何延曉，王承登，伍宏建，劉威，劉鵬

(重慶交通大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院，重慶 400074)

0 前言

漸開線圓柱齒輪傳動(dòng)作為主要的傳動(dòng)方式之一，廣泛應(yīng)用于航空航天、船舶海洋、交通運(yùn)輸?shù)戎匾袠I(yè)。接觸穩(wěn)定性是評(píng)價(jià)齒輪傳動(dòng)品質(zhì)的關(guān)鍵指標(biāo)，穩(wěn)定性低的齒輪系統(tǒng)會(huì)導(dǎo)致齒輪使用壽命降低、安全可靠性差、各激勵(lì)耦合作用明顯、振動(dòng)噪聲顯著等問題。因此，對(duì)齒輪系統(tǒng)接觸穩(wěn)定性展開研究具有重大理論意義及工程應(yīng)用價(jià)值。

現(xiàn)已有大量學(xué)者對(duì)齒輪系統(tǒng)嚙合特性展開研究[1-3]。部分學(xué)者為探究齒輪接觸特性，對(duì)其接觸狀態(tài)進(jìn)行了以下分析：梁棟等人[4]推導(dǎo)了齒輪空間共軛曲線副嚙合方程，對(duì)接觸跡線進(jìn)行了計(jì)算與分析；段文浩等[5]研究了不同螺旋角下雙圓弧齒輪的嚙合特性，分析了螺旋角對(duì)嚙合特性的影響；王羽達(dá)等[6]考慮齒間分配載荷，對(duì)齒輪進(jìn)行了承載接觸分析。

為探尋齒輪穩(wěn)定性的影響因素及其貢獻(xiàn)度，部分學(xué)者對(duì)不同物理量與激勵(lì)進(jìn)行分析，研究其對(duì)接觸特性的影響。劉明勇等[7]應(yīng)用有限元法分析了斜齒輪的塑性變形、材料線性強(qiáng)化、溫度及摩擦等因素對(duì)齒輪嚙合特性的影響，并用實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證；萬志國等[8]建立齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，研究了齒側(cè)間隙、時(shí)變剛度、嚙合阻尼對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響；陳安華等[9]建立了動(dòng)力學(xué)模型，探究了嚙合阻尼、支承阻尼、重合度與支承剛度對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力穩(wěn)定性的影響；曲偉等人[10]分析了不同轉(zhuǎn)速與負(fù)載下減速器齒輪的變形量與最大等效應(yīng)力的變化，并得出相應(yīng)的變化規(guī)律。

綜上可知，關(guān)于齒輪接觸特性以及嚙合穩(wěn)定性的研究眾多，且已取得一定的研究成果。大多學(xué)者均是對(duì)各因素進(jìn)行單獨(dú)影響分析，缺少對(duì)不同工況下嚙合沖擊、齒根應(yīng)力等各因素間的演變耦合規(guī)律進(jìn)行分析。因此，本文作者以一對(duì)機(jī)匣齒輪為分析對(duì)象，應(yīng)用能量守恒定理計(jì)算不同工況下齒輪嚙合沖擊，應(yīng)用修改后齒根應(yīng)力算法計(jì)算不同轉(zhuǎn)矩下的危險(xiǎn)截面齒根應(yīng)力，然后通過有限元法計(jì)算實(shí)際工況下齒輪動(dòng)態(tài)接觸力，并與理論值對(duì)比，驗(yàn)證其可靠性。探究不同工況下齒輪接觸力穩(wěn)定性情況，結(jié)合嚙合沖擊與齒根應(yīng)力，綜合分析其影響關(guān)系，得出齒輪接觸穩(wěn)定性受轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩、嚙合沖擊、齒根應(yīng)力的影響規(guī)律，為齒輪系統(tǒng)最佳工況選取及接觸穩(wěn)定性優(yōu)化提供參考。

1 理論方法

1.1 嚙入沖擊理論

嚙合沖擊包括嚙入沖擊與嚙出沖擊，由于嚙入沖擊影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于嚙出沖擊，因此主要針對(duì)嚙入沖擊進(jìn)行分析。

理想狀態(tài)下，主被動(dòng)齒輪基圓齒距相等，齒對(duì)沿嚙合線正常嚙合，但由于齒廓誤差與輪齒受載變形等因素影響，齒距發(fā)生微量變化，主從動(dòng)基圓齒距不等，嚙入點(diǎn)偏離嚙合線致使線外嚙合。而未在嚙合線內(nèi)正常嚙合齒對(duì)沿瞬時(shí)嚙合線方向速度不等，產(chǎn)生沖擊速度，導(dǎo)致嚙入沖擊。如圖1所示，Pb1與Pb2分別為主從動(dòng)輪瞬時(shí)齒距、嚙入產(chǎn)生的相對(duì)齒距差ΔPb導(dǎo)致點(diǎn)A線外嚙合，出現(xiàn)沖擊速度vs，嚙入沖擊在點(diǎn)A產(chǎn)生。

圖1 嚙入沖擊示意

首先確定沖擊點(diǎn)位置，應(yīng)用反轉(zhuǎn)法得到嚙入沖擊點(diǎn)幾何位置圖，如圖2所示。幾何間隙角φ可由變形量求得：

圖2 沖擊點(diǎn)幾何位置

φ=δΣ/rb2

(1)

δΣ=δ1+δ2+δc

(2)

式中：δΣ為前一齒對(duì)沿嚙合方向總變形量；δc為前一齒對(duì)齒面接觸變形量；δ1、δ2為前一齒對(duì)沿嚙合方向產(chǎn)生的撓曲變形量。

由幾何關(guān)系可得：

(3)

(4)

(5)

γ1=α-αB

(6)

γ2=αa2-α

(7)

ε=invαA-invαB

(8)

式中：αB為理論嚙合點(diǎn)B的壓力角；k為傳動(dòng)比；a為中心距；rO1A為沖擊半徑；α為齒輪副壓力角；θ1、θ2為主從動(dòng)輪反轉(zhuǎn)角度；αA為沖擊點(diǎn)壓力角；ε為主動(dòng)齒上提前嚙入角度；αa2從動(dòng)輪齒頂圓壓力角；ra2為從動(dòng)輪齒頂圓半徑；γ1、γ2位置如圖2所示。

聯(lián)立式(1)—式(8)可求解沖擊半徑，即確定了沖擊位置。在沖擊瞬時(shí)可做如圖3所示等效瞬時(shí)基圓與嚙合線，則嚙入沖擊速度vs為

圖3 等效基圓

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：m1、m2分別為主、從動(dòng)輪在瞬時(shí)嚙合線上的誘導(dǎo)質(zhì)量；J1、J2分別為主、從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；rh1、rh2分別為主、從動(dòng)輪輪轂內(nèi)孔半徑；ρ為密度；b為齒寬。

根據(jù)沖擊力學(xué)理論，每片直齒輪副之間產(chǎn)生的最大變形量δs、最大沖擊力F及沖擊能量Ek之間的關(guān)系可以表述為

(13)

式中：qs為齒輪副嚙入沖擊點(diǎn)的綜合柔度，qs=q1+q2+qh，q1、q2分別為主、從動(dòng)輪齒在嚙入沖擊點(diǎn)處的彎曲變形柔度，qh為輪齒在嚙入沖擊點(diǎn)處的接觸柔度。

由式(13)可求齒輪副最大沖擊力的表達(dá)式：

(14)

1.2 齒根應(yīng)力計(jì)算方法

目前齒輪齒根應(yīng)力主要應(yīng)用漸開線圓柱齒輪承載能力計(jì)算方法GB/T 3480計(jì)算，但是對(duì)于變壓力角滾刀加工的齒輪，此方法會(huì)出現(xiàn)較大偏差。因此，文中應(yīng)用修正后的齒根彎曲應(yīng)力計(jì)算方法進(jìn)行求解。

將齒輪加工滾齒運(yùn)動(dòng)等效為齒輪固定不動(dòng)、滾刀繞齒輪做純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，如圖4所示。

圖4 齒輪與滾刀嚙合示意

圖中，點(diǎn)A為滾刀與齒輪瞬時(shí)接觸點(diǎn)，點(diǎn)D為滾刀頂部圓角圓心，AE為齒根接觸點(diǎn)A處曲率半徑，點(diǎn)P為滾刀與齒輪速度瞬心，ψ為P與齒輪中心連線和齒形對(duì)稱線間夾角，L為滾刀節(jié)距。據(jù)滾齒原理可知弧長BP等于GP，因此根據(jù)圖中幾何關(guān)系得：

r×ψ=L/2+(hfp-ρfp)/tanα1

(15)

γ+ψ=α1

(16)

以齒輪圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A的坐標(biāo)可以表示為

(17)

Euler-Savary公式可以表示共軛曲線與瞬心線曲率半徑的關(guān)系，一般形式為

(18)

由于兩瞬心線內(nèi)切，則式(18)中曲率半徑取負(fù)值。將此式應(yīng)用到滾齒運(yùn)動(dòng)中，齒根各點(diǎn)的曲率半徑可表示為

(19)

令γ=30°，由式(15)(16)可求解α1，從而求得齒根危險(xiǎn)截面處曲率半徑。

圖5所示為輪齒載荷作用示意，αFen為輪齒嚙合外界點(diǎn)載荷作用角，γe為外界點(diǎn)處齒厚半角，圖中點(diǎn)C坐標(biāo)值可由式(3)求得。由圖中關(guān)系可知：

圖5 載荷作用于單對(duì)齒嚙合區(qū)外界點(diǎn)示意

SFn=2x

(20)

hFe=0.5dencosγe-0.5densinγetanαFen-y

(21)

式中：SFn為危險(xiǎn)截面齒厚；hFe為彎曲力臂；den為輪齒嚙合外界點(diǎn)直徑。

應(yīng)力修正系數(shù)Ys與齒形系數(shù)YF為

(22)

(23)

式中：L為齒根危險(xiǎn)截面齒厚與彎曲力臂比值；qs為齒根圓角參數(shù)；α為齒輪分度圓壓力角；m為模數(shù)。

至此，經(jīng)修正的齒輪齒根應(yīng)力σF可求得：

(24)

σF=σF0KAKvKFβKFα

(25)

式中：σF0為齒根應(yīng)力的基本值；Yβ為螺旋角系數(shù)；Fτ為齒輪分度圓上切向力；KFα為彎曲強(qiáng)度計(jì)算的齒間載荷分布系數(shù)；KA為使用系數(shù)；Kv為動(dòng)載系數(shù)；KFβ為彎曲強(qiáng)度計(jì)算的齒向載荷分布系數(shù)。

2 接觸力數(shù)值計(jì)算

齒輪嚙合在考慮摩擦、齒側(cè)間隙及齒輪各內(nèi)部激勵(lì)等因素共同作用下為強(qiáng)非線性系統(tǒng)，且各激勵(lì)作用下產(chǎn)生的振動(dòng)響應(yīng)又反作用于各激勵(lì)，造成復(fù)雜的多非線性耦合轉(zhuǎn)化反饋現(xiàn)象。因此，擅長進(jìn)行幾何非線性分析的有限元法能夠更準(zhǔn)確地對(duì)此類問題求解，文中用LS-DYNA的顯式直接積分法，進(jìn)行連續(xù)嚙合齒輪動(dòng)態(tài)接觸力求解。

首先建立齒輪嚙合分析精確三維模型，然后對(duì)其進(jìn)行有限元網(wǎng)格離散，得到漸開線直齒輪傳動(dòng)有限元?jiǎng)討B(tài)嚙合分析模型如圖6所示。齒輪外部使用Solid164三維實(shí)體單元?jiǎng)澐郑騍hell63單元具有旋轉(zhuǎn)自由度，方便工作載荷添加，故齒輪內(nèi)圈表面選用剛性殼體單元Shell63，實(shí)體單元與剛性殼體單元共用節(jié)點(diǎn)。為還原真實(shí)工況，對(duì)齒輪體內(nèi)孔的所有平動(dòng)自由度進(jìn)行了約束，對(duì)齒輪除繞軸外的所有轉(zhuǎn)動(dòng)自由度進(jìn)行了約束，在主動(dòng)齒輪內(nèi)圈添加驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速，從動(dòng)齒輪內(nèi)圈添加負(fù)載扭矩，在所有齒對(duì)間建立接觸關(guān)系。

圖6 動(dòng)態(tài)嚙合模型

文中分析對(duì)象為一對(duì)航空機(jī)匣齒輪，齒輪參數(shù)如表1所示。為模擬真實(shí)啟動(dòng)狀態(tài)，加載過渡時(shí)間為3對(duì)嚙合齒時(shí)間，求解時(shí)間設(shè)置為主動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)間，此時(shí)齒輪嚙合已達(dá)相對(duì)平穩(wěn)狀態(tài)。以轉(zhuǎn)矩150 Nm、轉(zhuǎn)速1 500 r/min為例，載荷歷程曲線如圖7—圖8所示。

表1 齒輪參數(shù)

圖7 加載轉(zhuǎn)速

圖8 加載轉(zhuǎn)矩

求解結(jié)束后提取從動(dòng)輪角速度如圖9所示，可知：2 ms加載結(jié)束后，從動(dòng)輪轉(zhuǎn)速在理論值269.28 rad/s附近波動(dòng)，驗(yàn)證了轉(zhuǎn)速的合理性。

圖9 從動(dòng)輪動(dòng)態(tài)角速度

提取齒輪穩(wěn)定運(yùn)行后齒對(duì)動(dòng)態(tài)接觸力如圖10所示，計(jì)算得數(shù)值計(jì)算接觸力平均值為3 031.287 N，與理論解析值2 956.05 N誤差為2.5%，在各激勵(lì)耦合作用下，數(shù)值解略高于理論值，但誤差在合理范圍內(nèi)，故該數(shù)值解析法合理性得以驗(yàn)證。

圖10 動(dòng)態(tài)接觸力

3 變工況下齒輪接觸穩(wěn)定性分析

為揭示不同工況下嚙合沖擊、齒根應(yīng)力、接觸穩(wěn)定性間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)與影響關(guān)系，將三者進(jìn)行對(duì)比分析，以便進(jìn)一步進(jìn)行最優(yōu)工況的選取及接觸穩(wěn)定性優(yōu)化方法研究。

針對(duì)文中研究對(duì)象即機(jī)匣齒輪設(shè)置5個(gè)不同轉(zhuǎn)速，分別為500、1 000、1 500、2 000、2 500 r/min，設(shè)置5個(gè)不同轉(zhuǎn)矩分別為50、100、150、200、250 N·m。

將第一節(jié)嚙合沖擊與齒根應(yīng)力計(jì)算方法編為MATLAB程序，分別對(duì)不同工況下的嚙合沖擊力與齒根應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算，得出如圖11所示的不同工況下兩指標(biāo)變化規(guī)律。

圖11 沖擊力與齒根應(yīng)力變化規(guī)律

圖11(a)中，從動(dòng)輪齒根應(yīng)力大于主動(dòng)輪，且主從動(dòng)輪的齒根應(yīng)力均隨轉(zhuǎn)矩增大而增大。由于轉(zhuǎn)矩增大導(dǎo)致嚙合力增大，因此齒根應(yīng)力也隨之增大，由圖11(a)可知應(yīng)力與轉(zhuǎn)矩幾乎成正比的關(guān)系。

由圖11(b)(c)知，嚙合沖擊力隨轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩的增大而增大，且隨轉(zhuǎn)矩增大，沖擊力的增大趨勢(shì)減緩，而沖擊力與轉(zhuǎn)速幾乎成正比關(guān)系增長。結(jié)合理論分析，當(dāng)輸入轉(zhuǎn)矩增加，齒輪輪齒接觸力增加，導(dǎo)致輪齒受載變形量變大，沖擊速度變大，嚙合沖擊力增大。而轉(zhuǎn)速增加會(huì)導(dǎo)致嚙合沖擊速度增大，因此嚙合沖擊力增加。

在研究工況對(duì)接觸穩(wěn)定性影響時(shí)，將轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)速分為2組進(jìn)行討論，第一組設(shè)置轉(zhuǎn)速為1 500 r/min，轉(zhuǎn)矩分別取50～250 N·m；第二組設(shè)置轉(zhuǎn)矩為150 N·m，轉(zhuǎn)速分別為500～2 500 r/min。第一組變轉(zhuǎn)矩?cái)?shù)值計(jì)算時(shí)變接觸力如圖12所示，通過接觸力變化幅值與標(biāo)準(zhǔn)差衡量接觸穩(wěn)定性。

圖12 變轉(zhuǎn)矩接觸穩(wěn)定性分析

首先對(duì)第一組變轉(zhuǎn)矩接觸力進(jìn)行分析，從圖12中可以看出：轉(zhuǎn)矩為50 N·m時(shí)接觸力波動(dòng)幅值很大，且一直有接觸為0的情況，表明在此工況下齒輪嚙合伴有脫齒現(xiàn)象產(chǎn)生，這是高速輕載工況所導(dǎo)致的，此工況下接觸力標(biāo)準(zhǔn)差為807 N，穩(wěn)定性較差；轉(zhuǎn)矩為100 N·m時(shí)未見脫齒現(xiàn)象，動(dòng)態(tài)接觸力變化幅值有所降低，穩(wěn)定性比50 N·m時(shí)有所改善；轉(zhuǎn)矩為150 N·m時(shí)接觸趨于相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)，標(biāo)準(zhǔn)差為495 N，穩(wěn)定性最好。轉(zhuǎn)矩為200 N·m與250 N·m時(shí)接觸力變化幅值逐漸增大，接觸力穩(wěn)定性逐漸變差，但并未出現(xiàn)脫齒現(xiàn)象。綜上分析可以得出接觸穩(wěn)定性隨轉(zhuǎn)矩變化規(guī)律：在高速輕載時(shí)，齒輪嚙合易出現(xiàn)脫齒現(xiàn)象，且接觸穩(wěn)定性較差，隨著轉(zhuǎn)矩增大齒輪接觸逐漸趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定后隨轉(zhuǎn)矩不斷增大，接觸穩(wěn)定性漸漸降低，但重載情況下，不會(huì)發(fā)生脫齒行為。

第二組變轉(zhuǎn)速數(shù)值計(jì)算時(shí)變接觸力如圖13所示。由圖可知：在正常負(fù)載下，所取轉(zhuǎn)速變化范圍內(nèi)未見脫齒現(xiàn)象，轉(zhuǎn)速為500 r/min時(shí)接觸穩(wěn)定性較差，在轉(zhuǎn)速為1 000 r/min時(shí)接觸穩(wěn)定性最好，其余轉(zhuǎn)速下穩(wěn)定性次之，但并未出現(xiàn)穩(wěn)定性極差的情況。綜上分析可得接觸穩(wěn)定性隨轉(zhuǎn)速變化規(guī)律：在正常負(fù)載情況下，合理范圍內(nèi)變轉(zhuǎn)速不會(huì)造成脫齒行為，對(duì)于負(fù)載來說存在某一轉(zhuǎn)速范圍使接觸穩(wěn)定性達(dá)到最佳，其余轉(zhuǎn)速接觸穩(wěn)定性稍次之，且轉(zhuǎn)速對(duì)接觸穩(wěn)定性影響小于轉(zhuǎn)矩。

圖13 變轉(zhuǎn)速接觸穩(wěn)定性分析

接觸力標(biāo)準(zhǔn)差與平均值隨工況變化規(guī)律如圖14所示，轉(zhuǎn)矩變化引起標(biāo)準(zhǔn)差的變化幅值大于轉(zhuǎn)速變化，且轉(zhuǎn)矩與接觸力平均值幾乎成正比例關(guān)系，而轉(zhuǎn)速對(duì)平均值影響不大，轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩都存在某一最佳范圍使標(biāo)準(zhǔn)差最小。

圖14 接觸力標(biāo)準(zhǔn)差與平均值變化規(guī)律

結(jié)合變工況下齒根應(yīng)力與嚙合沖擊變化規(guī)律對(duì)齒輪接觸穩(wěn)定性進(jìn)行分析，由圖11與圖14可知轉(zhuǎn)矩變化會(huì)引起接觸力平均值、齒根應(yīng)力與嚙合沖擊共同變化，說明轉(zhuǎn)矩變化導(dǎo)致多個(gè)狀態(tài)量共同變化，互相耦合演化，同時(shí)作用于接觸穩(wěn)定性，使接觸穩(wěn)定性受轉(zhuǎn)矩影響較大；而轉(zhuǎn)速變化對(duì)實(shí)際接觸力變化影響較小，僅使嚙合沖擊增大，影響接觸穩(wěn)定，故接觸穩(wěn)定性受轉(zhuǎn)速變化影響較小。

4 結(jié)論

文中以一對(duì)機(jī)匣齒輪為研究對(duì)象，應(yīng)用反轉(zhuǎn)法確定齒輪沖擊位置，計(jì)算了不同工況下的最大沖擊力，并通過修正后的齒根應(yīng)力算法計(jì)算了不同轉(zhuǎn)矩下輪齒危險(xiǎn)截面處的齒根應(yīng)力。用有限元法模擬真實(shí)工況，研究了不同工況對(duì)接觸穩(wěn)定性的影響，并結(jié)合不同工況下沖擊與齒根應(yīng)力對(duì)接觸穩(wěn)定性進(jìn)行分析，得出以下結(jié)論：

(1)主動(dòng)輪齒根應(yīng)力小于從動(dòng)輪，且主從動(dòng)輪的齒根應(yīng)力均隨轉(zhuǎn)矩增大而增大，齒根應(yīng)力隨轉(zhuǎn)速變化較小。嚙合沖擊力隨轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩的增大而增大，且隨著轉(zhuǎn)矩增大，沖擊力的增大趨勢(shì)減緩，而沖擊力與轉(zhuǎn)速幾乎成正比關(guān)系增長。

(2)在高速輕載時(shí)，齒輪嚙合易出現(xiàn)脫齒現(xiàn)象，且接觸穩(wěn)定性較差，隨著轉(zhuǎn)矩增大嚙合逐漸趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定后隨轉(zhuǎn)矩不斷增大，接觸穩(wěn)定性漸漸降低，但重載情況下，不會(huì)發(fā)生脫齒行為。

(3)在正常負(fù)載情況下，合理范圍內(nèi)變轉(zhuǎn)速不會(huì)造成脫齒行為，對(duì)于負(fù)載來說存在某一轉(zhuǎn)速范圍使接觸穩(wěn)定性達(dá)到最佳，其余轉(zhuǎn)速接觸穩(wěn)定性稍次之，且轉(zhuǎn)速對(duì)接觸穩(wěn)定性影響小于轉(zhuǎn)矩。

(4)轉(zhuǎn)矩變化會(huì)引起接觸力、齒根應(yīng)力與嚙合沖擊共同變化，接觸穩(wěn)定性受轉(zhuǎn)矩影響較大，而轉(zhuǎn)速變化僅導(dǎo)致嚙合沖擊力變化，對(duì)實(shí)際接觸力變化影響較小。在實(shí)際應(yīng)用中，結(jié)合以上分析規(guī)律，針對(duì)負(fù)載選取相應(yīng)的轉(zhuǎn)速能極大提高齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)接觸穩(wěn)定性。