吳奕銘，邱思逸，向陽，劉洪

上海交通大學(xué) 航空航天學(xué)院，上海 200240

翼尖渦是由機(jī)翼上下表面壓力差產(chǎn)生的一種大尺度渦結(jié)構(gòu)，在飛機(jī)起降階段，這種典型結(jié)構(gòu)會(huì)威脅后續(xù)飛機(jī)的飛行安全，降低機(jī)場(chǎng)的起降頻率［1］。為了高效地衰減翼尖渦的強(qiáng)度和持續(xù)時(shí)間，翼尖渦的主動(dòng)控制方法逐漸受到重視。然而，對(duì)翼尖渦不穩(wěn)定性認(rèn)知的不足是導(dǎo)致翼尖渦主動(dòng)控制技術(shù)發(fā)展困難的原因之一［2］。在過去翼尖渦不穩(wěn)定性主動(dòng)控制研究中，最有價(jià)值的研究之一是Edstrand 等［3］在2018 年利用穩(wěn)定性分析方法指導(dǎo)翼尖渦主動(dòng)衰減的研究。通過對(duì)NACA0012 機(jī)翼產(chǎn)生的尾渦流場(chǎng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，發(fā)現(xiàn)增長速率最小的第5 階尾跡模態(tài)因?yàn)槠洫?dú)特的結(jié)構(gòu)提供了激發(fā)翼尖渦不穩(wěn)定性的途徑，基于第5 階模態(tài)的控制裝置的性能優(yōu)于基于主擾動(dòng)模態(tài)的裝置。但是現(xiàn)象背后的機(jī)制尚未表明，需要研究翼尖渦的模態(tài)演化規(guī)律，揭示次級(jí)模態(tài)隨著流向發(fā)展的規(guī)律以及對(duì)翼尖渦不穩(wěn)定性的影響。

在翼尖渦的不穩(wěn)定特征方面，對(duì)于更貼近真實(shí)飛機(jī)飛行的反向翼尖渦對(duì)，其不穩(wěn)定性特征集中在翼尖渦的少量湍流結(jié)構(gòu)促進(jìn)渦對(duì)的正弦形變和自誘導(dǎo)作用［4］，根據(jù)其周期性特征可分為長波不穩(wěn)定性［5］和短波不穩(wěn)定性［6］。而對(duì)于一個(gè)孤立翼尖渦，其不穩(wěn)定性特征主要表現(xiàn)為渦在流向截面內(nèi)的低頻振蕩，即翼尖渦搖擺運(yùn)動(dòng)（Vortex Wandering）。這種現(xiàn)象最初由Baker 等［7］在水槽實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，這種搖擺運(yùn)動(dòng)使翼尖渦物理參數(shù)的測(cè)量與求解產(chǎn)生誤差，同時(shí)，如何消除這種搖擺運(yùn)動(dòng)帶來的誤差和其內(nèi)在的物理機(jī)制一直是研究的重點(diǎn)。Devenport 等［8］首次通過反卷積修正法對(duì)翼尖渦搖擺現(xiàn)象予以修正，同時(shí)在施特魯哈爾數(shù)St較小的條件下，觀察到翼尖渦搖擺的各向異性現(xiàn)象。Deem 等［9］在此基礎(chǔ)上證明翼尖渦的瞬時(shí)渦核位置分布滿足高斯分布的規(guī)律。Bailey和Tavoularis［10］通過熱線測(cè)量得到雷諾數(shù)105的翼尖渦搖擺的主頻約在10 Hz 量級(jí)；薛棟等［11］使用單點(diǎn)譜分析和模態(tài)分解技術(shù)得到在雷諾數(shù)103量級(jí)下，翼尖渦的搖擺運(yùn)動(dòng)存在主導(dǎo)頻率，主頻率約為1 Hz。在此基礎(chǔ)上，Edstrand 等［12］通過線性穩(wěn)定性分析（Linear Stability Analysis，LSA）得到翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)并和翼尖渦實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的本征正交分解（POD）模態(tài)對(duì)比，證明翼尖渦搖擺來源于其內(nèi)在不穩(wěn)定性特征。Cheng 等［13］通過對(duì)孤立翼尖渦的體視粒子圖像測(cè)速技術(shù)（SPIV）和線性穩(wěn)定性分析進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)孤立翼尖渦搖擺幅值與翼尖渦的不穩(wěn)定性放大率存在某種量化關(guān)系。

長期以來，翼尖渦不穩(wěn)定模態(tài)的研究主要聚焦于最不穩(wěn)定模態(tài)的結(jié)構(gòu)特征以及最不穩(wěn)定模態(tài)促進(jìn)擾動(dòng)增長的內(nèi)在機(jī)制。孤立翼尖渦的最不穩(wěn)定模態(tài)主要分為黏性和非黏性2 種情況，對(duì)無黏性的研究可以追溯到Lessen 等［14］在發(fā)現(xiàn)與渦旋旋轉(zhuǎn)相反的方位波數(shù)為負(fù)的螺旋模態(tài)在無黏極限下是不穩(wěn)定的，并且占主導(dǎo)地位。對(duì)于黏性情形，孤立渦則會(huì)表現(xiàn)出多種不穩(wěn)定模態(tài)，在臨界雷諾數(shù)（Critical Reynolds Number）較小的情況下，翼尖渦的不穩(wěn)定性受周向波數(shù)m最低的螺旋模態(tài)影響較大（m=±1），而周向波數(shù)較高的模態(tài)（m>1）則在雷諾數(shù)較高的情況下占據(jù)主導(dǎo)地位［15］。Leibovich 和Stewartson［16］進(jìn)行了柱狀渦旋不穩(wěn)定性的漸近分析，指出擾動(dòng)在達(dá)到最大增長率的臨界半徑處的擾動(dòng)峰值，與擾動(dòng)的模態(tài)結(jié)構(gòu)有關(guān)。Gallaire 和Chomaz［17］揭示了旋轉(zhuǎn)射流雙螺旋模態(tài)的模態(tài)選擇機(jī)制，發(fā)現(xiàn)螺旋模態(tài)的選擇是由離心力決定的，而軸向和方位剪切模態(tài)也是促進(jìn)螺旋模式選擇的主要因素。Fabre等［18］描述Lamb-Oseen 渦的Kelvin 模態(tài)和奇異本征模態(tài)，并從物理角度解釋了這些模式是如何產(chǎn)生渦旋的。然而，對(duì)于軸向Batchelor 渦擾動(dòng)增長的物理機(jī)制仍然是模糊的，Qiu 等［19］認(rèn)為Batchelor 渦的擾動(dòng)增長是翼尖渦最不穩(wěn)定擾動(dòng)模態(tài)和特征點(diǎn)，特征層波動(dòng)相互作用的結(jié)果，給出關(guān)于擾動(dòng)增長的物理機(jī)制的猜想。

翼尖渦的模態(tài)演化特征方面，文獻(xiàn)［20-22］對(duì)孤立渦和同轉(zhuǎn)翼尖渦對(duì)的最優(yōu)擾動(dòng)模態(tài)的結(jié)構(gòu)特征和數(shù)值特征給出了詳細(xì)的描述。隨著雷諾數(shù)和攻角的變化，翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)往往也會(huì)呈現(xiàn)出不同的結(jié)構(gòu)，這種變化尤其體現(xiàn)在周向波數(shù)的變化，隨著雷諾數(shù)的增加，翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)會(huì)相應(yīng)出現(xiàn)周向波數(shù)較大的結(jié)構(gòu)［23］。同時(shí)，孤立翼尖渦的渦搖擺特征與主擾動(dòng)模態(tài)關(guān)系較大，其主模態(tài)會(huì)隨著時(shí)間進(jìn)行周期性旋轉(zhuǎn)，與翼尖渦自身的搖擺規(guī)律吻合［24］。Fabre 等［18］給出了m=?1～?5 的模態(tài)的不穩(wěn)定性放大率隨著雷諾數(shù)增加的變化規(guī)律，指出在高雷諾數(shù)的工況下，周向波數(shù)m較高的模態(tài)會(huì)逐漸占據(jù)主導(dǎo)地位，而周向波數(shù)較低的模態(tài)則會(huì)逐漸消散。但關(guān)于翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)隨著流向發(fā)展如何演化，其演化規(guī)律隨著來流雷諾數(shù)的變化是否具有統(tǒng)一性，仍然是未知的。同時(shí)，對(duì)次級(jí)模態(tài)演化規(guī)律的認(rèn)知仍然匱乏，而次級(jí)模態(tài)對(duì)翼尖渦的主動(dòng)控制也起到指導(dǎo)作用［18］。

綜上所述，目前對(duì)孤立翼尖渦這種大型客機(jī)的翼尖渦典型結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性現(xiàn)象和特征已經(jīng)有了初步認(rèn)識(shí)，但對(duì)翼尖渦擾動(dòng)模態(tài)演化規(guī)律仍然是未知的，通過對(duì)翼尖渦擾動(dòng)模態(tài)演化規(guī)律展開研究，可以為翼尖渦主動(dòng)控制提供物理的理論指導(dǎo)［25］。同時(shí)，有關(guān)翼尖渦的次級(jí)模態(tài)隨流向的演化以及對(duì)翼尖渦本身的影響的認(rèn)知卻一直停滯不前，這阻礙了基于不穩(wěn)定性的大型翼尖渦快速失穩(wěn)衰減控制原理與方法的建立，需要進(jìn)一步研究和分析。因此，本文通過SPIV 測(cè)量不同工況下的翼尖渦流場(chǎng)，結(jié)合線性穩(wěn)定性探究翼尖渦主擾動(dòng)模態(tài)和次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的結(jié)構(gòu)特征，分析模態(tài)對(duì)翼尖渦流場(chǎng)的作用；進(jìn)一步地，研究翼尖渦主擾動(dòng)模態(tài)和次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)隨流向的演化規(guī)律和能量增長。在此基礎(chǔ)上，提出次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)對(duì)翼尖渦主動(dòng)控制的指導(dǎo)思路，以期為翼尖渦的主動(dòng)控制策略提供參考。

1 實(shí)驗(yàn)搭建與數(shù)據(jù)處理

1.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

本文實(shí)驗(yàn)均在低速回流式風(fēng)洞中進(jìn)行。實(shí)驗(yàn)段尺寸為1.2 m×0.9 m，長度為7.0 m。通過調(diào)節(jié)變頻器頻率可實(shí)現(xiàn)風(fēng)速的實(shí)時(shí)調(diào)整，風(fēng)速范圍可達(dá)10～70 m/s。收縮段前安裝蜂窩網(wǎng)以降低實(shí)驗(yàn)段的湍流度，實(shí)驗(yàn)中的湍流度小于1%。機(jī)翼及小翼的翼型均采用M6 翼型。等直翼弦長c=0.203 m，展弦比AR=3。機(jī)翼模型均使用鋁合金材料，經(jīng)銑床加工并進(jìn)行表面后處理，以保證曲面準(zhǔn)度及表面光滑度。

為了實(shí)驗(yàn)比較，在攻角為6°、8°、10°的條件上，測(cè)試了自由來流速度U∞=15 m/s 的翼尖渦流場(chǎng)，基于弦長（c=0.203 m）的雷諾數(shù)為Rec=0.82×105，尾跡區(qū)內(nèi)翼尖渦流場(chǎng)的測(cè)量范圍x/c=2～16，每隔1 倍弦長c進(jìn)行一次采樣，其中x為流向坐標(biāo)，如圖1 所示。

圖1 SPIV 實(shí)驗(yàn)設(shè)置Fig.1 Setup of SPIV experiment

1.2 粒子圖像測(cè)速（PIV）系統(tǒng)設(shè)置

本研究中的PIV（Particle Image Velocim‐etry）系統(tǒng)包括風(fēng)洞系統(tǒng)、激光系統(tǒng)、圖像采集系統(tǒng)、同步系統(tǒng)、圖像后處理系統(tǒng)，如圖2 所示。PIV 示蹤粒子需要在保證對(duì)激光散射性的基礎(chǔ)上，直徑盡可能小以滿足跟隨性，且其密度實(shí)驗(yàn)流體保持一致。實(shí)驗(yàn)中，通過大小為1～5 μm 的乙二醇小油滴對(duì)流動(dòng)進(jìn)行示蹤。乙二醇小油滴由Fesco 1700 霧化發(fā)煙器產(chǎn)生，在實(shí)驗(yàn)段上游將粒子油滴通入風(fēng)洞，并在風(fēng)洞中循環(huán)一定時(shí)間使粒子與空氣混合均勻。激光系統(tǒng)包括一臺(tái)鐳寶雙脈沖Nd：YAG 激光發(fā)生器和導(dǎo)光臂，雙脈沖能量為2×380 MJ，雙脈沖頻率為1 Hz，激光波長為532 nm，2 次脈沖間隔為10 μs，片光源的厚度為2 mm 并垂直于來流方向。圖像采集系統(tǒng)包括2 臺(tái)高速高分辨率CCD（Charge coupled Device）相機(jī)對(duì)激光片光源照射的流場(chǎng)截面進(jìn)行拍攝，分辨率為2 048 pixel×2 048 pixel，并通過532 nm波長帶通濾光鏡來提高圖像信噪比。同步系統(tǒng)將激光脈沖與相機(jī)快門進(jìn)行同步，由1 臺(tái)數(shù)字延遲信號(hào)發(fā)生器實(shí)現(xiàn)。圖像處理系統(tǒng)則使用商業(yè)PIV 圖像處理軟件INSIGHT 4G 對(duì)PIV 圖像進(jìn)行互相關(guān)處理并計(jì)算速度矢量場(chǎng)。初始咨詢窗口為72 pixel×72 pixel，有效重疊率為25%。第2 個(gè)參考窗口為36 pixel×36 pixel，有效重疊率為50%，未求解的速度向量通過9 pixel×9 pixel的填充算法從周圍向量插值求得。這樣，在整個(gè)測(cè)區(qū)內(nèi)測(cè)速的良好率在85%以上，測(cè)速誤差小于1%，滿足后續(xù)分析的要求［26］。對(duì)每個(gè)截面采集200 s 流場(chǎng)數(shù)據(jù)，采樣頻率為1 Hz，并通過TSI INSIGHT 4G 軟件對(duì)圖像進(jìn)行配對(duì)和解算，其解調(diào)范圍為24 pixel×24 pixel，得到翼尖渦流場(chǎng)在x、y、z這3 個(gè)方向的速度，并計(jì)算得到渦量場(chǎng)。

圖2 PIV 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)組成Fig.2 System composition of PIV experiment

1.3 線性穩(wěn)定性分析方法

線性穩(wěn)定性分析是一種通過求解基于Navier-Stokes（N-S）方程的線性化小擾動(dòng)方程，得到某一基準(zhǔn)流動(dòng)（Base Flow）的各個(gè)擾動(dòng)模態(tài)和其對(duì)應(yīng)的不穩(wěn)定性放大率、擾動(dòng)頻率和波數(shù)的一種方法，從而定量化判斷該流動(dòng)的穩(wěn)定性，以及該流場(chǎng)中小擾動(dòng)的速度分布、頻率特征及其隨時(shí)間/空間的發(fā)展［24］。對(duì)于具體的流動(dòng)，可以對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行不同的假設(shè)，從而對(duì)問題進(jìn)行適當(dāng)簡化，在減小計(jì)算量的同時(shí)也可以得到準(zhǔn)確的結(jié)果。

對(duì)于一個(gè)給定的基準(zhǔn)流動(dòng)，考察其小擾動(dòng)的模態(tài)行為，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的線性穩(wěn)定性分析公式，狀態(tài)變量可以分解為定?；骱头嵌ǔ_動(dòng)

在翼型后部的中間區(qū)域，黏性擴(kuò)散相對(duì)于流向而言較為緩慢，產(chǎn)生準(zhǔn)平行流動(dòng)，流向梯度遠(yuǎn)大于橫向梯度。這種關(guān)于基流流向變化的準(zhǔn)平行假設(shè)導(dǎo)致了沿流向具有常系數(shù)的擾動(dòng)方程，并允許波狀擾動(dòng)解的形式［27］，脈動(dòng)量在柱坐標(biāo)系可寫為

將式（4）代入線性化的擾動(dòng)方程，產(chǎn)生一個(gè)廣義特征值問題。特征值問題的具體形式取決于穩(wěn)定性分析的類型。對(duì)于時(shí)間穩(wěn)定性分析，假設(shè)擾動(dòng)隨時(shí)間增長/衰減，并考慮復(fù)頻率ω=ωr+ωi，產(chǎn)生的特征值問題為

式中：A、B為穩(wěn)定性矩陣。

通過由時(shí)間不穩(wěn)定性分析得到的特征值譜(ωr，ωi)，其中，ωr為擾動(dòng)模態(tài)的擾動(dòng)頻率；ωi為擾動(dòng)模態(tài)的不穩(wěn)定性增長率。通過特征值譜可以分析基準(zhǔn)流動(dòng)的不穩(wěn)定性、不穩(wěn)定性增長率及不同擾動(dòng)模態(tài)對(duì)應(yīng)的頻率和波數(shù)等特征，脈動(dòng)壓力邊界條件則由N-S 方程推導(dǎo)得到的相容性方程確定。考慮到數(shù)值精度和收斂速度的要求，方程的離散采用了切比雪夫譜配置點(diǎn)法。關(guān)于相應(yīng)邊界條件的信息，本文參考Cheng 等［23］對(duì)孤立翼尖渦的局部LSA 所做的工作。穩(wěn)定性分析中基準(zhǔn)流動(dòng)的速度場(chǎng)均通過自由來流速度U∞無量綱化。

2 翼尖渦特征值譜及模態(tài)特征

在進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析時(shí)需要首先獲取準(zhǔn)確的基準(zhǔn)流動(dòng)，要求基準(zhǔn)流動(dòng)滿足N-S 方程并具有一階小量精度。為此本文采用將實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果向方程解析解擬合的方法，對(duì)翼尖渦的切向與軸向速度型按照Q 渦模型進(jìn)行最小二乘擬合，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果擬合得到的Q 渦作為擾動(dòng)方程中的基準(zhǔn)流動(dòng)［27］。以x/c=12、機(jī)翼攻角AOA=8°、Rec=0.84×105條件下的孤立渦為例，對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的速度型作Batchelor 渦擬合，以此為基準(zhǔn)流場(chǎng)進(jìn)行時(shí)間穩(wěn)定性分析得到的翼尖渦特征值譜如圖3 所示。翼尖渦的時(shí)間穩(wěn)定性特征值譜由3 種在復(fù)平面(ωr，ωi) 上不同位置的特征值組成。Mack［28］在1976 年針對(duì)邊界層的時(shí)間模態(tài)OS 方程（Orr-Sommerfeld Equation）的特征值在復(fù)平面上分布位置的不同，將特征值分為A、S、P 族，并指出A、S、P 族分別對(duì)應(yīng)變化劇烈的壁面來流模態(tài)、衰減模態(tài)和中心流動(dòng)模態(tài)。觀察到孤立翼尖渦的3 種不同特征值所對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)模態(tài)與Mack 分類出的3 種不同特征值所對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)模態(tài)具有相似的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，因此此處將翼尖渦的次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)也相應(yīng)地分為A、S、P 族［29］。

圖3 x/c=12、AOA=8°、U∞=15 m/s 條件下孤立翼尖渦的特征值譜Fig.3 Eigenvalue spectrum of wingtip vortex at x/c=12，AOA=8°，U∞=15 m/s

在翼尖渦的穩(wěn)定性分析中，將不穩(wěn)定性放大率最大的模態(tài)稱為主擾動(dòng)模態(tài)，它被包含在P 族擾動(dòng)模態(tài)中，具體位置如圖3（b）所示。而在翼尖渦的不穩(wěn)定擾動(dòng)模態(tài)中，除主擾動(dòng)模態(tài)外，還存在不穩(wěn)定性放大率較小的模態(tài)，稱為次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)。將P 族所在的特征值譜局部放大，此處的時(shí)間不穩(wěn)定性特征值譜包含離散、連續(xù)、分叉3 個(gè)分支，如圖3（b）所示。離散分支即為翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)。由于流場(chǎng)的擾動(dòng)是不同頻率和波數(shù)的擾動(dòng)模態(tài)的疊加，研究次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的特征及其演化規(guī)律是有積極意義的。與主擾動(dòng)模態(tài)相比，次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)具有完全不同的擾動(dòng)結(jié)構(gòu)特征，研究其對(duì)翼尖渦不穩(wěn)定性特征的影響有助于對(duì)翼尖渦失穩(wěn)衰減的深入認(rèn)知。

2.1 主擾動(dòng)模態(tài)特征

主擾動(dòng)模態(tài)對(duì)應(yīng)圖3 所示的特征值譜中虛部最接近正半平面的孤立點(diǎn)，其流向波數(shù)α=0.18，不穩(wěn)定性放大率為ωi=?3.74×10?5。主擾動(dòng)模態(tài)的物理含義為：對(duì)于α=0.18 的擾動(dòng)，在翼尖渦經(jīng)過長時(shí)間演化后，其他特征值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)模態(tài)均隨時(shí)間衰減殆盡，此時(shí)只有ωi=?3.74×10?5所對(duì)應(yīng)的模態(tài)仍然主導(dǎo)著翼尖渦的擾動(dòng)特征。

圖4 顯示了翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)在特征值譜的位置和模態(tài)橫向速度分布，utr隨著流向發(fā)展會(huì)發(fā)生周期旋轉(zhuǎn)，它的幾何結(jié)構(gòu)與翼尖渦搖擺的第1 個(gè)POD 模態(tài)結(jié)構(gòu)一致，是孤立翼尖渦搖擺發(fā)生的內(nèi)在原因［12］。為了更好地比較次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)與主模態(tài)的幾何特征，這里給出主模態(tài)的3 個(gè)坐標(biāo)軸方向上的擾動(dòng)速度分布，如圖5 所示。對(duì)于離散分支的主擾動(dòng)模態(tài)，它的橫向速度波動(dòng)要大于流向速度波動(dòng)，且v′、w′均在渦核區(qū)域存在有較大的擾動(dòng)幅值，而因?yàn)榭紤]m=?1 的情況，u′呈現(xiàn)出兩瓣的結(jié)構(gòu)，檢驗(yàn)其他工況下流向截面的情況，均可得到相同的規(guī)律。需要注意的是，此處擾動(dòng)模態(tài)的速度場(chǎng)波動(dòng)u′、v′、w′均為無量綱參數(shù)。

圖4 翼尖渦主擾動(dòng)模態(tài)特征Fig.4 Characteristics of most unstable perturbation mode of wingtip vortex

圖5 翼尖渦主擾動(dòng)模態(tài)的各方向速度場(chǎng)波動(dòng)Fig.5 Perturbation of velocity field of most unstable per‐turbation mode of wingtip vortex

2.2 P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)特征

圖6 顯示了P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)在特征值譜的位置和橫向速度分布。值得注意的是，P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)與主擾動(dòng)模態(tài)具有相似的擾動(dòng)結(jié)構(gòu)，而主擾動(dòng)模態(tài)因?yàn)榫哂懈叩臄_動(dòng)頻率從而在特征值譜中從P 族擾動(dòng)模態(tài)中“分離”出來。為了更好地描述這種變化，引入相速度的概念，其表達(dá)式為

圖6 翼尖渦P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)特征Fig.6 Characteristics of Mode-P of wingtip vortex

相速度的物理意義在于表征擾動(dòng)模態(tài)沿著流向的發(fā)展速度，除了翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)以外，翼尖渦的次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的相速度均小于1。P族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)具有和主擾動(dòng)模態(tài)相似的擾動(dòng)結(jié)構(gòu)，而主擾動(dòng)模態(tài)具有明顯更高的不穩(wěn)定性放大率和相速度，但是P 族的次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)卻具有更高的橫向速度擾動(dòng)幅值，以此時(shí)的工況為例，主擾動(dòng)模態(tài)的不穩(wěn)定放大率ωi=?3.74×10?5，橫向速度擾動(dòng)峰值utrmax=0.707 118，而P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)不穩(wěn)定放大率ωi=?8.58×10?5，橫向速度擾動(dòng)峰值utrmax=0.741 941，這說明擾動(dòng)的幅值和不穩(wěn)定放大率并不存在必然聯(lián)系，擾動(dòng)幅值高并不能作為衡量主擾動(dòng)模態(tài)的特征，不穩(wěn)定放大率是由多方面的因素決定的。

圖7 所示為P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)在3 個(gè)方向上的擾動(dòng)速度分布，次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)在橫向的速度波動(dòng)會(huì)大于主擾動(dòng)模態(tài)的速度波動(dòng)，且方向相反，這意味著P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)會(huì)抑制主擾動(dòng)模態(tài)帶來的速度波動(dòng)。同時(shí)，P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)在流向上的速度擾動(dòng)具有相似的結(jié)構(gòu)，但是擾動(dòng)的幅值較小，這反映了翼尖渦主擾動(dòng)模態(tài)在流向發(fā)展上的特質(zhì)，需要進(jìn)一步從模態(tài)沿著流向的演化規(guī)律揭示翼尖渦主擾動(dòng)模態(tài)不穩(wěn)定性放大率最高的原因。

圖7 翼尖渦P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的各方向速度場(chǎng)波動(dòng)Fig.7 Perturbation of velocity field of Mode-P of wing‐tip vortex

無論是P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)還是翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)，它們都有類似于Fabre 等［18］在2006 年定義的位移波（Displacement Wave）的結(jié)構(gòu)，當(dāng)疊加在基流上時(shí)，這種擾動(dòng)的作用是增加一半渦核區(qū)域的渦度，減小另一半渦核區(qū)域的渦度，從而促進(jìn)整個(gè)渦核的螺旋式位移。

2.3 A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)特征

A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)對(duì)應(yīng)相速度cr較小而變化相對(duì)劇烈的壁面擾動(dòng)模態(tài)。圖8 顯示出A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)在特征值譜的位置以及其橫向速度擾動(dòng)分布。與P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)相比，A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)具有更小的擾動(dòng)作用范圍，橫向擾動(dòng)幅值較小且集中在渦核區(qū)域。

圖8 翼尖渦A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)特征Fig.8 Characteristics of Mode-A of wingtip vortex

圖9所示為A族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)各方向的速度擾動(dòng)分布。A 族的次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)在橫向的速度波動(dòng)v′、w′具有多瓣的擾動(dòng)結(jié)構(gòu)特征，而流向的擾動(dòng)幅值u′呈現(xiàn)出兩瓣的結(jié)構(gòu)特征。相比于橫向速度擾動(dòng)，A 族擾動(dòng)模態(tài)在流向上具有較高的擾動(dòng)幅值，這種擾動(dòng)模態(tài)結(jié)構(gòu)與Fabre 等［18］的渦核波動(dòng)模態(tài)結(jié)構(gòu)類似，這種擾動(dòng)模態(tài)會(huì)在渦核內(nèi)誘發(fā)出軸向運(yùn)動(dòng)，反作用于翼尖渦的基準(zhǔn)流場(chǎng)，促進(jìn)翼尖渦發(fā)生垂直于流向方向的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

圖9 翼尖渦A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的各方向速度場(chǎng)波動(dòng)Fig.9 Perturbation of velocity field of Mode-A of wing‐tip vortex

2.4 S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)特征

S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)對(duì)應(yīng)剪切區(qū)域外的自由來流擾動(dòng)模態(tài)，其特征函數(shù)在無窮遠(yuǎn)場(chǎng)是振蕩而非衰減的。圖10 所示為S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)在特征值譜的位置以及其橫向速度擾動(dòng)分布。盡管S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)與A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)具有相速度較小的擾動(dòng)傳播特點(diǎn)，但S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)具有更高的橫向速度擾動(dòng)幅值，因此，對(duì)翼尖渦自身渦量變化的影響會(huì)更大。

圖10 翼尖渦S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)特征Fig.10 Characteristics of Mode-S of wingtip vortex

圖11 所示為S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)各方向的速度擾動(dòng)分布。S 族的次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)在橫向的速度波動(dòng)v′、w′具有多瓣的擾動(dòng)結(jié)構(gòu)特征以及更大的徑向擾動(dòng)波數(shù)，流向的擾動(dòng)幅值u′呈現(xiàn)出多瓣的結(jié)構(gòu)特征，且具有更高的擾動(dòng)幅值。這種擾動(dòng)模態(tài)結(jié)構(gòu)與Fabre 等［18］的純黏性模態(tài)結(jié)構(gòu)類似，反映出黏性對(duì)翼尖渦速度場(chǎng)波動(dòng)帶來的影響。S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的擾動(dòng)結(jié)構(gòu)是與A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)類似的中心螺旋擾動(dòng)模態(tài)，不同的是具有更大的作用范圍，隨著周向波數(shù)的增加會(huì)逐漸發(fā)生螺旋線結(jié)構(gòu)的延伸，且擾動(dòng)會(huì)逐漸擴(kuò)散到渦核區(qū)域。

圖11 翼尖渦S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的各方向速度場(chǎng)波動(dòng)Fig.11 Perturbation of velocity field of Mode-S of wingtip vortex

綜上所述，除主擾動(dòng)模態(tài)以外，翼尖渦的次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)對(duì)整個(gè)翼尖渦的不穩(wěn)定性發(fā)展起到一定的作用。次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)根據(jù)其在特征值譜的位置主要分為3 種不同的族群：P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)，A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)，S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)。不同族群的次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)具有不同的成因和擾動(dòng)結(jié)構(gòu)，在同一流向截面下會(huì)對(duì)翼尖渦自身的運(yùn)動(dòng)帶來不同的影響。由于翼尖渦不穩(wěn)定性隨流向發(fā)展變化劇烈，需要從整個(gè)流場(chǎng)的演化的角度研究不同族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的流向演化規(guī)律，從而進(jìn)一步明確次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)對(duì)翼尖渦不穩(wěn)定性特征的影響，這點(diǎn)將在第4 節(jié)詳細(xì)闡述。

3 翼尖渦擾動(dòng)模態(tài)的流向演化規(guī)律

3.1 翼尖渦不穩(wěn)定性隨流向的演化規(guī)律

在AOA=8°、Rec=0.84×105工況下，分別對(duì)x/c=4，8，12，16 這4 個(gè)流向位置的孤立翼尖渦進(jìn)行時(shí)間不穩(wěn)定性分析，提取每個(gè)流向截面的主擾動(dòng)模態(tài)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行流向波數(shù)的掃略，得到擾動(dòng)主模態(tài)的時(shí)間放大率ωi關(guān)于α的變化趨勢(shì)，即不穩(wěn)定性曲線，圖12 顯示了不同流向位置的不穩(wěn)定性曲線，通過曲線頂點(diǎn)可以判斷該工況下翼尖渦擾動(dòng)的最大時(shí)間不穩(wěn)定性增放大ωi及其對(duì)應(yīng)的流向波數(shù)α。通過比較不同流向截面的不穩(wěn)定性曲線可以得到翼尖渦不穩(wěn)定性隨流向的演化規(guī)律。隨著流向波數(shù)的增大，翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)的不穩(wěn)定性放大率總是先增大后減小，對(duì)于多數(shù)工況，流向波數(shù)α=0.18 時(shí)翼尖渦的不穩(wěn)定性放大率最大，綜合考慮α=0.18 是翼尖渦流場(chǎng)的整體最優(yōu)解，在圖12 中已經(jīng)用黑色實(shí)線標(biāo)出。同時(shí)，隨著流向的演化，翼尖渦的不穩(wěn)定性放大率在流場(chǎng)位置x/c=8 處會(huì)有一個(gè)不穩(wěn)定性放大率的突躍，翼尖渦整體流場(chǎng)的不穩(wěn)定性隨著流向不斷增加，增速隨著流向逐步放緩。這說明翼尖渦流場(chǎng)早期形成的區(qū)域是不穩(wěn)定性充分發(fā)展的區(qū)域，而翼尖渦的遠(yuǎn)場(chǎng)是翼尖渦不穩(wěn)定性特征明顯的區(qū)域。

圖12 在Rec=0.84×105、AOA=8°工況下不同流向截面的孤立翼尖渦的穩(wěn)定性曲線Fig.12 Stability curves of wingtip vortex at different lo‐cations under at Rec=0.84×105，AOA=8°

圖13 顯示了孤立翼尖渦的特征值譜的流向演化規(guī)律，不同族的翼尖渦次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)隨著流向發(fā)展的變化軌跡是不同的。對(duì)于翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)和P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)，隨著流向位置的變化主要體現(xiàn)在不穩(wěn)定性放大率ωi，而其相速度cr幾乎保持不變，這說明P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)和主擾動(dòng)模態(tài)隨著流向的傳播ωi速度無明顯變化，而在不同的流向截面處，總有可以被激發(fā)的主擾動(dòng)模態(tài)，它隨著流向的傳播速度甚至超過流場(chǎng)速度，主導(dǎo)著翼尖渦流場(chǎng)的變化。對(duì)A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)和S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)，隨流向的變發(fā)展均有明顯的速度場(chǎng)波動(dòng)變化，且在不穩(wěn)定性增長率ωi和擾動(dòng)頻率ωr均隨著流向不斷增加，而ωr的增速遠(yuǎn)超過ωi，同時(shí)A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)和S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的相速度在翼尖渦的所有擾動(dòng)模態(tài)里均較小，而隨著流向的發(fā)展，2 種模態(tài)的相速度均逐步增加，隨著流向的傳播速度逐漸加快，這說明A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)和S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)在翼尖渦的遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域具有更強(qiáng)的擾動(dòng)影響。

圖13 在Rec=0.84×105、AOA=8°工況下不同流向截面的孤立翼尖渦的特征值譜Fig.13 Eigenvalue spectrum of wingtip vortex at differ‐ent flow locations at Rec=0.84×105，AOA=8°

綜上所述，翼尖渦的不穩(wěn)定性特征的流向演化規(guī)律是不穩(wěn)定性放大率逐漸增大，而增速逐漸放緩。同時(shí)，在Rec=0.84×105、AOA=8°工況下，孤立翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)和次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)上具有不同的流向演化規(guī)律。盡管在不同的流向位置翼尖渦的不穩(wěn)定放大率不同，但幾乎都在α=0.18 的位置處于最大值，也就是，在α=0.18 的條件下，翼尖渦的不穩(wěn)定特征最為明顯。基于此結(jié)論，接下來的模態(tài)演化規(guī)律討論默認(rèn)在α=0.18 的條件下進(jìn)行。

3.2 翼尖渦主擾動(dòng)模態(tài)和P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的流向演化規(guī)律

通過2.1、2.2 節(jié)的研究可知，翼尖渦的P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)和主擾動(dòng)模態(tài)之間的結(jié)構(gòu)是相似的，且P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)具有更高的橫向速度波動(dòng)。而主擾動(dòng)模態(tài)具有更高的相速度，即隨著流向的傳播速度較快。結(jié)合第3.1 節(jié)翼尖渦不穩(wěn)定性演化規(guī)律的研究，將翼尖渦主擾動(dòng)模態(tài)所在的區(qū)域局部放大，觀察翼尖渦主擾動(dòng)模態(tài)和翼尖渦P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的演化規(guī)律，如圖14、圖15所示。

圖14 在Rec=0.84×105、AOA=8°工況下不同流向截面的孤立翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)特征Fig.14 Characteristics of primary mode of isolated wingtip vortex at different flow locations at Rec=0.84×105，AOA=8°

圖15 在Rec=0.84×105、AOA=8°工況下不同流向截面的孤立翼尖渦的P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)特征Fig.15 Characteristics of Mode-P of isolated wingtip vortex at different flow locations at Rec=0.84×105，AOA=8°

圖14 展示出翼尖渦主擾動(dòng)模態(tài)隨流向的演化規(guī)律，翼尖渦主擾動(dòng)模態(tài)的流向速度波動(dòng)隨著流向的發(fā)展始終保持著兩瓣式的結(jié)構(gòu)并不斷旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，擾動(dòng)的幅值和范圍都在隨著流向不斷增長，這促進(jìn)了翼尖渦搖擺運(yùn)動(dòng)的加劇。進(jìn)一步地，觀察翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)在橫向截面上的速度擾動(dòng)，在翼尖渦近場(chǎng)區(qū)域，翼尖渦主擾動(dòng)模態(tài)的橫向速度擾動(dòng)幅值v′、w′大于流向速度擾動(dòng)幅值u′，翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)作用集中于翼尖渦的橫向形變。而隨著流向的發(fā)展，翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)的流向速度擾動(dòng)幅值u′會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于v′、w′，主擾動(dòng)模態(tài)逆著渦旋方向旋轉(zhuǎn)并沿著流向發(fā)展，進(jìn)而促進(jìn)整個(gè)渦核的螺旋式位移。

圖15 展示出翼尖渦的P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的流向演化規(guī)律，P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的流向演化規(guī)律于翼尖渦主擾動(dòng)模態(tài)類似，而在流向的發(fā)展演化中，P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)在各個(gè)方向的擾動(dòng)往往與翼尖渦主擾動(dòng)模態(tài)在同一方向上帶來的擾動(dòng)相反，這說明在流向的發(fā)展演化中，P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)和翼尖渦主擾動(dòng)模態(tài)疊加到基流上時(shí)，P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)往往會(huì)抑制翼尖渦主擾動(dòng)模態(tài)帶來的種種波動(dòng)，以x/c=12 的流向截面為例，P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)與翼尖渦主擾動(dòng)模態(tài)在各個(gè)方向上帶來的速度波動(dòng)幾乎完全相反。同時(shí)，當(dāng)翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)在某個(gè)方向的速度擾動(dòng)增大時(shí)，相應(yīng)的P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)也會(huì)增大，這一點(diǎn)在流向速度擾動(dòng)上顯得尤為明顯，在x/c=4 的流向位置上，翼尖渦的主模態(tài)的流向擾動(dòng)峰值是0.325 6，而P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的流向擾動(dòng)峰值是0.310 7，而當(dāng)擾動(dòng)模態(tài)發(fā)展到x/c=16 位置時(shí)，翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)的流向擾動(dòng)峰值是0.530 4，而翼尖渦的次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的流向擾動(dòng)峰值是0.646 7，高于翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)，在此時(shí)的流向截面，P 族的次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)會(huì)帶來更大的翼尖渦螺旋式位移。因此，翼尖渦的P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)在翼尖渦的流向發(fā)展過程中會(huì)對(duì)翼尖渦的搖擺運(yùn)動(dòng)帶來促進(jìn)作用，而這種作用效果會(huì)隨著流向的發(fā)展不斷的變大。

3.3 翼尖渦A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)和S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的流向演化規(guī)律

通過2.3、2.4 節(jié)可知，翼尖渦的S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)和A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)都具有相速度較小的特征，擾動(dòng)的傳播速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于流向的發(fā)展速度，并隨著流向的發(fā)展?jié)u漸消逝，同時(shí)A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)和S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)具有更小的作用范圍。因?yàn)锳 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)和S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的成因不同，研究其演化規(guī)律反映出孤立翼尖渦不同的物理特征對(duì)其翼尖渦不穩(wěn)定性的影響。A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)反映了黏性對(duì)翼尖渦速度場(chǎng)的影響，而S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)反映了翼尖渦的瞬態(tài)增長特性。結(jié)合3.1 節(jié)對(duì)翼尖渦不穩(wěn)定性演化規(guī)律的研究，觀察翼尖渦A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)和S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的演化規(guī)律，如圖16、圖17所示。

圖16 在Rec=0.84×105、AOA=8°工況下不同流向截面的孤立翼尖渦的A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)特征Fig.16 Characteristics of Mode-A of isolated wingtip vortex at different flow locations at Rec=0.84×105，AOA=8°

圖17 在Rec=0.84×105、AOA=8°工況下不同流向截面的孤立翼尖渦的S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)特征Fig.17 Characteristics of Mode-S of isolated wingtip vortex at different flow locations at Rec=0.84×105，AOA=8°

圖16 展示出翼尖渦A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)隨流向的演化規(guī)律。在2.3 節(jié)已經(jīng)指出，翼尖渦的A族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)在流向速度擾動(dòng)上的擾動(dòng)較高，與之相比，A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)在橫向截面上的擾動(dòng)較小。而隨著流向的演化發(fā)展，A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)依然保持這種特征，流向的擾動(dòng)幅值隨著流向的發(fā)展逐漸增大且影響范圍更廣，這種流向的擾動(dòng)呈螺旋狀圍繞著渦核，并沿著流向逐漸擴(kuò)散到整個(gè)渦核，作用于整個(gè)翼尖渦的螺旋式位移。同時(shí)，A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的橫向速度隨著流向變動(dòng)較為復(fù)雜，不僅表現(xiàn)在作用方向上的旋轉(zhuǎn)變化，而且表現(xiàn)在作用范圍的不規(guī)則變化。但是由于橫向速度擾動(dòng)的幅值和幅值的增速遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于流向擾動(dòng)幅值，因此A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的橫向擾動(dòng)對(duì)翼尖渦的作用效果較為有限。

圖17 展示了翼尖渦S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)隨流向的演化規(guī)律。S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的流向擾動(dòng)一開始圍繞在渦核的外側(cè)，流向擾動(dòng)幅值較小，在流向位置x/c=4 處，流向擾動(dòng)峰值為0.523 18。而隨著翼尖渦的發(fā)展演化，S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)逐漸深入到翼尖渦渦核內(nèi)部，覆蓋住整個(gè)渦核，流向速度擾動(dòng)幅值會(huì)逐漸在增大，在流向位置x/c=4 處，流向擾動(dòng)峰值為0.872 30。而這種變化對(duì)于S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的橫向擾動(dòng)則是不明顯的，以y方向的橫向擾動(dòng)v′為例，在x/c=4 處，擾動(dòng)幅值為0.580 37，而在x/c=16 處，擾動(dòng)幅值為0.572 63，并沒有明顯波動(dòng)。這從側(cè)面說明S 還與擾動(dòng)模態(tài)相對(duì)于渦核的作用范圍有關(guān)：擾動(dòng)模態(tài)覆蓋渦核的范圍越大，其流向擾動(dòng)的幅值變化越劇烈，會(huì)加劇對(duì)翼尖渦不穩(wěn)定性特征的影響。

3.4 翼尖渦擾動(dòng)模態(tài)的能量增長

進(jìn)一步地，引入能量增長的觀點(diǎn)描述各族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的特征，指定時(shí)間內(nèi)的初始擾動(dòng)的最優(yōu)能量放大G(t)的計(jì)算公式［30］為

式中：q0為初始擾動(dòng)；q(t)為擾動(dòng)隨時(shí)間的演化量；Λ為由特征值ω構(gòu)成的特征值矩陣，該矩陣代表不同的初始條件下可以產(chǎn)生的最大可能的能量放大。在線性穩(wěn)定性分析中，這種擾動(dòng)的放大是根據(jù)翼尖渦的最不穩(wěn)定模態(tài)來確定的，算子的范數(shù)與不穩(wěn)定放大率最大的主擾動(dòng)模態(tài)直接相關(guān)，最優(yōu)能量擾動(dòng)的放大率可以寫為

式中：ωi‐max為主擾動(dòng)模態(tài)的不穩(wěn)定性放大率，因?yàn)橹鲾_動(dòng)模態(tài)在整個(gè)特征值譜中具有更大的擾動(dòng)能量放大率。

在翼尖渦的次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)中，除了主擾動(dòng)模態(tài)以外，P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)和S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)同樣具有較高的不穩(wěn)定性放大率。2018 年，Ed‐strand 等［3］研究指出，對(duì)于基于不穩(wěn)定性模態(tài)的翼尖渦主動(dòng)控制，或者說激發(fā)翼尖渦擾動(dòng)模態(tài)促進(jìn)翼尖渦速度場(chǎng)變化的主動(dòng)控制理論而言，擾動(dòng)模態(tài)的結(jié)構(gòu)是不可忽略的因素。比較不同流向截面處擾動(dòng)模態(tài)結(jié)構(gòu)相差較大的主擾動(dòng)模態(tài)和S族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的能量增長隨時(shí)間的演化規(guī)律，如圖18 所示。隨著翼尖渦的流向演化，主擾動(dòng)模態(tài)和S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的擾動(dòng)能量增長率逐漸增大，盡管主擾動(dòng)模態(tài)的能量增長始終占主導(dǎo)地位，S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)隨著流向演化具有更高的增長速度，與主擾動(dòng)模態(tài)的能量差值隨著流向演化不斷縮小。

圖18 主擾動(dòng)模態(tài)和S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)在不同流向截面處的擾動(dòng)能量增長（Rec=0.84×105）Fig.18 Perturbation energy growth of primary pertur‐bation mode and mode-S at different flow sec‐tions（Rec=0.84×105）

對(duì)于孤立翼尖渦，其典型兩瓣式結(jié)構(gòu)的主擾動(dòng)模態(tài)雖然穿透了渦核邊界覆蓋整個(gè)翼尖渦渦核，但是其擾動(dòng)切向波數(shù)僅為m=?1，Xiang［20］、程澤鵬［20-21］等通過對(duì)翼尖渦的穩(wěn)定性分析，得出較低的切向波數(shù)是主擾動(dòng)模態(tài)對(duì)翼尖渦的干擾十分低效的原因所在，因此主擾動(dòng)模態(tài)總是處于臨界不穩(wěn)定狀態(tài)。相比于主擾動(dòng)模態(tài)，S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)具有更高的切向波數(shù)，同時(shí)，擾動(dòng)模態(tài)本身也穿透了渦核邊界并覆蓋整個(gè)翼尖渦渦核。從能量角度，S族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的擾動(dòng)能量增長與主擾動(dòng)模態(tài)的差距隨著流向演化逐漸縮小。盡管S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)隨著流向的發(fā)展會(huì)更快地耗散［31］，但通過模態(tài)的激發(fā)，S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)能夠隨著流向發(fā)展進(jìn)一步增強(qiáng)，同時(shí)保持高切向波數(shù)和大作用范圍的特點(diǎn)，有理由相信基于S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的翼尖渦主動(dòng)控制相比于傳統(tǒng)的基于主擾動(dòng)模態(tài)的翼尖渦主動(dòng)控制是更具有吸引力的策略。關(guān)于翼尖渦擾動(dòng)模態(tài)的激發(fā)，Edstrand 等［3］曾經(jīng)做過相應(yīng)的數(shù)值模擬，取得了一定的成果，但還需要進(jìn)一步驗(yàn)證如何通過實(shí)驗(yàn)手段激發(fā)S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的速度場(chǎng)波動(dòng)，從而促進(jìn)翼尖渦整體的失穩(wěn)衰減。

4 結(jié)論

通過SPIV 實(shí)驗(yàn)獲得不同流向截面的孤立翼尖渦流場(chǎng)，通過對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合計(jì)算得到基準(zhǔn)流動(dòng)，在此基礎(chǔ)上開展時(shí)間不穩(wěn)定性分析，得到如下主要結(jié)論：

1）孤立翼尖渦的擾動(dòng)模態(tài)可以根據(jù)其在特征值譜的位置分為主擾動(dòng)模態(tài)、P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)、A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)、S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)4 種。主擾動(dòng)模態(tài)在翼尖渦不穩(wěn)定性的發(fā)展中起主導(dǎo)作用，P 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)具有與主擾動(dòng)模態(tài)相似的擾動(dòng)結(jié)構(gòu)，共同促進(jìn)翼尖渦渦核的搖擺運(yùn)動(dòng)，A族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的擾動(dòng)結(jié)構(gòu)反映出黏性對(duì)翼尖渦運(yùn)動(dòng)的影響，會(huì)誘發(fā)翼尖渦渦核處的周向運(yùn)動(dòng)，S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的擾動(dòng)結(jié)構(gòu)具有更高的切向波數(shù)，隨著周向波數(shù)的增加會(huì)逐漸發(fā)生螺旋線結(jié)構(gòu)的延伸并擴(kuò)大擾動(dòng)的作用范圍。

2）分別給出不同族的擾動(dòng)模態(tài)隨流向的演化規(guī)律，翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)和P 族擾動(dòng)模態(tài)沿流向發(fā)生旋轉(zhuǎn)，并且擾動(dòng)幅值隨著流向逐漸放大，A 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的流向演化規(guī)律主要集中在流向速度上，表現(xiàn)為幅值的增加和作用范圍的增大，S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)隨著流向會(huì)逐漸覆蓋住整個(gè)渦核，帶來較大的流向速度波動(dòng)。

3）從基于不穩(wěn)定性思路的翼尖渦主動(dòng)控制角度討論了翼尖渦次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的作用，描述了不同翼尖渦擾動(dòng)模態(tài)的擾動(dòng)能量隨流向的演化規(guī)律。翼尖渦的主擾動(dòng)模態(tài)具有最高的能量增長，但由于其低切向波數(shù)的結(jié)構(gòu)，對(duì)翼尖渦的擾動(dòng)較低效。而S 族擾動(dòng)模態(tài)因?yàn)榫哂懈叩那邢虿〝?shù)和較大的擾動(dòng)能量增長，基于S 族次級(jí)擾動(dòng)模態(tài)的翼尖渦主動(dòng)控制是一種更具有吸引力的策略。