陳鑄　李恒

摘要：設計了一款并聯(lián)驅動式下肢外骨骼機構，髖關節(jié)采用3-UCU型并聯(lián)機構，膝關節(jié)采用UCU-R型并聯(lián)機構，踝關節(jié)為欠驅動球鉸機構，計算出機構自由度并進行奇異性分析，機構在工作空間內不存在正、逆解奇異。采用多體系統(tǒng)理論對外骨骼機構進行運動分析，推導出同一坐標系下各部件上任意參考點的相對位置計算方法，建立機構位姿正逆解數(shù)學模型，借助MATLAB軟件對外骨骼并聯(lián)機構的工作空間和驅動軸行程進行了數(shù)學編程仿真分析，結果顯示，機構工作空間形狀緊湊連續(xù)，沒有明顯空洞，因此該機構工作性能良好。采用PSO算法進行位姿正解，驗證了正、逆解算法的結果一致性。

關鍵詞：3-UCU；并聯(lián)驅動；下肢外骨骼；運動學；奇異性；工作空間；PSO算法

中圖分類號：TH112 文獻標志碼：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.03.011

文章編號：1006-0316 （2023） 03-0072-09

Kinematic Analysis of 3-UCU Parallel Driven Lower Limb Exoskeleton Mechanism

CHEN Zhu，LI Heng

（ School of Mechanical Engineering， Sichuan University， Chengdu 610065， China ）

Abstract：A parallel driven lower limb exoskeleton mechanism is designed by using 3-UCU parallel mechanism for the hip joint， UCU-R parallel mechanism for the knee joint ， and underactuated spherical joint mechanism for the ankle joint. The degree of freedom of the mechanism is calculated and the singularity is analyzed. There is no forward and inverse singularity in the workspace. The multi-body system theory is used to analyze the motion of exoskeleton mechanism， and the relative position calculation method is adopted to derive any reference point on each component in the same coordinate system. The forward and inverse mathematical model of the mechanism is established. The mathematical programming simulation analysis of the workspace and the drive shaft stroke of exoskeleton parallel mechanism is carried out by using MATLAB software. The results show that the shape of the workspace of the mechanism is compact and continuous without obvious cavity， so the mechanism has good working ability. PSO algorithm is applied to the position forward solution， and the consistency of the results of the forward and inverse solution algorithm is verified.

Key words：3-UCU；parallel driven；lower limb exoskeleton；kinematic；singularity；workspace；PSO algorithm

外骨骼機器人是一種適應人體運動狀態(tài)的可穿戴式機器人，常用以增強人體運動體能、提供運動防護、幫助老弱殘障人士順利行走、輔助康復訓練以及負重搬運操作等[1]。外骨骼機器人的關節(jié)機構及驅動方式，決定其運動形式和性能、控制方式及策略，是研究過程中需要首先解決的關鍵問題之一[2]。并聯(lián)機構具有結構剛度大、動力性能好、輸出精度高、自重負荷比小、控制容易等優(yōu)點，將并聯(lián)機構應用到外骨骼機器人的結構設計中具有較好的實用優(yōu)勢和發(fā)展?jié)摿?，也可與串聯(lián)機器人互補，擴展外骨骼機器人的應用場景[3-4]。

機構位姿正逆解是外骨骼機構運動控制的研究基礎。并聯(lián)機構位姿逆解相對容易，而正解通常為非線性問題，求解難度較大，可采用數(shù)值優(yōu)化方法對機構位姿正解進行研究。優(yōu)化方法將非線性方程組的求解轉化為優(yōu)化問題求解，主要有神經網絡法[5]、遺傳算法[6]和粒子群算法[7]。其中優(yōu)化算法理論上可以根據(jù)機構的約束關系得到并聯(lián)機構的全部位置正解，但對算法設計和計算機有一定要求。

通過對機構位姿正解可求得機構的工作空間，用于分析機構工作靈活性、確定驅動部件行程范圍、避開機構奇異形位等[12-14]。并聯(lián)機構的工作空間相比同行程的串聯(lián)機構較小，常采用數(shù)值法求解，在一定精度范圍內可作為設計參考。

對并聯(lián)機構進行位姿正逆解，需先建立機構運動的數(shù)學模型，便于機構描述和計算，此處機構運動學建模方法采用多體系統(tǒng)理論。多體系統(tǒng)是由多個剛體或柔體通過某種方式連接而成的機械系統(tǒng)，在多體系統(tǒng)中根據(jù)拓撲結構將任一個體通過低序體陣列追溯到慣性參考系中，得到它在慣性參考坐標系中的位置和運動關系[8]。大量實踐證明，多體系統(tǒng)理論能較為全面綜合地對復雜機械系統(tǒng)進行運動分析[9]。

1 建模理論

采用經典的多體系統(tǒng)理論建立外骨骼機構的綜合運動學模型。根據(jù)所設計的外骨骼結構空間形狀與幾何尺寸關系，建立用于全局參考的基準坐標系和局部坐標系?；鶞首鴺讼到⒃谙鄬θ梭w骨盆靜止的部件上，局部坐標系建立在其他可獨立運動的部件上。在各運動部件上依次建立基準及局部坐標系S1、S2、S3、S4，其原點為運動部件上關節(jié)球心初始位置，采用右手笛卡爾坐標系，且初始位置各局部坐標系三個坐標軸方向與基準坐標系的對應坐標軸方向一致。

多體系統(tǒng)中相鄰個體之間的局部坐標系變換使用Denavit-Hartenberg齊次變換矩陣描述，局部坐標系中的位置和方向關系均可通過坐標變換矩陣轉化為基準坐標系S1中的相應關系。多體系統(tǒng)中的變換矩陣包括理想位置變換矩陣 、位置誤差變換矩陣 、理想運動變換矩陣 以及運動誤差變換矩陣 ，則坐標系Si到坐標系Sj的變換矩陣可以表示為：

式中，每個矩陣都可以由基本的運動變換矩陣或誤差矩陣得到。

根據(jù)基本運動變換矩陣可知，若坐標系Si先沿X軸平移距離x，再沿Y軸平移距離y，最后沿Z軸平移距離z，按先繞Z軸、再繞Y軸、最后繞X軸的順序分別旋轉 、 、 角度得到坐標系Sj，則Si到Sj的平移旋轉綜合變換矩陣為：

式中：c為cos；s為sin。

系統(tǒng)中個體Bi沿著低序體Bj的特定坐標軸方向做平移運動時，其在各軸方向上的實際位移與理想位移存在三個軸方向上的位置誤差 、 、 ，同時還存在繞三個軸旋轉的角度誤差 、 、 ；以及制造安裝的精度導致裝配完成后存在位置誤差 、 、 ，垂直度誤差 、 、 ，相鄰個體部件裝配完成的坐標系原點距離Sx、Sy、Sz，在建模時將垂直度誤差當做轉角誤差元素處理。將以上誤差代入基本運動變換矩陣中，并近似取cos ＝1、sin ＝ ，忽略 高階無窮小量，得到B2沿著B1運動時的4個變換矩陣如式（3）～（6）所示。

式中： 、 為肢體末端固定參考點位置齊次向量； 為 轉換為基準坐標系下理論位置齊次向量； 為 轉換為基準坐標系下實際位置齊次向量；齊次向量末元素1參與矩陣計算；n為肢體運動部件數(shù)；i＝1， 2， …， n－1。

2 外骨骼機構運動學模型

2.1 機構描述

根據(jù)人體骨骼結構和運動特性，可將單腿骨骼簡化為SRS型連桿機構（SRS表示由2個球副S和1個轉動副R按字母順序串聯(lián)而成的運動鏈），分別對應髖關節(jié)球面副3個旋轉自由度[16]、膝關節(jié)轉動副1個旋轉自由度、踝關節(jié)球面副3個旋轉自由度，單邊下肢一共7個自由度。雙下肢結構左右對稱，如圖1所示。

為保證隨人體運動的靈活性，外骨骼機構自由度應不小于人體骨骼自由度。以股骨運動為例，骨盆為機架，股骨繞髖關節(jié)球心作一定范圍內的3自由度旋轉運動，由于人體肌肉等軟組織干涉限制，外骨骼機構的關節(jié)無法與人體骨骼關節(jié)球心重合，股骨固定部件需相對骨盆固定部件有空間6自由度，才能滿足協(xié)調隨動需求。理想簡化情況下膝關節(jié)只有一個旋轉自由度，可使外骨骼膝關節(jié)軸線與其共線，即可滿足隨動需求。根據(jù)以上思路設計了下肢外骨骼機構簡圖，如圖2所示[10]，其中髖板連接外骨骼骨盆環(huán)與人體骨盆相對固定，作為機架，髖板與股骨板之間為3-UCU型并聯(lián)機構（UCU表示由2個虎克鉸U副和1個圓柱C副按字母順序串聯(lián)而成的運動鏈），提供5個旋轉自由度和1個直線自由度，易知股骨板相對髖板有6個空間自由度。并聯(lián)UCU鏈為冗余約束，可任意擴展數(shù)量或位置而不增加股骨板的自由度，便于布置驅動軸。股骨板與脛骨板之間為UCU-R型并聯(lián)機構（即1個UCU鏈和1個R副并聯(lián)），脛骨板相對股骨板有1個旋轉自由度。脛骨板與鞋板之間通過球鉸連接，有3個旋轉自由度，由于踝關節(jié)運動幅度和機構布置空間較小，采用欠驅動關節(jié)，鞋板隨足部運動時僅保證鞋板支撐面與足底平行，以滿足直立行走等大部分運動情況下的支撐需求。根據(jù)修正G-K（Grubler-Kutzbach，格魯布利爾準則與庫茲貝奇準則）公式計算為[17]：

式中：F為下肢外骨骼機構的自由度；d為機構階數(shù)；n為構件總數(shù)；g為運動副總數(shù)； 為第i個運動副的自由度數(shù)；v為機構中并聯(lián)冗余約束； 為機構局部自由度。

已知：d＝6，n＝8，g＝14， ＝28，v＝24，ζ＝0。

計算得：F＝10。

即，整個下肢外骨骼機構需要10個原動驅動軸才能完全確定機構姿態(tài)。

而此處踝關節(jié)為欠驅動關節(jié)，則需股骨板和脛骨板上共7個驅動軸。

2.2 坐標系建立

以人體髖關節(jié)球心連線中點為坐標原點，直立狀態(tài)下，豎直向上為z軸方向、水平向人體右側為x軸方向、水平向前為y軸方向建立骨盆基準坐標系S1。右股骨坐標系S2原點在股骨頭球心、右脛骨坐標系S3原點在膝關節(jié)球心（膝關節(jié)運動簡化為單旋轉運動）、右足坐標系S4原點在踝關節(jié)球心。類似地有左股骨坐標系S2L、左脛骨坐標系S3L、左足坐標系S4L。

理想穿戴情況下，外骨骼髖板部件與人體骨盆相對位置固定，外骨骼基準坐標系Sp與人體骨盆坐標系S1重合。根據(jù)零部件結構形狀，右髖板坐標系SHip原點在髖板關節(jié)球心，右股骨板坐標系SThigh原點在股骨板頭關節(jié)球心，右脛骨板坐標系STibia原點在脛骨板頭關節(jié)球心，右鞋板坐標系SShoe原點在鞋頭關節(jié)球心。類似地有左肢部件坐標系SHipL、SThighL、STibiaL、SShoeL。根據(jù)零部件尺寸、裝配關系和人體運動關節(jié)確定外骨骼各機構局部坐標系的轉換矩陣[13-15]。如圖3、圖4所示。

2.3 參考點與驅動軸長度

為描述股骨板運動狀態(tài)并假定其與人體股骨運動狀態(tài)一致以便計算并聯(lián)驅動軸的長度，先選定股骨板上一參考點P，可令其位于股骨板上靠近膝關節(jié)固定環(huán)位置。參考點在股骨坐標系中的位置 由股骨板固定。根據(jù)股骨繞骨盆旋轉的角度 、 、 和股骨頭球心在骨盆坐標系中的位置 ，可得：

式中： 為參考點在骨盆坐標系中的位置。

股骨板與骨盆之間3個直線驅動軸 、 、 （下標ABC表示并聯(lián)的不同軸），在骨盆上連接端點 ＝ 、 ＝ 、 ＝ ，其中 、 表示 與S1、Sp部件連接點。在股骨板上連接端點 ＝ － 、 ＝ － 、 ＝ － ，其中 為 與SThigh部件連接點距離、 為S2與SThigh原點距離， 、 可在初始狀態(tài)下由股骨板結構尺寸和股骨板頭與髖關節(jié)距離測得，轉換到同一坐標系下計算驅動軸長度，為：

同理，脛骨板與股骨板之間1個直線驅動軸 ，在股骨板固定環(huán)上連接端點 ＝ － ，在脛骨板上連接端點 ＝ ，在同一坐標系下計算驅動軸長度，為：

2.4 機構驅動軸逆解

外骨骼機構的位姿逆解即根據(jù)人體下肢各關節(jié)運動角度 、 、 （i＝1， 2， 3，j＝i＋1）和人體與機構尺寸關系，求得人體運動轉換矩陣及各關節(jié)空間位置，進而求得機構各驅動軸定位數(shù)值的過程。反之，通過機構各驅動軸直線或旋轉行程求得人體下肢各關節(jié)運動角度的過程為位姿正解。

由于參考點通過連接件與人體骨骼在骨骼關節(jié)坐標系中相對位置固定，人體骨骼正常狀態(tài)下只相對人體關節(jié)轉動而不會相對參考點轉動，在參考點位置固定時，人體骨骼理論上只能以人體關節(jié)球心與參考點連線為軸線旋轉，在實際情況下由于人體骨骼、肌肉生理構造與外骨骼關節(jié)部件的運動干涉，這種旋轉運動范圍很小且阻力臂較大，可以作為欠約束的冗余自由度，由人體關節(jié)或其他不承受主要負載的運動副約束[11]。則參考點位置與參考點連接件相對肢體部件的三維角度，可以是由人體運動約束確定的完全映射關系，只需通過3個驅動軸定位數(shù)值確定參考點位置，即可通過映射關系確定參考點連接件的3個旋轉約束角度，這樣就可減少自由驅動數(shù)量，減少運動狀態(tài)求解的計算量。

實際機構中，外骨骼的髖板部件和骨盆環(huán)與人體骨盆相對位置固定，外骨骼骨盆環(huán)坐標系與人體骨盆基準坐標系重合，右側下肢關節(jié)機構驅動軸逆解方程為：

式中：af、bt、gm為對于特定人體的映射關系。

式（13）左邊為各驅動軸直線及角度位置。由于股骨板、肱骨板參考點的旋轉約束角度 、 、 是通過3個驅動軸確定的映射關系，則af、bt、gm可通過實驗采集作為初始參數(shù)。

2.5 機構奇異性分析

機構的奇異位形是指在運動過程中出現(xiàn)極限點、死點、增加或失去自由度等導致機構不穩(wěn)定或失去控制的情況，當機構處于奇異形位時速度反解不存在，且其對應的雅可比矩陣行列式為0。以髖關節(jié)3-UCU并聯(lián)機構為例，有式（14）。

式中： 為以人體關節(jié)轉角表示的末端執(zhí)行廣義速度； 為各并聯(lián)支鏈驅動軸伸縮速度；J為機構末端執(zhí)行速度對各支鏈驅動軸速度的一階影響系數(shù)矩陣，即雅可比矩陣； 和 分別為機構的逆、正雅可比矩陣。

根據(jù)機構雅克比矩陣的奇異性，可將并聯(lián)機構奇異位形分為三類[18]：

式中： 、 、 、 、 、 分別為3個驅動軸兩端點在關節(jié)坐標系中初始位置向量； 為旋轉位移矩陣。 ～ 表示根據(jù)式（18）分離 后的未知矩陣元素。

可以看出，機構的逆雅可比矩陣的行列式不可能為0，故需以正雅可比矩陣為基礎分析機構的奇異位形[19]。由于正雅克比矩陣的解析解比較復雜，采用迭代優(yōu)化法求機構驅動軸行程范圍內的所有位姿數(shù)值正解，見3.2節(jié)，進而通過同一位姿的不同速度取值解得正雅克比矩陣J2各項元素數(shù)值解，速度取值以L和X的微分增量近似表示。計算結果顯示，在機構的工作空間內，不存在相應的驅動軸長度L和位姿X能夠滿足det（J2）≤10-5。因此，該機構在工作空間內不存在正解奇異。

3 測量尺寸與仿真實驗

上一節(jié)公式中可通過結構尺寸測得的數(shù)據(jù)，及可假定的人體和裝配參數(shù)，如表1所示。

根據(jù)實驗測得各驅動軸 、 、 、 、 、 值，可繪制各個關節(jié)運動取值點的映射空間，映射關系也可由機構運動學逆解得出。

3.1 逆解仿真與驅動軸行程范圍

已知3-UCU并聯(lián)機構的結構參數(shù)和末端執(zhí)行器的位姿 ，求解各驅動軸長度 ，即為運動學逆解，其數(shù)學模型為：

根據(jù)人體髖關節(jié)運動限制給定取值范圍為 ∈[-20°， 110°]、 ∈[-60°， 20°]、 ∈[-20°， 20°]， 、 值變化時，分別確定 、 、 的邊界取值，以右下肢髖關節(jié)為例，插值擬合得理想末端工作空間形狀如圖5所示。

根據(jù) 、 、 的取值和式（19）、式（20），在MATLAB軟件中遍歷計算各驅動軸的長度逆解值，其部分結果如表2所示。驅動軸行程范圍的三維空間形狀如圖6所示。

3.2 正解仿真與機構工作空間

已知3-UCU并聯(lián)機構的結構參數(shù)和驅動軸長度 ，求解末端執(zhí)行器的位姿 ，即為運動學正解，其數(shù)學模型為：

式中： 為位姿X的多維非線性函數(shù)。

可根據(jù)多維函數(shù)優(yōu)化求解的思想，采用PSO（Particle Swarm Optimization，粒子群優(yōu)化算法）[21]，通過MATLAB迭代計算位置正解數(shù)值解[22]。

PSO算法通過初始化一群隨機粒子，然后迭代優(yōu)化找到全局最優(yōu)解。在每一次迭代中，粒子通過跟蹤共享個體最優(yōu)解pBest和種群全局最優(yōu)解gBest的信息來更新粒子。PSO算法具有收斂速度快、參數(shù)少、簡單易實現(xiàn)的優(yōu)點，對高維優(yōu)化問題相比遺傳算法收斂速度更快。

在MATLAB中編程計算得部分結果如圖7所示，可見適應度在50次迭代內達到收斂水平，多次計算驗證均可達到收斂，具有較好穩(wěn)定性。圖8顯示了相應的粒子群運動遺跡圖，可見粒子逐漸匯集到目標位姿X附近（圖中藍色密集區(qū)域）。

根據(jù)表2所計算的驅動軸長度逆解值，采用PSO算法正解其位姿結果如表3所示。對比可見，除了工作空間邊界較遠處正解位姿誤差較大外，其他位姿正逆解角度誤差均在0.5°之內，考慮到數(shù)值取舍和計算誤差，可認為PSO算法正解3-UCU并聯(lián)機構位姿具有較好的計算效率和精度。

由3.1節(jié)逆解所得的驅動軸行程范圍，確定驅動軸機械設計的行程為 ∈[120， 260]、 ∈[200， 260]、 ∈[30， 300]，在MATLAB中遍歷計算位姿正解值，最終得到機構的設計工作空間，如圖9所示。

對比圖9和圖5可見，機構的設計工作空間與理想工作空間基本一致，即機構正解算法和逆解算法結果具有較好一致性。

4 總結

采用UCU型機構作為基本驅動軸部件設計了一款并聯(lián)驅動式下肢外骨骼機構，采用多體系統(tǒng)理論對外骨骼機構進行運動分析，并建立數(shù)學模型，推導出同一坐標系下各部件上任意參考點的相對位置計算方法。

借助MATLAB軟件對外骨骼并聯(lián)機構的工作空間和驅動軸行程進行了數(shù)學編程仿真分析，結果顯示，機構工作空間形狀緊湊連續(xù)，沒有明顯空洞，因此該機構工作性能良好。

基于多體系統(tǒng)運動轉換矩陣和PSO算法對機構位姿正逆解進行數(shù)值求解，為并聯(lián)驅動下肢外骨骼機構的運動學分析、位姿仿真、優(yōu)化設計以及下一步的運動控制研究奠定了基礎，也為開發(fā)新型外骨骼機械結構積累了一定設計經驗。

參考文獻：

[1]YAN T，CEMPINI M，ODDO C M，et al. Review of assistive strategies in powered lower-limb orthoses and exoskeletons[J]. Robotics and Autonomous Systems，2015（64）：120-136.

[2]汪步云，王月朋，梁藝，等. 下肢外骨骼助力機器人關節(jié)驅動設計及試驗分析[J]. 機械工程學報，2019，55（23）：55-66.

[3]陳學生，陳在禮，孔民秀. 并聯(lián)機器人研究的進展與現(xiàn)狀[J]. 機器人，2002，24（5）：464-470.

[4]黃真. 并聯(lián)機器人機構學理論及控制[M]．北京：機械工業(yè)出版社，1997.

[5]GENG Z，HAYNES L. Neural network solution for the forward kinematics problem of a Stewart platform[C]. Robotics and Automation，1991. Proceedings，1991 IEEE International Conference on. IEEE，1991：2650-2655.

[6]BOUDREAU R，TURKKAN N. Solving the forward kinematics of parallel manipulators with a genetic algorithm[J]. Journal of? Robotic Systems，1996，13（2）：111-125.

[7]車林仙. 4-RUPaR并聯(lián)機器人機構及其運動學分析[J]. 機械工程學報，2010，46（3）：35-41.

[8]休斯敦RL，劉又午. 多體系統(tǒng)動力學[M]. 天津：天津大學出版社，1991.

[9]劉又午. 多體動力學的休斯敦方法及其發(fā)展[J]. 中國機械工程，2000，11（6）：601-607.

[10]張策. 機械原理與機械設計[M]. 北京：機械工業(yè)出版社，2004.

[11]王煥定，章梓茂，景瑞. 結構力學[M]. 北京：高等教育出版社，2010.

[12]John J. Craig. Introduction to Robotics：Mechanics and Control [M]. Third Edition. Beijing：China Machine Press，2005：19-128.

[13]蔡自興，謝斌. 機器人學[M]. 3版. 北京：清華大學出版社，2015：19-60.

[14]張福學. 機器人技術及其應用[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2000.

[15]史小華，王洪波，孫利，等. 外骨骼型下肢康復機器人結構設計與動力學分析[J]. 機械工程學報，2014，50（3）：41-48.

[16]陳占伏，楊秀霞，顧文錦. 下肢外骨骼機械結構的分析與設計[J]. 計算機仿真，2008，25（8）：238-241，334.

[17]陳偉海，徐穎俊，王建華，等. 并聯(lián)式下肢康復外骨骼運動學及工作空間分析[J]. 機械工程學報，2015，51（13）：158-166.

[18]曹永剛，張玉茹. 6-RSS型并聯(lián)機構奇異性分析[J]. 機械工程學報，2008，44（6）：79-87.

[19]葉增林，張良安，陳華，等. 2URR-SRR-RUPUR并聯(lián)式腿部康復機器人機構設計與運動性能分析[J]. 機械傳動，2021，45（3）：82-89.

[20]徐化娟，李宏偉，張春燕. 一種新型3T1R并聯(lián)機器人機構運動學分析與參數(shù)優(yōu)化[J]. 機械傳動，2021，45（5）：57-65.

[21]Kennedy J . Particle swarm optimization[J]. Proc. of 1995 IEEE Int. Conf. Neural Networks，（Perth，Australia），2011，4（8）：1942-1948.

[22]王啟明，蘇建，隋振，等. 一種新型冗余驅動并聯(lián)機構位姿正解研究[J]. 機械工程學報，2019，55（9）：40-47.

收稿日期：2022-09-28

作者簡介：陳鑄（1999－），男，四川達州人，碩士研究生，主要研究方向為數(shù)字化設計與制造，E-mail：2020223025146@stu.scu.edu.cn；李恒（1998－），男，安徽六安人，碩士研究生，主要研究方向為機械電子工程，E-mail：2020223020033@stu.scu.edu.cn。