劉萬(wàn)強(qiáng) 肖夢(mèng)軍

(湖北省松滋市第一中學(xué))

有初速度的兩導(dǎo)體棒在電磁感應(yīng)問(wèn)題中,因安培力隨電流的變化而變化,運(yùn)動(dòng)情況較復(fù)雜,涉及電路、動(dòng)力學(xué)、動(dòng)量和能量多維度的知識(shí)綜合分析,能力要求高,試題的區(qū)分度好,成為命題者青睞的選題素材。本文把“有初速度的雙棒”問(wèn)題分成三種情況,分別以電路、動(dòng)力學(xué)、動(dòng)量和能量四個(gè)角度進(jìn)行歸類例析如下。

一、寬度恒定的導(dǎo)軌,一棒有初速度、一棒沒(méi)有初速度

【問(wèn)題情境】如圖1所示,光滑平行金屬導(dǎo)軌,兩根完全相同的金屬棒ab、cd(質(zhì)量m、電阻R、長(zhǎng)度l)導(dǎo)軌電阻不計(jì)。整個(gè)裝置處在豎直向下的強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,t=0時(shí)給ab一個(gè)向右的速度v0,試分析兩桿的運(yùn)動(dòng)、動(dòng)量和能量變化過(guò)程(假設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng),兩桿始終不相撞)。

圖1

圖2

【典例1】?jī)筛銐蜷L(zhǎng)的固定的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi),兩導(dǎo)軌間的距離為L(zhǎng)。導(dǎo)軌上放置兩根導(dǎo)體棒a和b,俯視圖如圖3所示。兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量均為m,電阻均為R,回路中其余部分的電阻不計(jì),在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi),有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌始終垂直接觸良好且均可沿導(dǎo)軌無(wú)摩擦地滑行,開始時(shí),兩棒均靜止,間距為x0,現(xiàn)給導(dǎo)體棒a一水平向右的初速度v0,并開始計(jì)時(shí),可得到如圖4所示的Δv-t圖像(Δv表示兩棒的相對(duì)速度,即Δv=va-vb。

圖3

圖4

(1)試證明：在0～t2時(shí)間內(nèi),回路產(chǎn)生的焦耳熱Q與磁感應(yīng)強(qiáng)度B無(wú)關(guān)。

(2)求t1時(shí)刻棒b的加速度大小。

(3)求t2時(shí)刻兩棒之間的距離。

【解析】(1)t2時(shí)刻開始,兩棒速度相等,由動(dòng)量守恒定律有2mv=mv0

所以在0～t2時(shí)間內(nèi),回路產(chǎn)生的焦耳熱Q與磁感應(yīng)強(qiáng)度B無(wú)關(guān)。

此時(shí)棒b所受的安培力F=BIL

由牛頓第二定律得棒b的加速度大小

0～t2時(shí)間內(nèi),對(duì)棒b,由動(dòng)量守恒有

而ΔΦ=BΔS=BL(x-x0)

二、寬度恒定的導(dǎo)軌,兩棒有相反初速度

【問(wèn)題情境】如圖5所示,光滑平行金屬導(dǎo)軌,兩根完全相同的金屬棒ab、cd(質(zhì)量m、電阻R、長(zhǎng)度l)導(dǎo)軌電阻不計(jì)。整個(gè)裝置處在豎直向下的強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,t=0時(shí)分別給ab、cd一個(gè)向右、向左的速度v1和v2,且v1>v2,試分析兩桿的運(yùn)動(dòng)、動(dòng)量和能量變化過(guò)程(假設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng),兩桿始終不相撞)。

圖5

圖6

圖7

【典例2】如圖所示,在水平面上有兩條足夠長(zhǎng)的平行導(dǎo)電導(dǎo)軌MN、PQ,導(dǎo)軌間距離L=1.0 m,勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌所在的平面(紙面)向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B=1.0 T,兩根導(dǎo)體棒a、b放置在導(dǎo)軌上,并與導(dǎo)軌垂直,它們的質(zhì)量均為m=1 kg,電阻均為R=0.5 Ω,兩導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良好,與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.2。t=0時(shí),分別給兩導(dǎo)體棒平行導(dǎo)軌向左和向右的速度,已知導(dǎo)體棒a的速度v1=2 m/s,導(dǎo)體棒b的速度v2=4 m/s,重力加速度g=10 m/s2,導(dǎo)軌電阻可忽略,最大靜摩擦力略大于滑動(dòng)摩擦力。

(1)求t=0時(shí)刻,導(dǎo)體棒a的加速度;

(2)求當(dāng)導(dǎo)體棒a向左運(yùn)動(dòng)的速度為零時(shí),導(dǎo)體棒b的速率;

(3)已知導(dǎo)體棒a向左運(yùn)動(dòng)的速度為零后,b向右運(yùn)動(dòng)s=0.35 m速度變?yōu)榱?求該過(guò)程經(jīng)歷的時(shí)間t和導(dǎo)體棒b產(chǎn)生的焦耳熱。

【答案】(1)8 m/s2,方向水平向右 (2)2 m/s

(3)0.825 s,0.65 J

【解析】(1)t=0時(shí)刻,兩導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌構(gòu)成回路,回路中的總電動(dòng)勢(shì)為

E=BL(v1+v2)=6 V

根據(jù)閉合電路歐姆定律可知回路中的電流為

對(duì)導(dǎo)體棒a,根據(jù)牛頓第二定律可得

BIL+μmg=ma

解得a=8 m/s2

t=0時(shí)刻,導(dǎo)體棒a的加速度大小為8 m/s2,方向水平向右。

(2)在導(dǎo)體棒a、b運(yùn)動(dòng)時(shí),兩導(dǎo)體棒受到的摩擦力大小相等,方向相反,根據(jù)左手定則可知兩導(dǎo)體棒受到的安培力也等大反向,兩導(dǎo)體棒組成的系統(tǒng)合力為零,滿足動(dòng)量守恒,以向右為正方向,當(dāng)導(dǎo)體棒a向左運(yùn)動(dòng)的速度為零時(shí),根據(jù)動(dòng)量守恒可得mv2-mv1=mv3

解得導(dǎo)體棒b的速率為v3=2 m/s

(3)導(dǎo)體棒b的速率為v3=2 m/s時(shí),回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E′=BLv3=2 V

導(dǎo)體棒a受到的安培力為

由題意最大靜摩擦力略大于滑動(dòng)摩擦力,則有

fmax>μmg=2 N

可知導(dǎo)體棒a的速度為零后,不再運(yùn)動(dòng),從導(dǎo)體棒a的速度為零至導(dǎo)體棒b的速度為零的過(guò)程,導(dǎo)體棒b受到的安培力沖量為

對(duì)導(dǎo)體棒b根據(jù)動(dòng)量定理可得

解得t=0.825 s

解得Q=0.65 J

三、寬度不同的導(dǎo)軌,一棒有初速度、一棒沒(méi)有初速度

【問(wèn)題情境】如圖8所示,光滑平行金屬導(dǎo)軌,左端導(dǎo)軌寬度為l,右端導(dǎo)軌寬度是左端寬度的一半,兩根完全相同的金屬棒ab、cd(質(zhì)量m、電阻R、長(zhǎng)度l)導(dǎo)軌電阻不計(jì)。整個(gè)裝置處在豎直向下的強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,t=0時(shí)給ab一個(gè)向右的速度v0,試分析兩桿的運(yùn)動(dòng)、動(dòng)量和能量變化過(guò)程(假設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng),兩桿始終不相撞,且始終在導(dǎo)軌上)。

圖8

圖9

圖10

(1)MN棒運(yùn)動(dòng)到導(dǎo)軌ab、ef的最右端時(shí),MN棒的速度大小;

(2)回路中電流再次為零時(shí),PQ棒最終產(chǎn)生的總熱量。

【解析】(1)MN棒從開始至運(yùn)動(dòng)到導(dǎo)軌ab、ef的最右端時(shí),對(duì)于MN,根據(jù)動(dòng)量定理有

-BI·2l·t=2mv1-2m·2v0

對(duì)于PQ,根據(jù)動(dòng)量定理有BI·l·t=mv2-0

由于MN棒運(yùn)動(dòng)到導(dǎo)軌ab、ef的最右端時(shí),回路中電流恰好為零,此時(shí)有v2=2v1

(2)當(dāng)MN棒運(yùn)動(dòng)到導(dǎo)軌ab、ef的最右端時(shí),系統(tǒng)產(chǎn)生的總熱量為

在這個(gè)過(guò)程中PQ棒產(chǎn)生的熱量為

當(dāng)MN棒運(yùn)動(dòng)到cd、gh導(dǎo)軌上至電流再次為零時(shí),MN、PQ棒的速度相等,根據(jù)動(dòng)量守恒定律有mv1+mv2=2mv

此過(guò)程系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量為

在這個(gè)過(guò)程中PQ棒產(chǎn)生的熱量為

PQ棒最終產(chǎn)生的總熱量為Q總=Q1+Q2

四、總結(jié)