高凱亮 周沁

［摘? 要］ 如何在常規(guī)教學中提升學生核心素養(yǎng)是當下熱議話題，學者們在實踐研究中發(fā)現(xiàn)，章統(tǒng)領課是提升學生核心素養(yǎng)的有效途徑之一. 文章對蘇科版“一元二次方程”章統(tǒng)領課的價值進行分析，幫助學生構建“一元二次方程”章學習框架時形成策略性知識，并對章統(tǒng)領課的作業(yè)設計與評價進行反思，助力提升學生核心素養(yǎng).

［關鍵詞］ 核心素養(yǎng)；章統(tǒng)領課；一元二次方程

基金項目：本文是2021年度貴州省六盤水市六枝特區(qū)基礎教育教學課題“雙減背景下基于數(shù)學核心素養(yǎng)的單元教學設計研究——以方程、不等式為例”的階段性研究成果，該課題由第一作者與第二作者聯(lián)盟合作研究.

作者簡介：高凱亮（1995—），本科學歷，中學二級教師，從事初中數(shù)學教學與研究工作，南京市浦口區(qū)杜育林名師工作室核心成員，南京市江北新區(qū)第三屆初中數(shù)學工作坊核心成員，曾獲南京市江北新區(qū)第三屆“教育科研成果創(chuàng)新獎”特等獎.

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，教師要選擇能引發(fā)學生思考的教學方式，重視章統(tǒng)領整體教學設計，改變過于注重以課時為單位的教學設計，體現(xiàn)數(shù)學知識之間的內在邏輯關系［1］. 章統(tǒng)領課是本章的起始課（種子課），它不同于新授課，課堂上教師不僅要讓學生關注本章“學什么”，更要讓他們關注“為什么學，怎么學”，要培養(yǎng)學生有“飲水思源”的意識，并在構建本章知識框架的過程中形成策略性知識，讓學生感受知識發(fā)展的連續(xù)性、必然性與合理性，從而潛移默化地提升學生的核心素養(yǎng).

基于學習價值的教學分析

筆者對蘇科版“一元二次方程”章統(tǒng)領課的學習價值進行分析，認為其價值主要體現(xiàn)在下面兩個方面.

1. 感悟知識的整體性與必然性，樹立整體觀念

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，要從整體上把握教學內容，注重教學內容的結構化［1］. 學生在七年級學習過一元一次方程、二元一次方程（組）、三元一次方程（組），甚至類推到n元一次方程（組）. 七年級是將一元一次方程在“元”上進行推廣，這便為九年級將一元一次方程在“次”上進行推廣的合理性埋下伏筆. 對于一元二次方程的學習，一方面，從數(shù)學內部結構來看，是對方程類型進行擴充，從增加方程中“元”的個數(shù)逐漸過渡到升高方程中“元”的次數(shù)，從中能感悟到知識的連續(xù)性與必然性；另一方面，從數(shù)學外部來看，方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型. 對于章統(tǒng)領課，從數(shù)學內部與外部兩方面厘清知識的內在聯(lián)系，有助于學生樹立認識事物的整體觀念［2］.

2. 運用類比思想，培養(yǎng)知識正遷移能力

方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型，教學時可先從幾個簡單的實際問題中找到相等關系列出方程，歸納這一類方程的共同屬性，再與之前學習的方程類型進行對比，抽象出一元二次方程的概念. 接下來提出“大”問題——我們該怎么研究一元二次方程呢？類比思想是研究一個“新”問題的重要途徑之一，借助之前學習一元一次方程的經(jīng)驗，可類比構建一元二次方程的研究思路，形成研究方程的一般路徑：定義—解法—應用. 在“大”問題的驅動下，教師引發(fā)學生思考，并通過追問不斷聚焦問題，讓學生在思考與活動中積累經(jīng)驗，培養(yǎng)知識正遷移能力.

章統(tǒng)領課實踐過程

下面以“一元二次方程”的章統(tǒng)領課為例.

1. 目標制定與目標解析

（1）目標

①用方程描述實際問題中的相等關系，經(jīng)歷由實際問題抽象出一元二次方程模型的過程，感受方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型.

②類比一元一次方程的學習路徑，構建一元二次方程整章知識的研究路徑，感悟類比數(shù)學思想.

③通過觀察式結構特征，嘗試解不同形式的一元二次方程，感悟轉化數(shù)學思想，初步積累解一元二次方程的經(jīng)驗.

（2）目標解析

目標①達成的標志是：能夠分析實際問題中的數(shù)量關系及其變化規(guī)律，能用方程刻畫實際問題中的相等關系.

目標②達成的標志是：回顧一元一次方程的學習路徑，能夠自主構建出研究一元二次方程的大致思路.

目標③達成的標志是：能夠解形如（x+h）2=k（k≥0，h，k均為常數(shù)）與（x+a）（x+b）=0（a，b均為常數(shù)）的方程；能將二次項系數(shù)為1的一元二次方程用配方法化為（x+h）2=k（h，k均為常數(shù)）的形式并求解，形成解一元二次方程的一般性策略.

2. 教學過程

問題1用方程描述下列問題中的數(shù)量關系.

（1）正方形桌面的面積是2 m2. 設該正方形桌面的邊長是x m.

（2）如圖1所示，矩形花園一面靠墻，另外三面所用柵欄的總長度是19 m，花園的總面積是24 m2. 設花園與墻垂直的一條邊的長是x m.

（3）如圖2所示，長5 m的梯子斜靠在墻上，梯子底端與墻的距離比梯子頂端與地面的距離多1 m. 設梯子底端與墻的距離是x m.

追問1：觀察列出的三個方程，它們與我們之前學習的方程一樣嗎？如果不一樣，最大的區(qū)別在哪里？

追問2：請化簡三個方程，化簡后按照未知數(shù)x的降冪排列.

追問3：你能給這種類型的方程起一個名字嗎？根據(jù)方程的特征并嘗試下定義，你能用一個通式表達這種類型的方程嗎？請寫一寫.

追問4：剛才我們討論了一元二次方程的定義，接下來我們會研究什么呢？

生（齊）：解法、應用.

追問5：你們是怎么想到的？你們是從哪里獲得的經(jīng)驗？

生（齊）：從學習一元一次方程中獲得的經(jīng)驗.

設計說明“問題1”中的三個實際問題，能讓學生再一次感受到方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型. 學生可以自主、快速地列出三個方程：x2=2，x（19-2x）=24，x2+（x-1）2=25. “問題1”之所以沒有在列方程上給學生設置障礙，是為了讓學生在章起始課不畏懼本章的學習，從而調動學生的學習積極性，讓學生收獲成功的喜悅，激發(fā)學生的主觀能動性.

這一形成一元二次方程概念的環(huán)節(jié)與筆者以往的教學略有不同——本次多了“追問1”的環(huán)節(jié). 列出方程后，筆者讓學生先觀察三個方程，從式結構上直觀感受三類方程的特征，培養(yǎng)學生解決數(shù)與代數(shù)問題時需要先觀察式結構特征的意識，并非看到式子就開始化簡，該意識的培養(yǎng)會對學生數(shù)與代數(shù)領域的學習產(chǎn)生重要的影響. “追問2”是為了讓學生歸納出一元二次方程的共同特征（一個未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)是2）. “追問3”讓學生用一個通式表達一元二次方程，大部分學生第一次寫不對，此時教師不必心急，不要直接投影出正確答案，因為這是本環(huán)節(jié)的難點. 教師可以先投影出學生所寫的最特殊的通式，并與學生共同探討. 逐步對通式“豐滿”的過程能加深學生對一元二次方程式結構的認識. 例如，筆者執(zhí)教時先投影的是x2=a，再和學生一起逐步“豐滿”一元二次方程的通式（如圖3所示）. “追問4”與“追問5”的目的是引導學生類比遷移一元一次方程的學習路徑，繼續(xù)對一元二次方程展開研究，固化研究方程的“套路”.

問題2 下面我們談一元二次方程的解法. 大家觀察化簡后的三個一元二次方程（x2-2=0，-2x2+19x-24=0，x2-x-12=0），哪一個方程最“好”解？

生（齊）：x2-2=0.

追問6：嘗試解解看.

追問7：類似地，你還能寫出一些“好”解的一元二次方程嗎？

投影（學生素材1）：（x-1）2=4，這個方程“好”解嗎？

生1：根據(jù)平方根的定義可得x-1=2或x-1=-2，解得x=3或x=-1.

追問8：解方程時，如何看待（x-1）這個式子？

生2：把這個式子看成一個整體.

追問9：方程從（x-1）2=4到x-1=2或x-1=-2，這中間發(fā)生了什么變化？

生3：未知數(shù)的次數(shù)降低了，一個一元二次方程變成了兩個一元一次方程.

小結：通過開平方可將一個一元二次方程轉化成兩個一元一次方程，從而求出原方程的解；未知數(shù)的次數(shù)從二次變成了一次，這個過程叫降次（如圖4所示）.

投影（學生素材2）：2（x-1）2=4，這個方程你們會解嗎？

生4：等式兩邊同時除以2，原方程便化為（x-1）2=2，解法和之前的一樣.

追問10：那把方程改寫成2（x-1）2=-1，這個方程怎么解？

生5：無解（教師規(guī)范成了“無實根”），因為負數(shù)沒有平方根.

投影（學生素材3）：（x-1）2=0，這個方程你們會解嗎？

生6：x-1=0，解得x=1.

追問11：大家對這個方程的解有不同的看法嗎？（教室鴉雀無聲）

追問12：我們回顧一下剛才解（x-1）2=4與2（x-1）2=4這兩個方程的過程，通過直接開平方后一個一元二次方程變成了兩個一元一次方程，但方程（x-1）2=0開平方后怎么就只有一個一元一次方程了呢？

生7：可以把方程（x-1）2=0看成（x-1）（x-1）=0. 兩個因式的積為0，那么這兩個因式至少有一個為0，可得x-1=0或x-1=0，解得x=1或x=1，這其實還是轉化成了兩個一元一次方程，只是這兩個一元一次方程是一樣的.

師：為了和之前的結構保持一致，因此，這個方程的解我們寫成x1=x2=1.

追問13：類似地，你們還能寫出一些“好”解的方程嗎？

投影（學生素材4）：（x+2）（x+3）=0，這個方程怎么解？

生8：（x+2）與（x+3）的積為0，說明x+2=0或x+3=0，解得x=-2或x=-3.

追問14：請大家觀察這些“好”解的方程，你能用通式表達這些“好”解的方程嗎？（如圖5所示）

設計說明本環(huán)節(jié)從觀察“好”解的方程過渡到寫“好”解的方程，并歸納出“好”解的一元二次方程的結構，為后續(xù)解一般結構的一元二次方程埋下伏筆，能讓學生感悟到從特殊到一般研究問題的方法；在探究解法的過程中，學生能感悟到一元二次方程根的個數(shù)與未知數(shù)次數(shù)之間的關系.

問題3嘗試解方程x2-8x+7=0.

追問15：這個方程和之前所解的一元二次方程有何不同？能否將其化為“好”解的一元二次方程？

設計說明對于“問題3”，筆者在執(zhí)教時先“放手”讓學生嘗試完成，當學生遇到困難時，小組討論，教師則分步驟適時介入引導，讓大部分學生能解出此方程，最終師生共同總結出可以通過配方法或因式分解法將一般的一元二次方程轉化為“好”解的一元二次方程（如圖6所示），從而感受化歸數(shù)學思想解決問題的魅力.

問題4學完本節(jié)課，本章的知識結構你們清楚了嗎？請談談你的收獲.

設計說明明確“一元二次方程”這一章的知識框架，明確本章的學習路徑.

目標檢測設計

教師可設計如下試題用于檢測目標是否達成：

1. 已知方程（m-1）x2-（2m-1）x+m=0.

（1）當m=______時，該方程是關于x的一元一次方程；

（2）當m_______ 時，該方程是關于x的一元二次方程.

設計說明檢測學生對一元二次方程概念的掌握情況.

2. 解方程.

（1）2x2-8=0；

（2）3（x-1）2=6；

（3）x2-x-12=0；

（4）（2x-1）2=（3-x）2.

設計說明檢測學生對解特殊結構的一元二次方程的掌握情況，培養(yǎng)學生用化歸思想解決問題的意識.

3. （選做題）我們學習了一元一次方程、二元一次方程（組）、三元一次方程（組），可看成一元一次方程在“元”上進行推廣；類似地，學完一元二次方程后還可能研究哪些類型的方程呢？請類比一元二次方程的研究路徑寫出該類型方程的研究路徑，并嘗試對該類型方程進行求解.

設計說明本題是考查學生能否將一元二次方程的研究路徑類比到其他類型方程的學習中. 本題為選做題，目的是給“吃不飽”的學生留有思考空間.

總結與反思

1. 滲透轉化思想，強化代數(shù)推理能力

轉化不僅是一種數(shù)學思想，還是一種最基本的解決問題的策略. 運用轉化思想可將生疏的問題變熟悉，將復雜的問題變簡單，將抽象的問題變形象. 本節(jié)課在教學一元二次方程的解法時，從解“好”解的一元二次方程過渡到解一般的一元二次方程，滲透了從特殊到一般研究問題的方法. 解一般結構的一元二次方程時，需要將其轉化為“好”解的一元二次方程，這就是運用轉化思想解決問題形成的策略性知識. 課堂上，將方程x2+bx+c=0轉化為（x+h）2=k的過程中，教師需要放慢腳步，引導學生思考如何向“好”解的方程變形，有意識地讓學生關注式結構特征，變形中做到“步步有據(jù)”，強化代數(shù)推理能力.

2. 高位建構知識框架，把握好章統(tǒng)領課的“度”

上好章統(tǒng)領課的前提是制定精準的教學目標. 章統(tǒng)領課的目標需要教師自行制定，目前教參上沒有章統(tǒng)領課的教學設計與教學目標，這便需要教師研究教材，揣摩編者的意圖，站在高位去建構知識之間的內在邏輯聯(lián)系，教師還需要思考如何將這種高位的認識設計成學生易于接受的課堂活動. 一章的知識點很多，章統(tǒng)領課若面面俱到，就會變成一節(jié)“高濃度”知識點介紹課，不利于學生的發(fā)展. 因此，教學中如何把握好章統(tǒng)領課的“度”尤為重要. 筆者在本節(jié)課中讓學生先感受到一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型，再找到該類型方程的共同屬性，最后形成一元二次方程的概念. 接下來以“好”解的一元二次方程為載體構建解法，學生有平方根的學習經(jīng)驗，以此為突破口建立解法，最終以化歸思想為落腳點，這正是解不同類型方程的“精髓”. 筆者實踐后發(fā)現(xiàn)，學生易于接受，且效果較好. 一節(jié)課的時間有限，筆者沒有將二次項系數(shù)不為1的一元二次方程納入本節(jié)課，況且學生學習知識具有連續(xù)性與階段性，如果學生將解二次項系數(shù)為1的一元二次方程的過程“悟”透徹，那他們解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程自然是“水到渠成”.

3. 精準設計章統(tǒng)領課作業(yè)，助力提升核心素養(yǎng)

精準設計作業(yè)是檢測課堂教學效果的前提，本節(jié)課的作業(yè)設計了三道題，第一道題用于檢測學生對一元二次方程概念的理解. 第二道題用于檢測學生解不同形式的一元二次方程的掌握情況，特別地，解（2x-1）2=（3-x）2時有三種思路，第一種是通過去括號、移項、合并同類項之后發(fā)現(xiàn)這是一個二次項系數(shù)不為1的一元二次方程，教師批改作業(yè)時要特別關注學生會不會將二次項系數(shù)轉化為1去求解，是否有轉化的意識，這便在作業(yè)中留下本節(jié)課的第一條“生長鏈”；第二種是將方程右邊（3-x）2移項到方程的左邊后因式分解成（x+a）（x+b）=0的結構去求解；第三種是基于學生之前的學習經(jīng)驗——若a2=b2，則a=b或a=-b. 講評作業(yè)時，教師要讓學生意識到第一種解法是“通法”，后面兩種解法是由于這個方程具有特殊的式結構. 由此總結出解方程的第一步是觀察而非化簡. 第三道題是選做題，目的是讓學有余力的學生自主構建一元三次方程（或其他類型方程）的研究路徑，并嘗試求解，培養(yǎng)學生的自主學習能力，這就在作業(yè)中又一次留下本節(jié)課的“生長鏈”.

結束語

章統(tǒng)領課中“統(tǒng)”的是知識的整體性，在構建知識框架過程中感受知識發(fā)展的必然性；“領”的是數(shù)學思想及策略；在“統(tǒng)”和“領”的驅動下提升能力，促進核心素養(yǎng)的養(yǎng)成. 顯然，一次章統(tǒng)領課是遠遠不夠的，學生在學習每一章之前都經(jīng)歷一次系統(tǒng)構建本章知識框架的過程，能逐步增強運用數(shù)學思維解決問題的意識，能逐步形成正確的價值觀、必備品格與關鍵能力，從而發(fā)揮數(shù)學學科的育人價值.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］楊春霞. 基于整體性架構教學，凸顯數(shù)學學科核心素養(yǎng)［J］. 中學數(shù)學，2020（10）：24-26.