(xué)生知其然而不知所以然,很大程度上是我們教學(xué)中沒有講清楚根源,不清楚的講解,學(xué)生沒消化,不能做到融會(huì)貫通.本文給大家關(guān)于“反證法”的一個(gè)困惑解釋一下,相信對(duì)大家有一定的幫助.