萬(wàn)廣磊

通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，同學(xué)們將會(huì)知道，利用證明，我們能夠有理有據(jù)地闡述問(wèn)題，以理服人，這體現(xiàn)了邏輯推理的強(qiáng)大力量，也培養(yǎng)了我們終身需要的科學(xué)態(tài)度和理性精神。

一、明晰有關(guān)概念及聯(lián)系

在本章的學(xué)習(xí)中，我們將了解定義、命題、基本事實(shí)、定理、推論等有關(guān)概念。

對(duì)名稱(chēng)或術(shù)語(yǔ)的含義進(jìn)行描述或做出規(guī)定，就是給出它們的定義。比如，“平行線”的定義是“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線”。

命題是判斷一件事情的語(yǔ)句，一般結(jié)構(gòu)是“條件+結(jié)論”。比如，“兩條平行線被第三條直線所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”，條件是“兩條平行線被第三條直線所截”，結(jié)論是“同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”。

命題有真有假。如果命題的條件成立，那么結(jié)論成立，像這樣的命題叫作真命題。如兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；如果a＞b，b＞c，那么a＞c；對(duì)頂角相等。如果命題的條件成立時(shí)，不能保證結(jié)論總是正確的，也就是說(shuō)結(jié)論不成立，像這樣的命題叫作假命題。如同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；如果a＞b，那么ac＞bc。

每一個(gè)命題都有逆命題。對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題叫作互逆命題。其中一個(gè)命題叫作原命題，另外一個(gè)命題叫作原命題的逆命題。比如，“兩直線平行，同位角相等”的逆命題是“同位角相等，兩直線平行”。

需要特別說(shuō)明的是，原命題的真假與逆命題的真假?zèng)]有必然聯(lián)系。原命題為真，逆命題未必為真。比如，真命題“對(duì)頂角相等”的逆命題是“相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角”，這顯然是假命題。

基本事實(shí)（公理）是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的、正確的命題，它不需要證明。例如，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)幾個(gè)基本事實(shí)：①兩點(diǎn)確定一條直線；②兩點(diǎn)之間，線段最短；③經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行；④過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線垂直；⑤同位角相等，兩直線平行；等等?；臼聦?shí)可以作為證明其他真命題的依據(jù)。如應(yīng)用基本事實(shí)“兩直線平行，同位角相等”，可以推導(dǎo)出“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”和“同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”。

定理是根據(jù)基本事實(shí)推導(dǎo)出來(lái)的真命題，都是最基本的和常用的，也有許多經(jīng)過(guò)證明的真命題沒(méi)有被選作定理。因此，定理都是真命題，而真命題不都是定理。例如，“若∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3”，這就是一個(gè)真命題，但不能說(shuō)它是定理。

此外，推論是由基本事實(shí)和定理推出的結(jié)論，往往比定理的限制條件多一些。比如，由三角形內(nèi)角和定理“三角形的內(nèi)角和等于180°”得到的推論有“直角三角形兩個(gè)銳角互余”和“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”。因此，推論是定理的特殊情況。

綜上，定義、基本事實(shí)、定理、推論都是真命題。

二、明白證明的必要性

學(xué)習(xí)幾何離不開(kāi)觀察和實(shí)驗(yàn)。幾何中研究物體的形狀、大小、位置關(guān)系等，許多都是通過(guò)觀察進(jìn)行的。例如，我們?cè)谛W(xué)數(shù)學(xué)里觀察過(guò)一些三角形三個(gè)角的和，并運(yùn)用實(shí)驗(yàn)（剪拼）的方法，得到“三角形三個(gè)角的和等于180°”這個(gè)結(jié)論。但是，從觀察和實(shí)驗(yàn)得到的認(rèn)識(shí)是初步的，往往是不全面的、不深入的。是不是所有的三角形都是這樣的？為什么每個(gè)三角形三個(gè)角的和必然是180°呢？這就要在觀察的基礎(chǔ)上，有理有據(jù)地說(shuō)明理由，這就是推理。推理不僅可以使我們從觀察實(shí)驗(yàn)得到的知識(shí)更全面、更深入，而且可以進(jìn)一步得到一些新知識(shí)。

根據(jù)已知的真命題，確定某個(gè)命題真實(shí)性的過(guò)程叫作證明。證明要做到言必有據(jù)，往往需要我們從一些關(guān)聯(lián)的條件出發(fā)，應(yīng)用一定的知識(shí)，通過(guò)分析、推理，然后做出正確的判斷。

在幾何中，除了基本事實(shí)外，不管命題的結(jié)論多么明顯，都必須通過(guò)推理來(lái)證明。這是因?yàn)橹庇^有時(shí)會(huì)造成錯(cuò)覺(jué)，并不永遠(yuǎn)可信。通過(guò)對(duì)少數(shù)具體例子進(jìn)行觀察和測(cè)量得出的結(jié)論，不能保證在一般情況下都成立，因而有些圖形的性質(zhì)并不能通過(guò)測(cè)量得出。

因此，在幾何中，除了公理以外，任何一個(gè)命題的正確性，只有在進(jìn)行了推理、論證以后，才會(huì)得到認(rèn)可，而這種推理、論證，就是借助于演繹推理來(lái)進(jìn)行的。最重要的是，通過(guò)推理的方法來(lái)研究圖形的性質(zhì)，不僅可以掌握許多無(wú)法通過(guò)觀察、度量得到的性質(zhì)，而且可以揭示這些性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于我們對(duì)幾何圖形的進(jìn)一步研究。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué)）