廣東省中山市龍山中學 陳 玉 彭 硯

HPM 全稱為“History and Pedagogy of Mathematics”,意思是在數(shù)學教學中融入數(shù)學史,用數(shù)學史的教育功能,全面發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng).了解知識的發(fā)生、發(fā)展過程,對學生數(shù)學能力的培養(yǎng)能起到很重要的作用.

但HPM在中學數(shù)學教學中一直處于”高評價,低應(yīng)用”的尷尬位置,知網(wǎng)上有很多數(shù)學史在實踐中的應(yīng)用這類型的論文,但在課堂中的應(yīng)用情況還有待考察.

筆者從各種途徑收集了關(guān)于對數(shù)起源的歷史材料,并根據(jù)自己的理解進行梳理,然后用HPM方法中的順應(yīng)式對對數(shù)概念的教學進行深入淺出的教學設(shè)計,從學生容易理解的角度對歷史材料進行改編.

1 歷史材料

關(guān)于對數(shù)的起源歷史材料有很多,最著名的就是以下兩個問題.材料1——布拉赫的困擾是對數(shù)起源的最根本原因:用來解決計算量大的問題.材料2——納皮爾的對數(shù)是公認的對數(shù)起源的過程:納皮爾對數(shù)的發(fā)現(xiàn),實際上是參數(shù)方程的化簡過程.

1.1 布拉赫的困擾

第谷·布拉赫是16世紀下半葉丹麥的一位天文學家,他的主要研究工作是進行大量精密的天文觀測,以便為航海的人們確定船只的位置.在觀測后會得到很多數(shù)據(jù),這些數(shù)據(jù)通常是雜亂無章的,處理數(shù)據(jù)就成了他最頭疼的一件事情.比如,下面是他要處理的幾個運算:

(1)32×1 024; (2)8 192÷32;

前面三個很容易,是我們熟悉的四則運算,第四個就不那個好算.按我們現(xiàn)在的知識,用筆算開平方其實也能算,但在以前是沒有這樣的知識的.

事實上,即使是常規(guī)的加減乘除與乘方運算,但如果要計算的數(shù)值很大,花費的時間就要增加,運算也會變得枯燥無味.距今三百多年前,十六七世紀的數(shù)學家經(jīng)常要進行大量的關(guān)于天文和航海數(shù)據(jù)的計算,如299 792.468×31 536 000,其中,299 792.468是光在真空中的速度 (單位:km/s),31 536 000是一年的總秒數(shù),顯然這個計算更加麻煩.

1.2 納皮爾的對數(shù)

假設(shè)在一次運動中,有兩個沿兩條線運動的質(zhì)點.

如圖1,假設(shè)AB的長度為107單位,CD無限長,點P從點A向點B運動,同時點Q從點C向點D運動.點P的初速度為107,設(shè)PB=x(t),在運動的過程中,點P的速度與x(t)成正比,設(shè)比例系數(shù)為1,點P的速度為x(t).點Q做勻速直線運動,速度為107.設(shè)CQ=y.這是納皮爾構(gòu)造的一個幾何模型.

圖1

解得x(t)=C·e-t.當t=0時,x(0)=107,代入得C=107.因此有x(t)=107e-t.

而點Q在射線CD上做勻速直線運動,則y(t)=107t.將y定義為x的對數(shù),有y=Nap logx.

之后,納皮爾就用這個定義編制出了對數(shù)表,雖然花了大量的時間,但是在數(shù)學運算上取得了很大的進步.不過,剛開始時納皮爾選用的底數(shù)是一個相對較為復雜的數(shù),并不好用.后來英國數(shù)學家布里格斯專程拜訪了納皮爾,并建議將底數(shù)改為10,因為這更加符合人們使用十進制的習慣.所以納皮爾又花了很多時間編制以10為底的對數(shù)表格,終于在1617年完成.人們一直都用這樣的對數(shù)表格進行各種各樣的復雜計算.

2 “對數(shù)概念的引入”教學設(shè)計與實施

2.1 教學分析

(1)教學背景.對數(shù)的引入是高中數(shù)學的一個難點,大部分學生對于對數(shù)的理解有很大的困難.HPM的提出和發(fā)展給了高中教師一個新的突破口,一種新的教學方法.課本中都是從指數(shù)的問題去引出對數(shù),但從歷史上來看,對數(shù)的發(fā)明比指數(shù)要早.從上文可以看出,只要設(shè)計合理,讓學生了解知識的發(fā)生、發(fā)展過程,對學生的認知發(fā)展有非常大的幫助.

(2)學情分析.“對數(shù)的概念”是 2022年人教版必修第一冊第四章第三小節(jié)第一課時的內(nèi)容, 在此之前學生已經(jīng)學習了指數(shù)和指數(shù)函數(shù),對指數(shù)的運算方法也有所了解.本節(jié)課的內(nèi)容既有利于學生對指數(shù)有關(guān)知識的復習,也有利于對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的學習.學生在追根溯源的過程中體會數(shù)學史的魅力,體會數(shù)學知識的重要性.

(3)教學目標.知識目標:理解對數(shù)的概念,懂得指數(shù)和對數(shù)的互化.能力目標:培養(yǎng)邏輯推理能力和數(shù)學運算能力.情感、態(tài)度和價值觀:從歷史發(fā)展過程中去了解對數(shù)產(chǎn)生的意義,引發(fā)學習的渴望,自然而然地引出對數(shù)的概念.

(4)教學重難點.重點是對數(shù)的起源和對數(shù)的概念.難點是對數(shù)與指數(shù)的互化.

2.2 教學過程

教師:今天我們學習對數(shù)的概念.對數(shù)的產(chǎn)生最早是為了解決計算的問題.大家看一個例子.

學生:計算器也很難算出來!

教師:為了解決這個問題,數(shù)學家們引進了一個符號:“l(fā)g”,讀作:以10為底的對數(shù).運用它的一些運算法則,除法運算可以變?yōu)闇p法運算,指數(shù)可以“下來”變系數(shù).

(板書.給出參考數(shù)據(jù):lg 3=0.477,1g 10=1.)

設(shè)計意圖：采用順應(yīng)式改編了歷史材料1——布拉赫的困擾,讓學生初步了解對數(shù)對于計算的重要意義,認識到對數(shù)在“簡化運算”中的作用;引發(fā)學生學習的強烈愿望,為第二課時“對數(shù)的運算”做好鋪墊.

例2納皮爾精確的對數(shù)定義來源于一個運動的幾何模型.為了便于同學們更好理解,我們簡化了他的模型.假設(shè)有兩個沿兩條直線運動的質(zhì)點.點P從起點A開始在線段AB上運動,同時點Q從起點C開始沿射線CD運動.設(shè)點P與終點B的距離PB=x(t),點Q與起點C的距離CQ=y(t).測量后知道:x(t)=2t,y(t)=3t.

(1)當點P運動了一段時間,PB=2時,點Q的位置?

(2)當點P運動了一段時間,PB=3時,點Q的位置?

學生:(1)當x=2時,t=1,則y=3.

教師:會解嗎?

學生搖頭.

教師:為了解決這個問題,我們引進對數(shù)的概念.把t稱為是以2為底3的對數(shù).

設(shè)計意圖：采用順應(yīng)式改編了歷史材料2——納皮爾的對數(shù),避免了繁雜的分析,問題通俗易懂,直接引出對數(shù)的概念的重要性,順理成章地進行對數(shù)概念的講解,也為以后學習對數(shù)函數(shù)的概念埋下伏筆.

教師:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么把指數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作x=logaN,a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).(強調(diào)了x是指數(shù).)

當a>0,且a≠1時,ax=N?x=logaN.

教師:對于例3的第(2)問,大家試試,現(xiàn)在能解決嗎?

學生:t=log23,則y=3log23.

教師:總結(jié)一下,對數(shù)是什么?

學生:①logaN是一個數(shù);②這個數(shù)記為x,則x=logaN滿足ax=N(x在指數(shù)位置).

設(shè)計意圖：課堂小結(jié)非常重要,它是學生學了一節(jié)課后對知識的梳理.根據(jù)教學經(jīng)驗可以知道,學生第一次接觸對數(shù)是很難理解的.總結(jié)對數(shù)的本質(zhì)是非常有必要的.

上文只是對數(shù)概念引入的教學設(shè)計,接下來的教學內(nèi)容就是用課本的題目鞏固和練習,在此就不詳細說明.

HPM的引入使學生對對數(shù)概念的理解更加深刻,對對數(shù)意義的領(lǐng)悟更加透徹.一開始問題的提出,造成學生心理的疑問,在適當?shù)臅r候及時解決,學生有一種茅塞頓開的感覺.