［摘? 要］ 幾何直觀能力對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要意義，它是認(rèn)識與理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。實踐證明，在概念教學(xué)、算理教學(xué)以及解題教學(xué)等環(huán)節(jié)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，能有效地提高學(xué)生的幾何直觀能力，為學(xué)生核心素養(yǎng)的形成奠定基礎(chǔ)。

［關(guān)鍵詞］ 幾何直觀；能力；培養(yǎng)；措施

幾何直觀是指借助幾何的直觀性描述與分析問題，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化、形象化，有助于學(xué)生獲得解決問題的思路，從而提前預(yù)測出結(jié)果。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中并沒有直接涉及“幾何直觀”的具體內(nèi)容，但《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力有明確要求。為此，筆者做了大量研究，現(xiàn)整理成文，與讀者共勉。

一、理論基礎(chǔ)

荷蘭學(xué)者范希爾夫婦和艾倫·霍弗提出的幾何思維水平體系，是對幾何直觀理論體系較早且較權(quán)威的說明。范希爾夫婦將幾何思維水平分為五級（見表1）。實踐證明，小學(xué)二年級學(xué)生一般對應(yīng)表格中的二級水平，但初中學(xué)生卻難以達(dá)到四級水平。因此，他們在原有的理論基礎(chǔ)上，把幾何思維合并為直觀、描述與理論水平三方面。

艾倫·霍弗從直觀方面出發(fā)，針對直觀化能力總結(jié)出五級理論（見表2）。

該理論已成為研究幾何直觀的重要理論基礎(chǔ)，對培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力具有明顯的導(dǎo)向作用。

二、培養(yǎng)措施

（一）注重概念教學(xué)，滲透幾何直觀

概念猶如打開知識大門的鑰匙，既是同類事物的共同本質(zhì)，又是同類事物的一般特征。數(shù)學(xué)概念是學(xué)生構(gòu)成數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念的建立是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的前提。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的情況好與不好，不但直接關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)知識的鞏固，而且直接關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力的發(fā)展。

數(shù)學(xué)概念中的一些關(guān)鍵詞，通常體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的基本含義。在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，教師要把一個個關(guān)鍵詞看作一個個點(diǎn)，認(rèn)真地分析和講解，并加以串聯(lián)。如果把基本含義丟失了，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念就難以完整識記、理解和把握。因此，在分析、講解和串聯(lián)關(guān)鍵詞時，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)要求、教學(xué)任務(wù)的不同，仔細(xì)分析、精心講解、巧妙串聯(lián)，特別是概念的講解，應(yīng)講得通俗、講得透徹、講得有趣，盡量避免過于抽象化。

有些教師不重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，往往是先直接給出數(shù)學(xué)概念，再給學(xué)生講解例題，然后讓學(xué)生做習(xí)題，最后讓學(xué)生背數(shù)學(xué)概念。像這樣的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，學(xué)生缺少認(rèn)識、分析、理解概念本質(zhì)特征的機(jī)會，使數(shù)學(xué)概念教學(xué)嚴(yán)重偏離正確的軌道。因此，對于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，教師應(yīng)做到“三利用”：

一是利用已學(xué)概念學(xué)習(xí)新的概念。隨著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的逐步深入，數(shù)學(xué)知識的逐步積累，數(shù)學(xué)智力的逐步發(fā)展，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生利用已學(xué)概念學(xué)習(xí)新的概念。

二是利用直觀手段講解概念。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)不同的數(shù)學(xué)概念，利用教具、模型、多媒體等直觀形象的教學(xué)手段，把抽象的數(shù)學(xué)概念形象化，把深奧的數(shù)學(xué)概念通俗化。

三是利用概念本質(zhì)講透概念。利用數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，把數(shù)學(xué)概念講透，通常需要教師充分揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，充分講清數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系，充分比較數(shù)學(xué)概念的異同。

數(shù)學(xué)概念具備“數(shù)”與“形”的雙重特征。在概念教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從這兩個方面著手分析，有意識地在概念教學(xué)中滲透幾何直觀的思維。尤其是一些文字表達(dá)過于冗長的概念，教師可借助直觀的圖形輔助教學(xué)，讓學(xué)生對概念產(chǎn)生直觀形象的認(rèn)識。這種教學(xué)方式，符合小學(xué)生的思維特征，對提高學(xué)生的理解能力具有直接的幫助。更重要的是能讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的概念教學(xué)中，感知幾何直觀的魅力。

案例1? “分?jǐn)?shù)”的概念教學(xué)

在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)引用諸如分生日蛋糕、切西瓜等生活情境，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的探究欲。在學(xué)生對分?jǐn)?shù)產(chǎn)生了探究興趣時，教師結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，進(jìn)行幾何直觀的滲透。

比如對1/2概念的認(rèn)識，學(xué)生從生活情境中獲得一定感悟后，教師可帶領(lǐng)學(xué)生動手、動腦，進(jìn)行實際操作。給每個學(xué)生分發(fā)一張A4紙，要求學(xué)生通過折紙的方式表達(dá)自己對1/2的理解。在學(xué)生能準(zhǔn)確表達(dá)出1/2后，再鼓勵學(xué)生嘗試1/4、1/8、1/3等的折疊方法。

隨著實踐探索的深入，學(xué)生能準(zhǔn)確表達(dá)出1/2的概念。在探索其他分?jǐn)?shù)的折紙過程中，學(xué)生能積極開動腦筋，并主動合作交流，形成各種折疊方法。為了激發(fā)學(xué)生的幾何直觀能力，筆者要求學(xué)生緊扣分?jǐn)?shù)的“數(shù)”與“形”兩方面的特征，進(jìn)行書寫與表征，從根本上理解分?jǐn)?shù)所表達(dá)的意義。

事實上，分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)，用幾何圖形的陰影部分面積表示分?jǐn)?shù)與用分?jǐn)?shù)表達(dá)幾何陰影部分的面積，這兩種訓(xùn)練方式能讓學(xué)生在腦海中形成更為明確的直觀圖，幫助學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)的概念。本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)在學(xué)生的操作、思考與探索中順利完成。同時，學(xué)生的思維能力與幾何直觀能力，也隨著實踐活動的展開而得到有效提升。

（二）借助算理教學(xué)，培養(yǎng)幾何直觀能力

幾何直觀不但在圖形和幾何學(xué)習(xí)中會用到，而且在數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐中也會用到?！皵?shù)與代數(shù)”可分為數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的運(yùn)算、常見的量和探索規(guī)律等知識板塊，在這些知識板塊上，每一個知識板塊都可以培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。

在教學(xué)“數(shù)的運(yùn)算”時，很多教師只重視算法的教學(xué)，追求熟練計算，卻忽視算理。其實，想讓學(xué)生掌握算法，提高計算能力，既要引導(dǎo)學(xué)生熟練計算，又要引導(dǎo)學(xué)生理解算理。因為算理是算法的理論依據(jù)，算法是算理提煉和概括后形成的，算法和算理相輔相成，在加、減、乘、除四則運(yùn)算教學(xué)中，教師都可以借助算理教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。

關(guān)于計算的算理教學(xué)，其幾何直觀的表現(xiàn)形式通常有三種：一種實物直觀，二是簡約符號直觀，三是圖形直觀。

實物直觀是借助實際的存在物，進(jìn)行簡捷的思考和形象的判斷。既可以用實際的存在物演示，又可以用小棒和小畫片等替代物演示，讓學(xué)生邊演示實物邊理解算理。

簡約符號直觀是在頭腦里建立圖式表象。小學(xué)生的知覺和觀察一般是從情緒性、無意性、不確定性向目標(biāo)性、有意性、確定性的方向發(fā)展。對此，教師可借助算理教學(xué)，發(fā)揮簡約符號直觀的作用。

圖形直觀是借助幾何圖形對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行描述和分析。圖形直觀一般有“形形”和“數(shù)形”兩種表示。在算理教學(xué)中，常采用“數(shù)形”表示，特別是分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的算理比較抽象，用“數(shù)形”表示，能使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化。

對小學(xué)生而言，有些計算法則比較抽象，他們在理解上存在一定的難度。如果教師運(yùn)用傳統(tǒng)的教學(xué)方式進(jìn)行授課，難以讓學(xué)生知其然且知其所以然。而教師借助幾何模型引導(dǎo)學(xué)生在直觀的觀察中洞察算理的本質(zhì)，能讓學(xué)生深刻理解算理，靈活應(yīng)用算理。因此，教師將算理與幾何直觀相結(jié)合進(jìn)行教學(xué)，會有意想不到的教學(xué)效果。

案例2? “一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的教學(xué)

問題：麗麗花了2/3小時，走了2km的路程；花花用了5/12小時，走了5/6km的路程，她們兩人，誰走路的速度更快些？

對于這個問題，學(xué)生列式基本都不成問題，問題在于列式后的計算。為了讓學(xué)生從根本上掌握算理，筆者鼓勵學(xué)生先畫圖，再計算。學(xué)生經(jīng)思考后，繪制出圖1，并根據(jù)此圖進(jìn)行算理的推導(dǎo)。

觀察圖1，將麗麗1小時所行走的路程分成了3份，麗麗花了2/3小時走完了2份路程的量，換個思維考慮，就是用2÷2來求出1/3小時行走的路程，再與3相乘即可，得到1小時所完成的路程為2÷2×3，也就是說被除數(shù)為分?jǐn)?shù)時，先除以分子，再乘以分母。

畫圖的目的就在于引導(dǎo)學(xué)生明白為什么要這樣計算，這樣計算的過程是怎樣的。如果教師直接將運(yùn)算律灌輸給學(xué)生，學(xué)生就只能機(jī)械地記憶，而不能形成深刻的認(rèn)識。這種非理解性的記憶短暫且不牢固，會導(dǎo)致學(xué)生學(xué)了后面忘了前面。而利用幾何直觀，幫助學(xué)生理解算理的教學(xué)方式，會讓學(xué)生弄明白為什么2÷（2/3）最后轉(zhuǎn)化成了2×3/2，這種從根本上的理解性記憶是牢固的、永久的、可靠的。

通過以上教學(xué)可知，借助幾何直觀進(jìn)行算理的教學(xué)，不僅是一種高效的教學(xué)方法，還是發(fā)展學(xué)生理解能力，提高學(xué)生思維水平的良好手段。學(xué)生通過這種教學(xué)方式，能從源頭上理解算理的形成與發(fā)展過程，從而掌握其本質(zhì)，這為后期更多、更復(fù)雜的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了堅實的基礎(chǔ)。

（三）立足解題教學(xué)，培養(yǎng)幾何直觀能力

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，教師應(yīng)想方設(shè)法抓好解題教學(xué)這一環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生做到“三個應(yīng)該”：

一是應(yīng)該重視解題教學(xué)，解題教學(xué)的效果好與差，不但會直接影響學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用，而且會直接影響學(xué)生解題能力的提升。因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重視解題教學(xué)，把解決問題作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的頭等大事。

二是應(yīng)該認(rèn)真理解題意，解題教學(xué)得從理解題意入手，引領(lǐng)學(xué)生讀懂題意，對于一些文字?jǐn)⑹龆?、綜合性強(qiáng)、難度大的題目，要引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)閱讀、反復(fù)玩味、反復(fù)欣賞，認(rèn)真理解題意。

三是應(yīng)該尋找解題思路，引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)題目中已知條件和所求問題的橫向、縱向聯(lián)系，從諸多思緒中梳理出一條條思想的紐帶，再用這些紐帶，把已學(xué)過的相關(guān)概念、公式、定理等數(shù)學(xué)知識連接起來，使問題得到解決。

立足解題教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力，通常應(yīng)在三個方面下功夫：

一是在直觀教學(xué)方面下功夫，小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以形象思維為主，計算、證明和推理，都需要形象思維這個基礎(chǔ)。通過直觀教學(xué)，利用直觀圖形將抽象的數(shù)學(xué)問題形象化，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，能幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)題意，從而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。

二是在數(shù)形結(jié)合方面下功夫，數(shù)學(xué)的語言和符號較為抽象，不利于學(xué)生理解和掌握。利用數(shù)形結(jié)合的方式直觀展現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，能實現(xiàn)數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化，闡明數(shù)學(xué)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力；

三是在實踐操作方面下功夫，基于小學(xué)生的思維特點(diǎn)，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視學(xué)生的動手操作，它是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的有效途徑之一。教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生建立“手和腦”之間的聯(lián)系，通過開展有趣的、有效的動手操作實踐活動，充分調(diào)動學(xué)生的直觀想象。

為了加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，教師可通過一些解題訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生對基本圖形的認(rèn)識。小學(xué)階段，學(xué)生所接觸到的基本圖形主要有線段、數(shù)軸、長方形、正方形或圓等，通過對這些圖形問題的發(fā)現(xiàn)與描述，能增強(qiáng)學(xué)生對知識的理解程度，強(qiáng)化記憶效果，這也是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的關(guān)鍵措施。

案例3? “雞兔同籠”的解題教學(xué)

長方形是學(xué)生熟悉的一類基本圖形，它的面積=長×寬。對于長方形的面積，教師可引導(dǎo)學(xué)生用“積=因素×因數(shù)”的形式來表達(dá)，這種表達(dá)常見的還有“總數(shù)=每份數(shù)×份數(shù)”。換個思維，生活中有很多實際問題的數(shù)量關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化成長方形的圖形來進(jìn)行表達(dá)。當(dāng)繁雜的文字與數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀形象的長方形時，其中的關(guān)系則能讓人一目了然，解題思路一旦明晰，問題也就迎刃而解了。教學(xué)中教師應(yīng)盡可能地給學(xué)生創(chuàng)造思考與轉(zhuǎn)化的機(jī)會，鼓勵學(xué)生掌握數(shù)形轉(zhuǎn)化的能力，為解題而服務(wù)。

“雞兔同籠”是經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，小學(xué)生不容易厘清其數(shù)量關(guān)系。筆者受到長方形面積的啟發(fā)，將一道“雞兔同籠”問題“8只雞兔同籠，共26只腳，雞兔各是幾只”轉(zhuǎn)化成了“長方形面積”問題。

第一步：如圖2，引導(dǎo)學(xué)生先在草稿紙上畫兩個長方形，分別代表雞腳和兔腳的數(shù)量，再將這兩個長方形拼接在一塊兒。

第二步，根據(jù)圖中直觀的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生很快就能找到解決問題的辦法。觀察圖2，可以看出兔腳數(shù)量的一半為26-2×8=10（只），兔腳總數(shù)為2×10＝20（只），因此兔子的數(shù)量為2×10÷4=5（只）；再觀察雞腳的數(shù)量為4×8-26=6（只），那么雞的數(shù)量為6÷2=3（只）。簡簡單單的一張圖，就將學(xué)生感到頭疼的雞兔同籠問題給解決了。

由此可以看出，解決數(shù)學(xué)問題應(yīng)從多角度、多層次進(jìn)行思考與分析，尤其是利用“形”的直觀性來解決“數(shù)”的抽象性。將抽象的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何問題，能給學(xué)生一種主觀的沖擊，使他們又快又準(zhǔn)地解題。

學(xué)生的解題能力，往往反映出學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合水平，將抽象的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何問題，不僅能實現(xiàn)快速解題的目的，還能活躍學(xué)生的思維，讓學(xué)生在數(shù)形轉(zhuǎn)化中形成創(chuàng)新能力。

總之，學(xué)生的幾何直觀能力的培養(yǎng)并非一朝一夕就能完成，它需要教師長期不懈地堅持、滲透。教師要從思想上高度重視學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)，并付諸實際教學(xué)，讓幾何直觀在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的各個階段發(fā)揮其獨(dú)有的價值，為學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。

作者簡介：顧瑋瑋（1982—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。