翁高成

1 背景介紹

初中階段對(duì)幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量的教學(xué)實(shí)施大部分都流于表面，更多時(shí)候把側(cè)重點(diǎn)放在技能的訓(xùn)練上，而不注重對(duì)幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量的概念理解，導(dǎo)致原本課標(biāo)設(shè)置好的兩條主線，即數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”和“離散趨勢(shì)”，未能在教學(xué)中得到具體的貫徹和落實(shí)，從而導(dǎo)致學(xué)生數(shù)據(jù)分析的觀念薄弱．這一切的根源在于許多教師自己本身也未弄清這幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量的區(qū)別與聯(lián)系，所以無法把控教學(xué)關(guān)鍵，不能進(jìn)行精準(zhǔn)教學(xué)．本文將結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)理論和實(shí)際的教學(xué)案例來重點(diǎn)談?wù)劇捌骄鶖?shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差”這幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量在本質(zhì)上的區(qū)別和關(guān)聯(lián)以及本人在教學(xué)中落實(shí)兩條主線的具體措施，旨在初中階段引導(dǎo)學(xué)生形成較為成熟的數(shù)據(jù)分析觀念，以便順利對(duì)接高中統(tǒng)計(jì)模塊的學(xué)習(xí)，并促成學(xué)生擁有適應(yīng)未來生活的基本統(tǒng)計(jì)意識(shí)．

2 集中趨勢(shì)和離散趨勢(shì)

2.1 概念理解

“集中趨勢(shì)”又稱“數(shù)據(jù)的中心位置”“集中量數(shù)”等，它是一組數(shù)據(jù)的代表值．集中趨勢(shì)的概念就是平均數(shù)的概念，可以用它表明所研究的總體現(xiàn)象在一定時(shí)間、空間條件下的共同性質(zhì)和一般水平．從變量數(shù)列的角度來說，由于整個(gè)變量數(shù)列是以平均數(shù)為中心而上下波動(dòng)的，由此可以看出平均數(shù)反映了總體分布的集中趨勢(shì)，它很好地代表了總體分布的某些重要特征．依據(jù)變量數(shù)列的平均數(shù)，就可以了解所研究總體的一般特征和集中趨勢(shì)．?dāng)?shù)據(jù)的集中趨勢(shì)是用來描述分析總體現(xiàn)象的重要統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，常用的有平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等，它們?cè)诓煌愋偷姆植紨?shù)列中有不同的測(cè)定方法．

“離散趨勢(shì)”是指在統(tǒng)計(jì)學(xué)上描述觀測(cè)值偏離中心位置的趨勢(shì)，反映了所有觀測(cè)值偏離中心的分布情況．描述一組數(shù)據(jù)“離散趨勢(shì)”的常用統(tǒng)計(jì)量有極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)誤差、四分位數(shù)間距和變異系數(shù)等，其中方差和標(biāo)準(zhǔn)差最常用，人教版中學(xué)數(shù)學(xué)教材介紹了極差和方差，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差不作教學(xué)要求，放置在課后的閱讀材料中供學(xué)生拓展了解．

2.2 教學(xué)思考

人教版教材在編排時(shí)，嚴(yán)格遵循統(tǒng)計(jì)學(xué)的概念．在“數(shù)據(jù)的分析”這一章節(jié)設(shè)置了“數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)”和“數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度”兩部分的內(nèi)容．希望借助具體的實(shí)例，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)兩個(gè)概念的初步認(rèn)識(shí)．

從以上論述可以看出“集中趨勢(shì)”和“離散趨勢(shì)”是極其抽象的統(tǒng)計(jì)學(xué)術(shù)語，在教學(xué)過程中，直接把這兩個(gè)名詞傳遞給學(xué)生，希望學(xué)生能理解概念的字面意思，基本是教師的一廂情愿．這樣的做法不僅沒有讓學(xué)生更易于接受和理解概念，反而容易讓學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)概念的本質(zhì)流于表面．但是，課標(biāo)又希望學(xué)生能形成初步感知，那么在具體教學(xué)中應(yīng)如何處理這部分內(nèi)容呢？以下談幾點(diǎn)個(gè)人想法：

（1）可以在“數(shù)據(jù)分析”這一章節(jié)前，布置學(xué)生收集相關(guān)的材料，材料的內(nèi)容可以包括平均數(shù)的意義和用處、分析數(shù)據(jù)常用的方法、分析數(shù)據(jù)常用的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量、統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展歷史等，從收集材料中獲得對(duì)“統(tǒng)計(jì)學(xué)”的初步印象，然后設(shè)計(jì)一堂閱讀活動(dòng)課，讓學(xué)生分享成果，達(dá)到對(duì)“集中”和“離散”的初步認(rèn)知．至少讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈，以及知識(shí)間的關(guān)聯(lián)．

（2）教材在介紹“數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度”時(shí)，在這一節(jié)課用了三個(gè)具體事例，這些事例中涉及的數(shù)據(jù)都故意選用一些“平均數(shù)”近似相等的實(shí)例，教材這么選材的目的：一是旨在告訴學(xué)生，當(dāng)通過集中趨勢(shì)分析數(shù)據(jù)無法幫忙做出決策時(shí)，關(guān)注數(shù)據(jù)的離散趨勢(shì)可以給我們提供另外一個(gè)決策角度；另一目的就是不希望給出的模型太過理想，讓學(xué)生覺得只有當(dāng)平均數(shù)一樣時(shí)，才能考慮方差．很顯然，“集中趨勢(shì)”和“離散趨勢(shì)”只是決策時(shí)分析數(shù)據(jù)的角度而已，我們也可以多借助這樣的題目，讓學(xué)生形成對(duì)“集中”和“離散”的初步認(rèn)識(shí)．

3 平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)

3.1 來源和關(guān)聯(lián)

在分析數(shù)據(jù)的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)用到平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，主要是為了分析數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”，但是學(xué)生并不知道這些統(tǒng)計(jì)量的關(guān)聯(lián)，要想讓學(xué)生很好地了解如何利用它們來進(jìn)行數(shù)據(jù)“集中趨勢(shì)”的描述，只知道如何計(jì)算它們是不夠的．所以，知道這些統(tǒng)計(jì)量之間的關(guān)聯(lián)是很有必要的．

總的來說，獲得數(shù)據(jù)“集中趨勢(shì)”的方法有兩種：數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)．

數(shù)值平均數(shù)就是從總體各單位變量值中抽象出具有一般水平的量，這個(gè)量不是各個(gè)單位的具體變量值，但又要反映總體各單位的一般水平，包含算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)等．顧名思義，位置平均數(shù)就是根據(jù)總體中處于特殊位置上的個(gè)別單位或部分單位的標(biāo)志值來確定的代表值，它對(duì)于整個(gè)總體來說，具有非常直觀的代表性，因此，也經(jīng)常用來反映分布的集中趨勢(shì)，常見的有眾數(shù)、中位數(shù)．

3.2 教學(xué)思考

簡(jiǎn)單來說，“平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)”從本質(zhì)上來看其實(shí)就是不同形式的“平均數(shù)”，用來反映數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”．換個(gè)思路，既然三者的作用一樣，那么在課堂或者課后練習(xí)中就應(yīng)該多設(shè)置一些開放性的題目，回答時(shí)需要同時(shí)考慮到這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量，利用三者分別對(duì)這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”進(jìn)行描述，最后選用最合適的或者最符合具體需求的進(jìn)行決策，而不是重點(diǎn)突出“平均數(shù)”的地位和作用．也就是說，設(shè)置的問題必須要求決策者在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)，需要考慮全面，進(jìn)行權(quán)衡，有理有據(jù)，方可作出合適的決策．舉例如下：

例1 兩個(gè)群體A，B的年齡如下：

A：12，12，13，14，14，14，14，15，16，16；

B：4，5，5，6，6，7，7，7，65，67．

（1）求出群體A年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)．你覺得用哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量可以較好地描述該群體年齡的集中趨勢(shì)？

（2）求出群體B年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)．你覺得用哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量可以較好地描述該群體年齡的集中趨勢(shì)？

一個(gè)統(tǒng)計(jì)量用來描述這組數(shù)據(jù)是否合適，其實(shí)涉及到很多統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)．粗略地講，只有當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)很多時(shí)，我們才需較真這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量在不同數(shù)據(jù)分布中的聯(lián)系和區(qū)別：如果數(shù)據(jù)是正態(tài)分布，那么這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量都相等，位置居于分布的中軸線；如果數(shù)據(jù)是偏態(tài)分布，這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量可用來描述這個(gè)分布的偏斜程度．總的來說，平均數(shù)的代表性最大，因?yàn)樗袛?shù)據(jù)都參與運(yùn)算，中位數(shù)代表性小一些，眾數(shù)代表性最差．在選用這些統(tǒng)計(jì)量時(shí)，要從分析需要和數(shù)據(jù)的具體情況兩方面考慮．當(dāng)數(shù)據(jù)中沒有極端值，分布較對(duì)稱，應(yīng)選用平均數(shù)．當(dāng)數(shù)據(jù)分布不對(duì)稱，分布的一端有極端數(shù)值時(shí)，應(yīng)選用中位數(shù)．當(dāng)需要粗略地和快速地了解數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)時(shí)，我們就可選用眾數(shù)．

4 差異量數(shù)

差異量數(shù)即離散趨勢(shì)量數(shù)，是表示樣本數(shù)據(jù)偏離中間數(shù)值的趨勢(shì)的量數(shù)，或者說它是反映樣本頻率分布離散程度的量數(shù)．初中教材中的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差都是差異量數(shù)．

4.1 教學(xué)思考1

如果差異量數(shù)比較小，那么代表各數(shù)值較集中、整齊，波動(dòng)小；反之，如果差異量數(shù)比較大，那么各數(shù)值分布的范圍廣且參差不齊．所以，差異量數(shù)可以反映出集中量數(shù)的代表性如何．可以這么說，差異量數(shù)越大，則集中量數(shù)的代表性就越?。徊町惲繑?shù)越小，則集中量數(shù)的代表性就越大．比如，我們經(jīng)常會(huì)碰到兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一樣，但是兩組數(shù)據(jù)的離散程度不同．一組數(shù)據(jù)的分布可能差異較小，比較集中，那么就說明平均數(shù)的代表性較好．另一組數(shù)據(jù)可能差異較大，比較分散，那么平均數(shù)的代表性就較差．那么，在教學(xué)過程中，給數(shù)據(jù)分析的問題里添加差異量數(shù)的內(nèi)容就可以說是非常有必要．通過計(jì)算差異量數(shù)，從而認(rèn)識(shí)數(shù)據(jù)的“離散趨勢(shì)”，為決策提供依據(jù)．舉例如下：

例2 甲、乙兩名選手在相同條件下各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：

甲：6，5，4，6，7，8，8，9，10，7；

乙：6，7，7，6，7，9，8，5，7，8．

（1）求出甲、乙兩人的方差；

（2）結(jié)合計(jì)算結(jié)果，分析一下兩名選手的射擊情況．

這種類型題目的引入，有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)到：當(dāng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等時(shí)，數(shù)據(jù)之間還是存在其它的不同，比如這兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小、整齊程度不同，乙較為集中，甲較為參差不齊，那么引入方差來描述這種情形顯得很有必要．實(shí)際情境中，兩個(gè)人平均實(shí)力相同，誰的成績(jī)更為穩(wěn)定，就顯得相當(dāng)重要．此時(shí)考慮差異量數(shù)，可以讓我們考慮問題更加全面，做出決策更加合理．

4.2 教學(xué)思考2

上述題目，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，但是很顯然，僅僅考慮平均數(shù)是不夠的，數(shù)值分布參差不齊時(shí)，平均數(shù)的代表性就差，這時(shí)需要差異量數(shù)介入分析，即求出這兩組數(shù)據(jù)的方差．換句話說，僅僅用集中趨勢(shì)來描述數(shù)據(jù)的分布特征是不夠的，只有把兩者結(jié)合起來，才能全面地認(rèn)識(shí)事物．既然這樣，給教學(xué)是否可以帶來另一種思考．我們中學(xué)階段碰到的這類型的題目往往都是數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，最后通過計(jì)算方差，利用方差，反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小、穩(wěn)定情況，從而做出決策，這樣單一類型的題，容易讓學(xué)生產(chǎn)生這樣的疑問：“難道只有當(dāng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同時(shí)，方差才有可能派上用場(chǎng)？”

很顯然，這樣的思維定勢(shì)，容易弱化差異量數(shù)在分析數(shù)據(jù)時(shí)的作用，對(duì)于數(shù)據(jù)分析的全面性是很不利的，學(xué)生容易偏向考慮數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”，而忽視“離散趨勢(shì)”的價(jià)值．所以，在教學(xué)上，我們可以考慮設(shè)置一些平均數(shù)不相同，然后借助方差來參與數(shù)據(jù)分析的題目．例如，對(duì)上述的甲、乙兩人成績(jī)做一個(gè)小小的改動(dòng)，得到如下題目： 例3 甲、乙兩名選手在相同條件下各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：

甲：8，9，10，6，8，5，4，6，7，7；

乙：6，7，7，6，7，8，8，5，7，8．

（1）求出甲、乙兩人的方差；

（2）結(jié)合計(jì)算結(jié)果，分析一下兩名選手的射擊情況．

學(xué)生通過計(jì)算會(huì)發(fā)現(xiàn)，二者的平均成績(jī)相差不大．甲的平均成績(jī)是7，乙的平均成績(jī)是6.9．教師可以在此時(shí)提問：是否說明甲的射擊水平更加優(yōu)秀呢？通過這樣的提問，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生不同的看法，有的認(rèn)為甲的平均成績(jī)高，所以甲比較優(yōu)秀，但是也有同學(xué)認(rèn)為，兩人的平均成績(jī)相差并不大，乙的方差比甲小，說明乙更穩(wěn)定，綜合來看，乙應(yīng)該更優(yōu)秀．通過這樣的問題設(shè)置，激發(fā)學(xué)生的思考和討論，從而讓學(xué)生明白，對(duì)于數(shù)據(jù)的分析，應(yīng)該根據(jù)具體情況，必要時(shí)需要把“集中趨勢(shì)”和“離散趨勢(shì)”結(jié)合起來，這樣看待事物才會(huì)更全面．另外，數(shù)據(jù)分析重在用合適的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行有理有據(jù)的說理分析，不在于一定要分個(gè)高低勝負(fù)，貴在對(duì)每個(gè)統(tǒng)計(jì)量作用的體會(huì)和理解上．