徐偉　彭艷貴

研究性學(xué)習(xí)是學(xué)生以某些特定課題為基礎(chǔ)進(jìn)行探索研究的一種學(xué)習(xí)方式，在高中數(shù)學(xué)范圍進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)符合教育目標(biāo)的基本要求，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力，促進(jìn)學(xué)生核心能力與綜合素養(yǎng)的發(fā)展，因此，有效開展研究性學(xué)習(xí)是重要的.從數(shù)學(xué)研究的傳統(tǒng)來看，數(shù)學(xué)家的研究大體分為純粹數(shù)學(xué)理論研究和應(yīng)用數(shù)學(xué)研究兩個方向.與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究相應(yīng)，高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)開展數(shù)學(xué)建?；顒?數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)應(yīng)用等方面的教育價值雖得到普遍認(rèn)可，但從高中教學(xué)的實(shí)際情況來看，建?；顒拥拈_展并不普遍.其中的原因，一方面是教師的指導(dǎo)能力和研究條件等還不能滿足需要；另一方面是由于高考應(yīng)試的原因?qū)е赂咧薪虒W(xué)進(jìn)度較快，教與學(xué)的壓力較大，特別的，建?；顒訉δ芰Φ呐囵B(yǎng)對應(yīng)試能力提高是否有促進(jìn)作用對于高中師生而言可能還存有疑問.類比于數(shù)學(xué)家從事純粹數(shù)學(xué)理論研究課題的確定方式，可以從教學(xué)中的理論知識和例習(xí)題中挖掘問題供開展研究性學(xué)習(xí)用.這樣做有幾點(diǎn)明顯的好處：（1）不需要過多的額外教學(xué)資源；（2）有利于理解教學(xué)內(nèi)容；（3）從研究活動所獲得的能力有助于常規(guī)解題能力的提高，可有效避免大量“刷題”所帶來的低效學(xué)習(xí)；（4）有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)研究傳統(tǒng)，理解數(shù)學(xué)家提出問題的方法和追求不變性、不變量等結(jié)果簡明的價值判斷；（5）提高學(xué)生綜合的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

作為教師最好有過數(shù)學(xué)研究的親身經(jīng)歷，特別的，有初等數(shù)學(xué)的研究經(jīng)歷，或者有編擬例習(xí)題或試題的經(jīng)歷，如此，教師才能熟悉研究性學(xué)習(xí)活動中的數(shù)學(xué)研究方式方法，從而有利于活動的開展.教師需要對所研究的課題有一定的了解，能夠初步預(yù)見可能的研究結(jié)果，從而把研究性學(xué)習(xí)活動限制在可控的范圍內(nèi).一般的研究方法：（1）把已有的概念、命題及例習(xí)題做出推廣，這是常用的數(shù)學(xué)問題提出的方法；（2）溝通兩個知識主題的聯(lián)系；（3）將一個知識主題所獲得的知識應(yīng)用于其它領(lǐng)域，等等.早期的高中教材中有這樣一題：過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的一條直線和這拋物線相交，兩個交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1，y2，求證：y1·y2=－p2.此題在人教B版（2004）高中教材選修2-1（解析幾何）中改為：過拋物線y2=2pxp>0焦點(diǎn)的一條直線與這條拋物線相交與A，B兩點(diǎn).求證：這兩個交點(diǎn)到x軸的距離的乘積是常數(shù).如此改動是有其深意的，它弱化了問題的代數(shù)意義而突出了問題的幾何特征.新人教B版（2020）選擇性必修一教材中仍原樣保留了該習(xí)題.

文［1］中一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師指出：多數(shù)學(xué)生做該題時，并沒有認(rèn)識到該題所涉及的結(jié)論實(shí)質(zhì)上是拋物線焦點(diǎn)弦的一個幾何性質(zhì).因此，盡管做了此題，學(xué)生也不能從拋物線焦點(diǎn)弦的高度解決一些其他有關(guān)問題，更談不上掌握解決這類問題的規(guī)律.按波利亞的說法，一個好題目，解決它，可以打開一道門戶，指引我們通向一個完整的數(shù)學(xué)理論.對于教師而言，在求解問題時不能僅著眼于運(yùn)用知識方法解決問題，更應(yīng)在數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)意義上把握對此問題的理解，并在此基礎(chǔ)上開展進(jìn)一步的理論意義上的探究.從教學(xué)和應(yīng)試意義下考慮，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生以此問題為線索，開展專題的研究性學(xué)習(xí)，挖掘拋物線焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)，并掌握解決這一類問題的方法和規(guī)律.同時，將理論專題研究的結(jié)果作為解后反思、題組（變式）訓(xùn)練的出發(fā)點(diǎn).

拋物線焦點(diǎn)弦問題及其推廣在教材中及以往的高考試題中都有所體現(xiàn)，這就為研究性學(xué)習(xí)提供了素材.一方面，研究此類問題從知識、方法的運(yùn)用角度講是適當(dāng)?shù)?，難度也合適，也能體現(xiàn)出一定的數(shù)學(xué)研究方式方法及價值判斷；另一方面，探究活動所獲得的題型知識和解題能力對應(yīng)試的支持作用也是顯而易見的.

1.以拋物線焦點(diǎn)弦問題的探究為例看研究課題的提出文［2］給出了拋物線焦點(diǎn)弦的一個性質(zhì)：

命題1 過拋物線焦點(diǎn)弦兩個端點(diǎn)的切線的交點(diǎn)必在準(zhǔn)線上，反之亦成立.

推廣1 將命題1中的焦點(diǎn)換作一般的定點(diǎn)，即將命題1的推廣作為研究課題，再看看命題2所得結(jié)論能否在推廣的命題中被繼承下來.已知拋物線x2=2pyp>0，過點(diǎn)M（0，m）（m>0）的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，過A、B的拋物線的切線交于點(diǎn)P，當(dāng)直線l繞M點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，證明：動點(diǎn)P的軌跡為直線y=－m.反之亦成立.再進(jìn)一步研究直線PM與AB可能的位置關(guān)系.

推廣2 已知拋物線x2=2pxp>0，如果將y軸上定點(diǎn)進(jìn)一步改為一般的定點(diǎn)Mm，n（M點(diǎn)在拋物線內(nèi)部），過點(diǎn)M的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，過A、B的拋物線的切線交于點(diǎn)P，當(dāng)直線l繞M點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，看動點(diǎn)P的軌跡是否仍是直線及直線位置如何？反之，給定一條直線，由直線上的點(diǎn)向拋物線作兩條切線，問題是切點(diǎn)的連線是否過定點(diǎn).

2.探究橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)弦問題

推廣3 將拋物線焦點(diǎn)弦?guī)缀涡再|(zhì)命題1、命題2及課題1、2的結(jié)果移植到橢圓和雙曲線上，可引導(dǎo)學(xué)生提出下列命題并探究這些命題是否成立.再進(jìn)一步將下面命題當(dāng)做研究對象，以此為基礎(chǔ)展開新的課題探究.

命題3 過橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)F（c，0）弦的兩個端點(diǎn)A、B的切線的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x=a2c上，同時PF⊥AB，PA⊥PB.

命題4 過M（m，0）（0b>0）的弦AB，則過A、B的切線的交點(diǎn)P在直線x=a2m上.

命題5 過雙曲線x2a2－y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)F（c，0）弦的兩個端點(diǎn)A、B的切線的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x=a2c上，同時PF⊥AB，PA⊥PB.

命題6 過M（m，0）（m>a）作雙曲線x2a2－y2b2=1（a>b>0）的弦AB，則過A、B的切線的交點(diǎn)P在直線x=a2m上.

考慮到橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線位置的特殊關(guān)系，即有c·a2c=a2，可聯(lián)想到平面幾何的反演問題.參閱文［3］知：所謂反演，就是對于固定點(diǎn)O，若有點(diǎn)P′與P，恒有一常數(shù)k，使OP′·OP，則稱P′與P互為反演點(diǎn)，進(jìn)而定義反演圖形；只考慮k>0情形，可用圓（基圓）作為反演變換的幾何解釋；反演的一條性質(zhì)是：過反演中心O的圓（半徑小于基圓的半徑）的反演圖形是直線.

推廣4 將圓的反演變換問題與前述命題1-6結(jié)合起來，研究利用橢圓、雙曲線及拋物線實(shí)施反演變換的問題.具體提出以下命題作為研究的素材.

命題7 對于橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），橢圓中心為O，右焦點(diǎn)為F（c，0），P′為以O(shè)F為直徑的圓上任一點(diǎn)（除F點(diǎn)），過F作弦AB⊥P′F，過A、B的切線的交點(diǎn)為P，則P點(diǎn)在準(zhǔn)線x=a2c上，且有OP′·OP=a2.

命題8 對于雙曲線x2a2－y2b2=1（a>b>0），雙曲線中心為O，右焦點(diǎn)為F（c，0），E為右頂點(diǎn).P′是以EF為直徑的圓上任一點(diǎn)（除F點(diǎn)），過F作弦AB⊥P′F，過A、B的切線的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P在準(zhǔn)線x=a2c上，且有OP′·OP=a2.

命題9 對于拋物線y2=2px（p>0），焦點(diǎn)為F，P′是以O(shè)F為直徑的圓上任一點(diǎn)（除F點(diǎn)），過F作弦AB⊥P′F，過A、B的切線的交點(diǎn)為P，則P點(diǎn)在準(zhǔn)線x=－p2，且有FP′·FP=p22.

推廣5 對命題7的進(jìn)一步思考，教師可引導(dǎo)學(xué)生提出下列命題.

命題10 對于橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），橢圓中心為O，過M（m，0）（0

命題11 對于雙曲線x2a2－y2b2=1（a>b>0），雙曲線中心為O，過M（m，0）（m>a）的弦AB兩個端點(diǎn)的切線的交點(diǎn)為P，連結(jié)OP與弦AB交于P′，當(dāng)點(diǎn)P的軌跡為直線x=a2m時，P′的軌跡是以O(shè)M為長軸，離心率同樣為e=ca的雙曲線（右支）.

高中數(shù)學(xué)研究性課題的確立除了考慮與教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系及課題的難易程度與學(xué)生能力的匹配之外，還要考慮研究結(jié)果的創(chuàng)新性問題.我們認(rèn)為，對課題研究結(jié)果的創(chuàng)新性不宜以學(xué)術(shù)意義上的創(chuàng)新為標(biāo)準(zhǔn)，相對于學(xué)生所接觸的數(shù)學(xué)理論知識、方法和實(shí)際能力而言有新意即可.

參考文獻(xiàn)

［1］李建才.中學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)基本功講座［M］.北京師范學(xué)院出版社，1991.

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［3］梁紹鴻.初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）［M］.人民教育出版社，1979.