魏素云　易桂生

一、APOS理論要義

APOS理論是由美國的杜賓斯基等人在數(shù)學(xué)教育與研究實踐中發(fā)展形成的.該理論依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的心理建構(gòu)過程，提倡教師在教學(xué)中，應(yīng)以學(xué)生為主體，讓學(xué)生主動探究、理解和掌握知識.其教學(xué)流程如圖所示：

“操作”階段（Action），學(xué)生需要通過操作來感知事物，理解所學(xué)內(nèi)容的意義.通過操作，學(xué)生對何為函數(shù)零點和零點存在的條件會有一定的感性認識，同時，教師應(yīng)向?qū)W生提供符合函數(shù)零點存在性定理學(xué)習(xí)的材料或者情景動畫，并相應(yīng)地設(shè)計出適合學(xué)生探究的學(xué)習(xí)活動，由此為歸納概括所學(xué)概念提供建構(gòu)的固著點.

“過程”階段（Process），強調(diào)學(xué)習(xí)者應(yīng)把“操作”階段中的感受進行反省內(nèi)化.老師教學(xué)中，可以用問題串的形式，幫助學(xué)生從操作對象中跳出來，引發(fā)學(xué)生的思維逐步深入.

“對象”階段（Object），學(xué)生通過對數(shù)學(xué)活動的思考、分析、比較及抽象之后得到函數(shù)零點的概念和零點存在性定理的條件，并在教師的引導(dǎo)下能用較嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)語言準確地表述出其定義及存在性定理.

“圖式”階段（Scheme），學(xué)習(xí)者頭腦中函數(shù)零點相關(guān)內(nèi)容將以一種綜合的圖式呈現(xiàn)，并在其知識體系中占據(jù)獨特的位置.這一階段，學(xué)生對函數(shù)零點的概念有較為完整的認知結(jié)構(gòu)或認知框架，教師在教學(xué)中相應(yīng)地應(yīng)可通過練習(xí)讓學(xué)生達到對函數(shù)零點存在性定理的理解，由此幫助學(xué)生形成零點概念的整體圖式.

二、教學(xué)目標(biāo)及重、難點

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）能在結(jié)合具體的實例中，掌握函數(shù)零點的定義.

（2）能借助操作活動，歸納總結(jié)出“函數(shù)零點存在性定理”，并能理解該定理的條件.

（3）在辨析和操作的過程中感悟其數(shù)學(xué)思想方法，并養(yǎng)成嚴謹性的學(xué)習(xí)習(xí)慣、提高數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng).

2.重點：函數(shù)零點存在性定理.

3.難點：函數(shù)零點存在條件的探究.

三、定理的教學(xué)過程

1.新課引入

問題1 2x－y－6=0表示什么？x=3表示什么？

預(yù)設(shè)：2x－y－6=0表面上看是方程.同時x=3也是二元一次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo).

問題2 方程2x+2x－6=0是否有實根？

預(yù)設(shè)：部分學(xué)生會把該方程轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)y=2x與y=－2x+6，再數(shù)形結(jié)合判定出方程根所在的區(qū)間范圍，也有學(xué)生想通過作出y=2x+2x－6的圖像，但發(fā)現(xiàn)很困難.

設(shè)計意圖：問題1主要是為函數(shù)零點概念做鋪墊，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生認識到方程與函數(shù)之間的特殊關(guān)系.問題2則是引發(fā)學(xué)生的認知沖突.

2.感知定理

方程和函數(shù)可以互相轉(zhuǎn)化，求方程的根就是求函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo).

讓我們在直角坐標(biāo)系中畫一畫，以線條來代替函數(shù)曲線，怎樣畫曲線才能與x軸有交點？

預(yù)設(shè)：師生根據(jù)圖像，選擇有交點的情況，并引導(dǎo)學(xué)生進行分類討論.

問題3 什么條件下與x軸一定有交點呢？

預(yù)設(shè)：端點一上一下的時候.

問題4 在直角坐標(biāo)系中怎樣判斷端點是在x軸一側(cè)呢？

預(yù)設(shè)：根據(jù)函數(shù)值的符號來判斷.

問題5 我們?nèi)绾斡靡粋€統(tǒng)一的式子來表達A、B兩點函數(shù)值是異號呢？

問題6 具備上述特征的函數(shù)y=fx的圖像與x軸在區(qū)間a，b上一定有交點嗎？

設(shè)計意圖：將函數(shù)零點存在性定理作為解決課堂探究問題的過程性知識，讓學(xué)生在動態(tài)操作中觀察，探索和發(fā)現(xiàn)函數(shù)端點處的函數(shù)值，函數(shù)連續(xù)性對定理的影響.

3.定理形成

總結(jié)：對于函數(shù)y=f（x），把使f（x）=0的實數(shù)x叫做函數(shù)的零點.若函數(shù)y=fx在閉區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即f（a）·f（b）<0，則f（x）在區(qū)間a，b內(nèi)至少有一個零點.

設(shè)計意圖：關(guān)注學(xué)生判定定理的形成過程，通過問題串，引導(dǎo)學(xué)生的思維逐漸深入，經(jīng)歷從具體到抽象并歸納總結(jié)出零點的判定定理.

4.定理辨析

結(jié)合函數(shù)圖象，判斷以下命題的正誤性，若不正確，請通過函數(shù)圖像舉出反例.

（1）若函數(shù)y=fx 在a，b上滿足f（a）·f（b）<0，則它在區(qū)間a，b內(nèi)一定有零點.

（2）若函數(shù)y=f（x）在a，b上的圖象連續(xù)，且它在區(qū)間a，b內(nèi)有零點，則f（a）·f（b）<0.

（3）若函數(shù)y=f（x）在a，b上的圖象連續(xù)，且f（a）·f（b）<0，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間a，b內(nèi)存在唯一零點.

設(shè)計意圖：通過以上判斷既是對學(xué)習(xí)活動情況的總結(jié)，又是對函數(shù)零點存在性定理作進一步的認識，（1）函數(shù)圖象連續(xù)；（2）結(jié)論不可逆；（3）零點個數(shù)不確定.由此讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能達到概念的精致化目的.

5.定理運用

另一方面，由于2x單調(diào)遞增而2x－6也單調(diào)遞增，因此fx=2x+2x－6單調(diào)遞增，所以該函數(shù)在1，2內(nèi)恰有一個零點.

預(yù)設(shè)：本變式可通過學(xué)生練習(xí)并板書講解完成.

設(shè)計意圖：本例題及變式目的是強化通過兩個函數(shù)圖象的交點問題，解決根的存在及個數(shù)問題，并將函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)零點融入其中形成知識組塊.

四、結(jié)語

APOS理論強調(diào)在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該關(guān)注過程，教師要給學(xué)生抽象概括的機會，讓學(xué)生從大量的事例中觀察、分析、抽象概括出它們的本質(zhì)屬性.教學(xué)中應(yīng)突出強調(diào)學(xué)生應(yīng)經(jīng)歷一個從“形”到“數(shù)”的認識過程.由此達到深入把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).在教學(xué)中教師重點在于促進學(xué)生的思考，設(shè)計出以知識的產(chǎn)生和發(fā)現(xiàn)的主線、并以知識產(chǎn)生的必要性與合理性為著力點，努力用問題引導(dǎo)實施教學(xué).