郭培華

［摘? 要］ 數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的基本對象，也是發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的關(guān)鍵. 文章從直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵與構(gòu)成出發(fā)，以“直線與平面平行的判定”的教學(xué)為例，認(rèn)為課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)可以滲透在情境創(chuàng)設(shè)、實(shí)踐操作、驗(yàn)證猜想、質(zhì)疑辨析、例題應(yīng)用、提煉總結(jié)等教學(xué)環(huán)節(jié).

［關(guān)鍵詞］ 直觀想象；圖形；操作

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo). 何為核心素養(yǎng)？核心素養(yǎng)并非具體的知識與技能，亦非一般意義上的能力，而是一種具有特定意義的綜合能力. 它以知識與技能為基礎(chǔ)，又高于具體的知識與技能，反映了數(shù)學(xué)思想與本質(zhì)，具有綜合性、整體性與持久性特征. 直觀想象素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六大要素之一，是指利用幾何直觀與空間想象來感知數(shù)學(xué)事物的變化與形態(tài)，借助圖形解決實(shí)際問題的過程.

直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵與構(gòu)成

直觀想象素養(yǎng)主要包含幾何直觀與空間想象，兩者雖有關(guān)系，但有著質(zhì)的區(qū)別，從某種程度而言，空間想象依賴幾何直觀. 克萊因提出：數(shù)學(xué)依靠的是直觀，而非邏輯［１］. 這里提到的數(shù)學(xué)直觀是指學(xué)習(xí)者對概念、定義或證明等直接把握的程度. 幾何直觀能從圖形出發(fā)，整體把握與理解知識，借助圖形描述與分析問題，體現(xiàn)感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的發(fā)展過程［2］. 空間想象是指學(xué)習(xí)者對數(shù)學(xué)事物的空間形式觀察與分析的過程.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》從問題與情境、知識與技能、思維與表達(dá)以及交流與反思幾方面對直觀想象素養(yǎng)進(jìn)行了三個(gè)水平的規(guī)定，揭示了其在四個(gè)構(gòu)成部分的不同要求. 經(jīng)梳理，直觀想象素養(yǎng)的構(gòu)成情況見圖1.

直觀想象素養(yǎng)的構(gòu)成圖不僅呈現(xiàn)出了不同層次的不同要求，還強(qiáng)調(diào)了數(shù)形結(jié)合的重要性，厘清了幾何直觀與空間想象之間的關(guān)系與作用，對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有一定的指導(dǎo)意義.

直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)措施

1. 情境創(chuàng)設(shè)，直觀感知

高中數(shù)學(xué)知識相對抽象，若想讓學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科保持持久的學(xué)習(xí)興趣，教師可通過創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境引發(fā)學(xué)生對知識的直觀感知，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)樂趣.

情境創(chuàng)設(shè)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①遵循目的性原則. 根據(jù)核心知識創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生明確探索方向，使得情境富有教學(xué)價(jià)值.②與學(xué)生認(rèn)知相匹配. 高中生的心智與思維發(fā)展迅速，針對學(xué)生身心特征創(chuàng)設(shè)的情境，能有效引發(fā)學(xué)生的直觀感知，為建構(gòu)新知奠定基礎(chǔ).③遵循現(xiàn)實(shí)性原則. 情境素材的選擇對學(xué)生的直觀感知有著直接影響，越真實(shí)的情境，帶給學(xué)生的體驗(yàn)越豐富，教學(xué)效果越好.④遵循趣味性原則. 情境的創(chuàng)設(shè)關(guān)鍵在于吸引學(xué)生對所學(xué)知識的興趣，新穎、生動(dòng)、風(fēng)趣的情境能從較大程度上調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生對知識產(chǎn)生更多的直觀感受.

課堂伊始，教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧直線與平面存在的三種位置關(guān)系，并以圖2展示如何利用圖形與符號表示這三種位置關(guān)系，讓學(xué)生在直觀的視覺中鞏固舊知，為引出直線與平面的平行關(guān)系奠定基礎(chǔ).

如圖3所示，用多媒體展示飛龍湖烏江大橋，要求學(xué)生說說橋與湖面有怎樣的位置關(guān)系. 當(dāng)學(xué)生提出橋與湖面為平行關(guān)系時(shí)，教師追問如何確定它們?yōu)槠叫嘘P(guān)系，學(xué)生從公共點(diǎn)的角度進(jìn)行分析，最終一致認(rèn)為直線和平面都具有無限的延展性特征，想要探尋它們是否存在公共點(diǎn)實(shí)在太難了，因此需要探尋出一種更加簡單實(shí)用的判定方法來確定它們是否為平行關(guān)系.

學(xué)生用文字語言、圖形語言與符號語言表達(dá)直線與平面的位置關(guān)系，起到鞏固舊知并揭示本節(jié)課教學(xué)主題的作用. 利用多媒體展示橋與湖面的位置關(guān)系，讓學(xué)生從直觀視覺中初步判斷直線與平面的位置關(guān)系，成功地激發(fā)了學(xué)生的探索欲，使學(xué)生帶著明確的問題（核心問題）進(jìn)入新的教學(xué)環(huán)節(jié).

2. 實(shí)踐操作，思維辯證

數(shù)學(xué)實(shí)踐操作指通過手腦并用的方式“做中學(xué)”，即學(xué)生借助剪刀、紙張、尺子、計(jì)算機(jī)等工具進(jìn)行數(shù)學(xué)探究與驗(yàn)證活動(dòng)，力圖讓學(xué)生通過實(shí)操主動(dòng)探究知識形成與發(fā)展的過程，為形成良好的辯證思維與創(chuàng)新意識積累經(jīng)驗(yàn). 隨著時(shí)代的發(fā)展，如今的實(shí)踐操作除了在傳統(tǒng)意義上動(dòng)手，還涵蓋多媒體操作，如常見的幾何畫板的應(yīng)用，可以給學(xué)生帶來手動(dòng)操作無法企及的視覺效果，讓學(xué)生在直觀中對知識本質(zhì)形成客觀、辯證的認(rèn)識.

實(shí)操設(shè)計(jì)：要求學(xué)生取兩支鉛筆，將它們視為兩條直線，讓它們處于平行狀態(tài)，保持其中一支鉛筆不動(dòng)，另一支鉛筆沿著與靜止的那支鉛筆異面的直線進(jìn)行平移，獲得一個(gè)平面. 邊操作邊觀察：靜止不動(dòng)的鉛筆與另一支移動(dòng)的鉛筆所形成的平面具有怎樣的位置關(guān)系？

學(xué)生實(shí)操與觀察后總結(jié)出：靜止不動(dòng)的鉛筆所在的直線與移動(dòng)的鉛筆所形成的平面是平行的關(guān)系，同時(shí)移動(dòng)的那支鉛筆所在的直線一直位于形成的平面內(nèi).

師：請大家根據(jù)以上操作過程與獲得的結(jié)論來分析，一個(gè)平面外的直線與其平行應(yīng)該具備怎樣的條件？

借助多媒體的動(dòng)畫功能，學(xué)生經(jīng)探索得出如下猜想：要使平面外的某一條直線與該平面平行，需讓這條直線與平面內(nèi)的一條直線為平行的關(guān)系.

借助鉛筆、多媒體等進(jìn)行實(shí)踐操作，不僅讓學(xué)生對直線與平面平行的位置關(guān)系有了直觀認(rèn)識，還對判定方法形成了初步猜想. 在教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)與動(dòng)手操作中，學(xué)生積極主動(dòng)地進(jìn)行思考、探索，為直觀想象素養(yǎng)的形成奠定了基礎(chǔ).

3. 驗(yàn)證猜想，建構(gòu)新知

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)講究嚴(yán)謹(jǐn)性，猜想的形成只是對知識的初步認(rèn)識. 至于猜想是否科學(xué)合理，還需進(jìn)一步驗(yàn)證. 隨著科技的發(fā)展，多媒體的普及，一些原本需要耗費(fèi)大量人力、物力與時(shí)間的操作活動(dòng)，可用先進(jìn)的多媒體技術(shù)代替，學(xué)生從它們的演示功能中能直觀發(fā)現(xiàn)知識形成與變化的過程.

在驗(yàn)證猜想的過程中，學(xué)生經(jīng)歷嘗試、觀察、預(yù)設(shè)與檢驗(yàn)等環(huán)節(jié)，從中體驗(yàn)知識與研究方法的關(guān)系，而多媒體的應(yīng)用則是一種先進(jìn)的“做中學(xué)”，為教學(xué)帶來了更強(qiáng)的視覺沖突，提高了學(xué)習(xí)效率. 因此，多媒體是驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想的工具，大家應(yīng)利用好它的教學(xué)功能.

待驗(yàn)證的猜想為：要使平面外的某一條直線與該平面平行，需讓這條直線與平面內(nèi)的一條直線為平行的關(guān)系. 用符號表達(dá)為：如圖4所示，a？埭α，b？奐α，a∥b，那么a∥α. （用PPT展示）

為了明晰學(xué)生的思路，要求學(xué)生將驗(yàn)證互動(dòng)分成以下兩步進(jìn)行分析：①直線a，b共面嗎？②直線a和平面α是否平行呢？

學(xué)生借助幾何畫板通過反證法的應(yīng)用，很快就驗(yàn)證了以上猜想是成立的，并提煉出了相應(yīng)的定理（教師用PPT展示相應(yīng)的文字與符號）. 簡而言之，即“線線平行，則線面平行”. 這是將空間問題（直線與平面）轉(zhuǎn)化成平面問題（直線與直線）的過程.

借助幾何畫板，應(yīng)用反證法對猜想進(jìn)行驗(yàn)證是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)空間想象力的過程，也是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力發(fā)展的過程，學(xué)生在此過程中容易形成科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)、周密的學(xué)習(xí)態(tài)度. 因此，利用好多媒體的教學(xué)輔助功能，發(fā)展數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，對驗(yàn)證猜想具有重要作用，亦是促進(jìn)核心素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵.

4. 質(zhì)疑辨析，深化理解

疑者覺悟之機(jī)也. 當(dāng)學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容有了明確的認(rèn)識后，并不代表學(xué)生已經(jīng)深刻理解并掌握了知識本質(zhì). 想讓學(xué)生全方位、無死角地認(rèn)識知識本質(zhì)，還須教師提出一些與原命題相近的問題引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生疑惑并自主辨析. 當(dāng)學(xué)生對直線與平面的平行關(guān)系有了明確認(rèn)識后，教師可以設(shè)計(jì)如下幾個(gè)問題，以激發(fā)學(xué)生思考.

問題1：判斷以下命題是否正確.

（1）如果a？埭α，a∥b，那么a∥α；

（2）如果b？奐α，a∥b，那么a∥α；

（3）如果a？埭α，b？奐α，那么a∥α.

這三個(gè)命題是學(xué)生在后續(xù)應(yīng)用中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，教師將這些問題羅列到新知教學(xué)課堂中“試錯(cuò)”，能夠讓學(xué)生避免在后續(xù)應(yīng)用中發(fā)生這些錯(cuò)誤，而且可以深化學(xué)生對線面平行的認(rèn)識：①線必須位于面外；②一條位于面內(nèi)的直線與面外的直線平行. 兩者缺一不可.

問題2：如圖5所示，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，與棱AB平行的平面有______；與平面ABB′A′平行的棱有______.

這是用定理來處理實(shí)際問題的過程，為接下來的定理應(yīng)用奠定基礎(chǔ). 學(xué)生的思維在以上幾個(gè)問題的探索中，由淺入深，由具體上升到抽象，再由感性逐漸轉(zhuǎn)化到理性，這是從真正意義上激發(fā)學(xué)生思考的過程. 學(xué)生在每個(gè)問題的探索中，親歷動(dòng)手操作、直觀感知、思辨與推理等過程，嘗試從不同維度審視線面平行的判定定理，進(jìn)一步深化對該定理的認(rèn)識.

5. 例題應(yīng)用，發(fā)展思維

發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)與例題教學(xué)有著密不可分的聯(lián)系，一個(gè)好的例題往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，尤其是數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等，能讓學(xué)生在直觀的圖形或問題中獲得“解一題通一片”的能力［3］. 由淺入深、知識聯(lián)系、透徹理解與總結(jié)反思四個(gè)環(huán)節(jié)是應(yīng)用例題發(fā)展數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵，亦是讓學(xué)生達(dá)到境界“俯瞰眾題都會(huì)解”的保障.

例1 如圖6所示，在四棱錐A－DBCE中，已知底面正方形BCED的對角線交點(diǎn)為O，AE邊的中點(diǎn)為F. 求證：AB邊與平面CFD平行.

解析 連接FO，證得FO為△ABE的中位線，則AB∥FO，結(jié)合線面平行定理可知AB邊與平面CFD平行.

變式：與圖6中的FO平行的平面有哪些？

例2 如圖7所示，四棱錐P－ABCD中的底面ABCD為矩形，AB，PC邊的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N. 求證：NM與平面ADP平行.

解析 取PD邊的中點(diǎn)Q，連接QA，QN，證得四邊形QNMA為平行四邊形，可得NM∥QA，結(jié)合線面平行定理可得NM與平面ADP平行.

從發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的角度來剖析以上兩個(gè)例題，學(xué)生從題設(shè)條件與結(jié)論出發(fā)，通過對圖形的加工，探尋出符合判定定理的相關(guān)條件，從而順利獲得問題的答案. 在此過程中，為圖形添加輔助線起到了重要作用，這對學(xué)生的直觀想象能力與邏輯思維能力有著較高要求，兩者缺一不可.

通過例題的探索，學(xué)生不僅掌握了本節(jié)課的教學(xué)主題——線面平行定理，擁有了解決實(shí)際問題的能力，還從中體悟到了重要的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，對促進(jìn)個(gè)人思維的發(fā)展有著深遠(yuǎn)影響.

6. 提煉總結(jié)，反思升華

當(dāng)學(xué)生面臨一個(gè)問題時(shí)，第一反應(yīng)就是有沒有更簡單、更便捷、更通性的方法來解決這個(gè)問題. 這就需要學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)提煉與總結(jié)，盡可能地將一些解決方法提煉成相應(yīng)的小模型，再將這些小模型織成一張大網(wǎng)絡(luò)根植于腦海中，形成直觀形象的解題圖譜，為提升解題效率奠定基礎(chǔ).

例如本節(jié)課從教學(xué)內(nèi)容的處理來看，學(xué)生經(jīng)歷了直觀感知到操作確認(rèn)再到思辨論證的過程. 學(xué)生自主猜想出線面平行定理后借助先進(jìn)的信息技術(shù)手段進(jìn)行了驗(yàn)證，因親歷了知識發(fā)生發(fā)展的全部過程，從而形成了深刻理解與長時(shí)記憶.

總之，立體幾何教學(xué)本就以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力與邏輯思維能力為“方向標(biāo)”，因此課堂上必然少不了實(shí)踐操作、多媒體演示等過程，學(xué)生從這些直觀感知中不僅能全方位地認(rèn)識基本空間圖形，還能形成良好的幾何直覺，為形成空間想象能力與邏輯推理能力夯實(shí)了基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

［1］ M·克萊因. 古今數(shù)學(xué)思想（第1冊）［M］. 張理京，譯. 上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1979.

［2］ 孔凡哲，史寧中. 關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式——對《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的一點(diǎn)認(rèn)識［J］. 課程·教材·教法，2012，32 （07）：92-97.

［3］ 王衛(wèi)東，潘淑芬. 借助幾何直觀教學(xué) 積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)［J］. 教學(xué)與管理，2014（05）：41-43.