程如林

［摘 要］在現(xiàn)行高中物理教材中，“簡諧運動”的內(nèi)容沒有編入簡諧運動的周期公式，這給教學(xué)造成了三個方面的缺憾?；仡櫄v年的教材發(fā)現(xiàn)，在1979年版《全日制十年制學(xué)校高中課本·物理》中曾編入了周期公式，并通過“單位圓”進行了推導(dǎo)，在1984年版《高級中學(xué)課本·物理（甲種本）》中也給出了周期公式，但沒有推導(dǎo)過程，在1984年版《高級中學(xué)課本·物理（乙種本）》中沒有編入周期公式，在之后的各個版本教材中均不再出現(xiàn)周期公式。教材中曾經(jīng)編入周期公式，說明它對教學(xué)是有幫助的，后來刪除了周期公式，是因為受當(dāng)時教學(xué)條件的限制，教學(xué)難度大，但在當(dāng)前形勢下，教學(xué)條件日益完善，在教學(xué)中是可以探究周期公式的。文章闡述了探究周期公式的重要性與可行性。

［關(guān)鍵詞］探究案例；簡諧運動；周期公式

［中圖分類號］? ? G633.7? ? ? ? ［文獻標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）08-0051-05

在《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中，“科學(xué)探究”是高中物理學(xué)科四大核心素養(yǎng)之一，開展科學(xué)探究活動，可促進學(xué)生體驗科學(xué)探究過程，領(lǐng)悟科學(xué)探究方法，增強科學(xué)探究能力，并加深對相關(guān)知識的理解。教師在教學(xué)過程中善于開展科學(xué)探究活動，可優(yōu)化教學(xué)過程，提高教學(xué)效率。在現(xiàn)行各種版本的高中物理教材中，均編排了很多探究性教學(xué)案例。

開展探究式教學(xué)，僅利用教材中的探究案例是不夠的，教師還要根據(jù)教學(xué)需要適時插入教材中沒有的、由教師自主優(yōu)選的探究案例。插入的探究案例是否恰當(dāng)，主要看它對教學(xué)是否有幫助，如果它能優(yōu)化課堂教學(xué)，提高課堂教學(xué)效率，就可以插入。本文介紹一個自主優(yōu)選探究案例——探究簡諧運動的周期公式。

一、探究緣由

在新人教版高中物理教材中，“簡諧運動”這一單元的教學(xué)內(nèi)容被編排在選擇性必修第一冊第二章第一節(jié)至第三節(jié)［1］中，在第一節(jié)內(nèi)容“簡諧運動”中，教材通過實驗總結(jié)得出彈簧振子的位移—時間圖像（即[x-t]圖像）是正弦曲線，進而指出“這樣的振動是一種簡諧運動”；在第二節(jié)內(nèi)容“簡諧運動的描述”中，教材介紹了振幅、周期、頻率、相位等物理量，并通過“做一做”欄目總結(jié)得出簡諧運動的周期與其振幅無關(guān)的結(jié)論；在第三節(jié)內(nèi)容“簡諧運動的回復(fù)力和能量”中，教材闡述了“簡諧運動的回復(fù)力”和“簡諧運動的能量”兩個重要概念，并通過“做一做”欄目討論了能量的轉(zhuǎn)化與守恒情況。

不難發(fā)現(xiàn)，教材沒有給出簡諧運動的周期公式。這樣的編排，對教學(xué)是有缺憾的，這種缺憾主要表現(xiàn)在以下三個方面：一是沒有這個公式，“簡諧運動”這一單元的知識體系就顯得不夠完整，欠缺系統(tǒng)性，不利于學(xué)生全面、深刻地理解本單元的知識內(nèi)容；二是沒有這個公式，對后面單擺的周期公式來說，前后銜接不夠緊密，過渡不夠自然；三是沒有這個公式，學(xué)生就搞不清簡諧運動的周期到底與質(zhì)量有什么關(guān)系，因為在單擺周期公式中周期與質(zhì)量是無關(guān)的，而在彈簧振子振動過程中，通過觀察發(fā)現(xiàn)，周期與質(zhì)量是有關(guān)的，這兩種振動都是簡諧運動，但它們的周期與質(zhì)量的關(guān)系是不一樣的，學(xué)生對此感到疑惑，不理解，從而影響了教學(xué)效果。

如果在“簡諧運動”這一單元的教學(xué)中穿插一個探究內(nèi)容——探究簡諧運動的周期公式，通過探究活動得出簡諧運動的周期公式是[T=2πmk]，則在后面第4節(jié)“單擺”的教學(xué)中就可順理成章地推導(dǎo)出單擺的周期公式，因為單擺是簡諧運動，所以簡諧運動的周期公式也適用于單擺，只要將單擺中回復(fù)力與位移關(guān)系的比例系數(shù)[k=mgl]代入，便可得出單擺的周期公式為[T=2πl(wèi)g]。這樣組織教學(xué)，不僅使整個簡諧運動的知識體系顯得完整并具有系統(tǒng)性，而且前后教學(xué)內(nèi)容也實現(xiàn)了自然過渡，學(xué)生也明白了其中的內(nèi)在邏輯關(guān)系，就不再疑惑了。

至此，我們知道，在“簡諧運動”教學(xué)中插入這個探究內(nèi)容對教學(xué)是有幫助的，那么，現(xiàn)行高中物理教材為什么沒有編入簡諧運動的周期公式呢？

二、教材回顧

回顧歷年各種版本的高中物理教材發(fā)現(xiàn)，在1979年版《全日制十年制學(xué)校高中課本·物理》中，簡諧運動的周期公式是有要求的，教材通過“參考圓”的輔助方法推導(dǎo)出了周期公式[T=2πmk]。從1984年秋季學(xué)期開始，我國高中物理教學(xué)開始使用新教材，當(dāng)時的新教材有兩種版本，即《高級中學(xué)課本·物理（甲種本）》和《高級中學(xué)課本·物理（乙種本）》，這兩種版本的教材，其教學(xué)要求是不一樣的，難度也是不一樣的，甲種本要求較高，難度較大，乙種本要求較低，難度較小。在甲種本教材中，給出了周期公式[T=2πmk]，但沒有給出推導(dǎo)過程，而在乙種本教材中，沒有給出這個周期公式。在之后的各種版本教材中，就不再出現(xiàn)這個周期公式了。

從這個變化過程看，可以發(fā)現(xiàn)，關(guān)于簡諧運動周期公式的教學(xué)，原先是有要求的，后來要求不斷降低了。為什么會這樣呢？因為在當(dāng)時的形勢下，學(xué)校教學(xué)條件有限，實驗器材較少，實驗設(shè)備落后，計算機等信息化教學(xué)手段還沒有應(yīng)用到教學(xué)中，也沒有Excel等數(shù)據(jù)處理軟件輔助教學(xué)，所以難以通過實驗探究得出周期公式；另外，由于當(dāng)時高中數(shù)學(xué)教材中沒有編入導(dǎo)數(shù)知識，所以也難以通過導(dǎo)數(shù)知識開展理論探究，得出周期公式。鑒于當(dāng)時的條件限制，在早期教材（1979年版）中，公式的理論推導(dǎo)只能采用“參考圓”的方法進行，但這種方法比較抽象難懂，教學(xué)效果不理想，之后，為了降低學(xué)習(xí)難度，在后來的甲種本教材（1984年版）中，就只給出了周期公式而沒有給出推導(dǎo)過程，而在乙種本教材（1984年版）中就直接刪除了這個周期公式，之后的各種版本教材中也就不再給出周期公式了。

但在當(dāng)前形勢下，計算機等信息化教學(xué)手段已普遍應(yīng)用到教學(xué)中，Excel等數(shù)據(jù)處理軟件也已普及，另外，在高中數(shù)學(xué)中也已編入了導(dǎo)數(shù)知識［2］，在高中物理教學(xué)中，教師是可以根據(jù)教學(xué)需要穿插這一教學(xué)內(nèi)容的，即通過探究活動得出這個周期公式，下面介紹本人的教學(xué)實踐過程。

三、探究過程

對周期公式的探究，既可以采用實驗探究，也可以采用理論探究的方法。在理論探究中，還可以采用多種不同方法，既可以通過數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)知識推導(dǎo)出這個公式，還可以通過物理學(xué)中的單位制理論推導(dǎo)出這個公式。

（一）實驗探究

【探究內(nèi)容】探究簡諧運動的周期公式（分組實驗）。

【探究器材】將班級學(xué)生分成5個實驗小組，每個小組配備的實驗器材如下：J2110螺旋彈簧組1組（內(nèi)裝5個彈簧，分別對應(yīng)不同的勁度系數(shù)），鐵架臺1個，鉤碼多個（每個質(zhì)量為50 g），秒表1個。

【探究過程】教師引導(dǎo)學(xué)生組裝器材，制成豎直方向的彈簧振子（如圖1），并觀察彈簧振子的振動過程，猜想周期可能與振動的振幅、彈簧振子的質(zhì)量、彈簧的勁度系數(shù)有關(guān)，進而采用控制變量法開展實驗探究，可分為三個步驟進行。

1.控制彈簧振子的質(zhì)量、彈簧的勁度系數(shù)不變，僅讓振幅A發(fā)生變化，探究周期T與振幅A的關(guān)系。

（1）實驗任務(wù)：各個實驗小組分工協(xié)作，共同完成探究任務(wù)。要求每個實驗小組選取相同的彈簧，相同質(zhì)量的鉤碼（鉤碼的個數(shù)相同），制成彈簧振子，進行實驗，分別測量振動周期，將數(shù)據(jù)記錄在表格中，最后對數(shù)據(jù)進行綜合分析。

（2）學(xué)生實驗：在實驗中，各個實驗小組均選取了勁度系數(shù)為[k=10 N/m]的彈簧和2個鉤碼（總質(zhì)量[m=100 g]），制成彈簧振子后開始實驗，振幅隨機確定，各個實驗小組分別測出了發(fā)生N次全振動的時間，并求出了周期[T=tN]，將數(shù)據(jù)記錄在同一張表格中，如表1所示。

（3）實驗結(jié)論：觀察表1中的數(shù)據(jù)，可知周期近似為一定值。從而得出結(jié)論：在誤差允許的范圍內(nèi)，簡諧運動的周期T與振幅A無關(guān)。

2.控制勁度系數(shù)k不變，讓彈簧振子的質(zhì)量m發(fā)生變化，探究周期T與質(zhì)量m的關(guān)系。

（1）實驗任務(wù)：各個實驗小組分工協(xié)作，共同完成探究任務(wù)。要求每個實驗小組選取相同的彈簧，不同質(zhì)量的鉤碼（通過改變鉤碼的個數(shù)實現(xiàn)），制成彈簧振子，進行實驗，分別測量振動周期，將實驗數(shù)據(jù)記錄在表格中，最后對數(shù)據(jù)進行綜合分析。

（2）學(xué)生實驗：在實驗中，每個小組均選取了勁度系數(shù)為[k=15 N/m]的彈簧，另外，第1小組選取了1個鉤碼、第2小組選取了2個鉤碼……各個小組分別測出了各自的彈簧振子發(fā)生N次全振動的時間，并求出對應(yīng)的周期[T=tN]，將數(shù)據(jù)記錄在同一張表格中，如表2所示。

（4）實驗結(jié)論：觀察圖像可知，[T2-m]圖像是一條通過坐標(biāo)原點的直線， 從而得出結(jié)論：當(dāng)勁度系數(shù)[k]不變時，周期[T]與質(zhì)量[m]的關(guān)系為[T2∝m]，即[T∝m]。

3.控制振子質(zhì)量[m]不變，讓勁度系數(shù)[k]發(fā)生變化，探究周期[T]與勁度系數(shù)[k]的關(guān)系。

（1）實驗任務(wù)：各個實驗小組分工協(xié)作，共同完成探究任務(wù)。要求每個實驗小組分別選取各不相同的彈簧，相同質(zhì)量的鉤碼（鉤碼的個數(shù)相同），制成彈簧振子，進行實驗，分別測量振動周期，將實驗數(shù)據(jù)記錄在表格中，最后對數(shù)據(jù)進行綜合分析。

（2）學(xué)生操作：在實驗中，每個小組均選取了兩個鉤碼（總質(zhì)量[m=100 g]），另外，第1小組選取了勁度系數(shù)為2.5 N/m的彈簧、第2小組選取了勁度系數(shù)為5 N/m的彈簧……各個小組分別測出了各自的彈簧振子發(fā)生N次全振動的時間，并求出了周期[T=tN]，將數(shù)據(jù)記錄在同一張表格中，如表3所示。

（4）實驗結(jié)論：觀察圖像可知，[T2-1k]圖像是通過坐標(biāo)原點的直線，從而得出如下結(jié)論。

當(dāng)振子質(zhì)量不變時，周期[T]與勁度系數(shù)[k]的關(guān)系為[T2∝1k]，即[T∝1k]。

4.師生總結(jié)：綜合以上三個步驟中的結(jié)論，可得 [T∝mk]，令比例系數(shù)為[k0]，則[T=k0mk]，可由圖像求得為[k0≈6.28]，即[k0≈2π]，從而得周期公式[T=2πmk]。

【探究結(jié)論】彈簧振子做簡諧運動的周期公式為[T=2πmk]。

點評：以上探究過程是典型的實驗探究過程，其中包含了科學(xué)探究的各個要素，包括：提出問題、進行猜想、設(shè)計方案、進行實驗、記錄數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)處理、得出結(jié)論、交流展示。整個探究過程科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，對學(xué)生起到了示范引領(lǐng)作用，學(xué)生體驗了探究過程，領(lǐng)悟了探究方法，提升了探究能力。另外，在實驗過程中用到了控制變量法，以及用計算機軟件處理數(shù)據(jù)的實驗方法，這些思想方法都是物理學(xué)中最基本和最重要的思想方法，學(xué)生領(lǐng)悟了這些思想方法，也就增強了實驗素養(yǎng)。

（二）理論探究

1.用數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)知識進行探究

當(dāng)前，導(dǎo)數(shù)知識已被編寫進了高中數(shù)學(xué)教材中，導(dǎo)數(shù)知識在物理中的應(yīng)用很多，不僅可用于定性判斷、定量計算和求解極值，還可用于探究物理規(guī)律。本案例就可以用導(dǎo)數(shù)知識進行探究，過程如下：

（1）關(guān)于簡諧運動的位移—時間關(guān)系，教材中給出了這樣的關(guān)系式[x=A sin（ωt+φ）]。

（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)知識，得簡諧運動的瞬時速度為[v=dxdt=Aωcos（ωt+φ）]。

（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)知識，得簡諧運動的瞬時加速度為[a=dvdt=-Aω2sin（ωt+φ）]。

（4）比較步驟（1）（3）中的兩個關(guān)系式，可得[a=-ω2x]。

（5）對簡諧運動來說，回復(fù)力[F回=-kx]，由牛頓第二定律得[a=F回m=-kxm]。

（6）比較步驟（4）（5）中的關(guān)系式，得[-ω2x=-kxm]，即[ω2=km]。

（7）因為[ω=2πT]，代入上式，可得[T=2πmk]。

點評：用導(dǎo)數(shù)知識開展探究教學(xué)，看似好高騖遠(yuǎn)，其實不然，它的意義在于不僅獲得了有用的結(jié)論，更為重要的是，它展示了數(shù)學(xué)知識和物理知識的融合運用過程，這是新課程提倡的教學(xué)方法，可以促進學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。

2.用物理學(xué)中的單位制理論進行探究

在現(xiàn)行高中物理教材中編排了單位制的內(nèi)容，教師和學(xué)生通常熟悉它的兩種用途：（1）在進行計算時，若已知量均采用國際單位制中的單位，則計算過程中不用代入單位，只要在計算結(jié)果末尾寫出所求量的國際單位即可；（2）可用單位制來判斷物理表達式是否正確，如果表達式兩邊各物理量單位經(jīng)換算后不相同，則表達式一定錯誤。其實，單位制理論還有一個重要用途，就是用來探究物理規(guī)律、開展探究教學(xué)。

利用單位制理論探究簡諧運動周期公式的過程如下：

（1）師生觀察。觀察簡諧運動的過程后發(fā)現(xiàn)，周期可能與下列三個因素有關(guān)：振動的振幅A，振子的質(zhì)量m，彈簧的勁度系數(shù)k。

（2）師生猜想。T與A、m、k之間的關(guān)系式可假設(shè)為[T=k0Axmykz] （其中[k0]為比例系數(shù)，無單位，x、y、z的數(shù)值待定）。

（3）師生推導(dǎo)。用“物理公式兩邊單位相同” 這一理論去推導(dǎo)上式中x、y、z值。

在表達式[T=k0Axmykz]中，周期T的單位是s，振幅A的單位是m，質(zhì)量[m]的單位是kg，勁度系數(shù)k的單位是[N·m-1]，這個單位可轉(zhuǎn)化成基本單位的組合，即[N·m-1=kg·m·s-2·m-1=kg·s-2]，將各個物理量的單位代入表達式[T=k0Axmyk]z兩邊進行運算，

點評：用單位制理論開展探究教學(xué)，不僅使學(xué)生鞏固了課本中的單位制知識，而且使單位制的應(yīng)用功能得到拓展，這樣的教學(xué)過程，學(xué)生很感興趣，也很受啟發(fā)。

四、教學(xué)反思

回顧整個教學(xué)過程，不難發(fā)現(xiàn)此項探究活動具有以下特性。

（一）探究內(nèi)容具有適切性

本案例探究的周期公式在過去的教材中曾經(jīng)出現(xiàn)過，后又刪除了，出現(xiàn)過這個公式說明它對教學(xué)有幫助，后來刪除了這個公式，是受當(dāng)時的教學(xué)條件限制而做出的調(diào)整。在當(dāng)今形勢下，學(xué)校已經(jīng)擁有了優(yōu)良的實驗設(shè)備，教師已經(jīng)用上了先進的數(shù)據(jù)處理軟件，學(xué)生已經(jīng)儲備了足夠的數(shù)學(xué)知識，所以進行探究的條件已經(jīng)成熟了，現(xiàn)在再次將該案例引入課堂教學(xué)，是可行的，也是切合時宜的。

（二）探究方法具有多樣性

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確提出：“科學(xué)探究活動的方式應(yīng)多樣化?！保?］在本案例中，科學(xué)探究可以用實驗方法，也可以用理論方法，理論方法也有多種。教師在教學(xué)中要善于挖掘這些新方法，這樣可以啟發(fā)學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（三）探究結(jié)論具有實效性

本案例的探究結(jié)論——簡諧運動的周期公式，具有實效性，它既對“簡諧運動”這一單元教學(xué)內(nèi)容進行了充實，使其知識結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)完整性和系統(tǒng)性，又對后面的“單擺”教學(xué)做了鋪墊。有了簡諧運動的周期公式，便可順利推導(dǎo)出單擺的周期公式，消除了學(xué)生的疑惑，可謂一舉多得。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書物理選擇性必修第一冊［M］.北京：人民教育出版社，2020：32-45.

［2］? 蘇教版高中數(shù)學(xué)教材編寫組.普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2021：173-196.

［3］? 中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版［S］.北京：人民教育出版社，2018：70.

（責(zé)任編輯 易志毅）