黃燁東,吳晨曦

(中國石油大學(xué)(北京)機械與儲運工程學(xué)院,北京 102249)

隨著工業(yè)自動化的不斷發(fā)展,自動化作業(yè)逐漸代替人工操作。在機械運動中,不同軌跡規(guī)劃會產(chǎn)生不同程度的振蕩以及能耗[1-3]。機器人是典型的機電一體化設(shè)備,在制造業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)療、海洋工程等領(lǐng)域都有十分廣泛的應(yīng)用[4-7]。在醫(yī)療領(lǐng)域,機器人開始輔助醫(yī)師進行高精度、步驟復(fù)雜的外科手術(shù),因此機器人機械臂移動需要保證優(yōu)良的穩(wěn)定性與速度[8-10]。為此,本文利用李普諾夫非線性大范圍漸近穩(wěn)定原理對定位方程進行求解,然后采用自整定模糊比例-積分-微分(PID)控制和脈寬調(diào)速(pulse width modulation,PWM)相結(jié)合的方式,對機械臂的移動行為進行控制,為各項高精度的機械工作提供技術(shù)保障。本文研究的創(chuàng)新點有以下3個方面:傳統(tǒng)的數(shù)值計算方法對每次移動定位產(chǎn)生的誤差并不能及時校正,且計算量大,為此基于李雅普諾夫非線性大范圍漸近穩(wěn)定原理對非線性運動方程進行求解,同時利用偏差反饋系數(shù)對求解過程進行優(yōu)化;將自整定模糊控制PID方式與PWM控制相結(jié)合,實現(xiàn)高精度與高穩(wěn)定性的機械臂運動控制;在對機械臂進行控制的同時,實現(xiàn)了空間路徑的規(guī)劃。

1 基于自整定模糊PID控制與PWM控制的機械臂控制器設(shè)計與實現(xiàn)

1.1 基于李雅普諾夫非線性大范圍漸近穩(wěn)定原理的機械臂空間運動路徑規(guī)劃

對機器人機械臂的運動空間軌跡進行規(guī)劃,首先求出其末端執(zhí)行器所對應(yīng)的關(guān)節(jié)變量值,根據(jù)逆運動學(xué)方程對各路徑點的末端執(zhí)行器所對應(yīng)的關(guān)節(jié)變量值進行計算,然后擬合出相應(yīng)的運動過程函數(shù)。一般采用Denavit-Hartenborg(D-H)法則對機器人的每個機械臂支臂進行表征。以外科手術(shù)機器人機械臂為原型進行仿真,機械臂共有3個關(guān)節(jié),分別為肩部、肘部和腕部關(guān)節(jié),基于D-H表示的機械臂運動學(xué)模型如圖1所示。圖中,相鄰的機械臂支臂可以近似為保持相鄰關(guān)節(jié)之間相對位置的剛體。第一個支臂為i,第n個支臂為(i+n),采用4個參數(shù)對機器人的每個支臂進行描述,分別為支臂長度di、支臂扭角θi、支臂偏距ai以及關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角αi。

圖1 基于D-H表示的機械臂運動學(xué)模型

首先建立支臂的參考坐標(biāo)系,針對具有3個關(guān)節(jié)的機械臂建立3個關(guān)節(jié)點的局部坐標(biāo)系。z軸上的3個關(guān)節(jié)點參數(shù)下標(biāo)分別為i-1、i、i+1,從而可確定支臂坐標(biāo)系中所有軸的位置,得到相應(yīng)的參考坐標(biāo)系。當(dāng)前坐標(biāo)系通過四次齊次變換可得4個機械支臂的單個D-H變換矩陣,矩陣變換方法如式(1)所示:

Ai=Rot(z,θi)Trans(0,0,di)Trans(ai,0,

0)Rot(x,αi)

(1)

式中:Ai為變換矩陣,Rot(z,θi)為D-H變換矩陣繞z軸旋轉(zhuǎn)角度θi的操作,Trans(ai,0,0)和Trans(0,0,di)為沿軸移動操作,Rot(x,αi)為D-H變換矩陣繞x軸旋轉(zhuǎn)角度αi的操作。通過旋轉(zhuǎn)和平移操作,實現(xiàn)了當(dāng)前坐標(biāo)系與參考坐標(biāo)系原點的重合。最終得到的變換矩陣Ai如下:

(2)

得到單個變換矩陣之后,需要對每個機械支臂的矩陣進行整合,得到整個機械臂的運動方程:

A=A1A2A3…Ai

(3)

式中:A為所有機械臂末端支臂相對于整個坐標(biāo)系的位姿矩陣方程,即機械臂的運動學(xué)方程。機械臂移動的最終目標(biāo)點坐標(biāo)(x3,y3,z3)與各支臂相關(guān)關(guān)節(jié)角θ之間的關(guān)系如下:

(4)

式中:R1、R2、R3分別為3個關(guān)節(jié)末端的點坐標(biāo),θ1、θ2、θ3分別為3個關(guān)節(jié)的支臂扭角。在研究過程中發(fā)現(xiàn),傳統(tǒng)的數(shù)值計算方法對運動方程進行求解結(jié)果并不理想,誤差不能夠及時校正,且計算量大,計算時間長。為了簡化計算,快速求得唯一的合理解,本文基于李雅普諾夫非線性大范圍漸近穩(wěn)定原理對非線性運動方程進行求解。為消除實時控制中出現(xiàn)的位置偏差,根據(jù)機械臂當(dāng)前狀態(tài)和目標(biāo)位置,利用偏差反饋系數(shù)對移動距離進行校正。對每一次出現(xiàn)的位置偏差進行角度修正的計算方法如下:

(5)

(6)

(7)

式中:f(θ)為非線性方程組,f′(θ)為非線性運動方程的矩陣表示形式,J(θ)、Q(θ)和V(θ)分別為雅可比矩陣、正定矩陣和李雅普諾夫矩陣,P為加權(quán)后的正定矩陣。當(dāng)|θ|趨近于無窮、V(θ)趨近于無窮時,系統(tǒng)空間原點θe=0的平衡狀態(tài)為李普諾夫非線性大范圍漸近穩(wěn)定狀態(tài)。利用式(7),在保證Q(θ)為正定矩陣的情況下對偏差反饋系數(shù)進行調(diào)整,從而在保證精度的情況下實現(xiàn)更加快速的移動。通過偏差反饋系數(shù)的不斷調(diào)整,直到誤差閾值ε達到理想狀態(tài)停止校正。誤差閾值ε計算公式為:

(8)

式中:k為機械臂實際要求精度,結(jié)合實際應(yīng)用,k值設(shè)置為0.1 mm。

綜上,本文構(gòu)建了一種多關(guān)節(jié)機械臂非線性定位方程,利用李雅普諾夫非線性大范圍漸近穩(wěn)定原理對定位方程進行了計算。

1.2 基于改進PID控制的機械臂控制方法

為實現(xiàn)較為靈活的操作,在每個關(guān)節(jié)中安插了兩個電機。機械臂在運動過程中一般很難兼顧穩(wěn)定性與移動速度,而常規(guī)PID控制中需要通過調(diào)節(jié)參數(shù)使系統(tǒng)響應(yīng),因此系統(tǒng)是否能夠得到優(yōu)良的控制效果與參數(shù)調(diào)整有著緊密聯(lián)系。為保證系統(tǒng)在環(huán)境不斷變化的情況下盡快尋找到最優(yōu)的參數(shù)組合,采用模糊控制器對PID控制進行參數(shù)自整定,實現(xiàn)較為快速、穩(wěn)定的機械臂操控。為提高機械臂操作的穩(wěn)定性,利用自整定模糊PID控制對機械臂各關(guān)節(jié)進行控制。電機模糊控制是基于模糊集理論和模糊邏輯推理的一種可運用于計算機的控制方式。電機模糊控制示意如圖2所示。

機械臂運動過程中,想要保證機器人整體協(xié)同操作,必須對啟動速度與運動速度進行實時控制。為此對機器人的工作空間進行劃分,對劃分后的子空間進行模糊PID控制,這樣可保證機械臂整體與局部的速度皆在設(shè)計要求范圍內(nèi)變化。利用模糊理論對參數(shù)進行整定,控制器根據(jù)每次反饋的系統(tǒng)偏差以及偏差的變化概率,通過查詢模糊控制表對相應(yīng)參數(shù)進行調(diào)整,然后進行PID運算。當(dāng)機械臂的相關(guān)關(guān)節(jié)控制系統(tǒng)半開時,采用重心法進行逆模糊化處理。處理方法如下:

(9)

式中:Kp、Ki和Kd分別為比例、積分、微分調(diào)節(jié)系數(shù),Kp、Ki和Kd的數(shù)值經(jīng)過模糊控制規(guī)則表求得;T為控制時間;e(k′)為k′采樣周期的偏差值;μ(k′)為k′采樣周期的輸出;k′為采樣周期序號;e(j)為j采樣周期的偏差值,j的取值范圍為[1,k′];Δe(k′)為對偏差和時間進行求導(dǎo)的最終結(jié)果;Kμ為比例因子;μ為最終的精確輸出量。當(dāng)機械臂離目標(biāo)點位置較遠時,控制器首先確定需要到達的點所在子空間的隸屬度函數(shù),然后根據(jù)該函數(shù)選定所在的模糊區(qū)域,在機械臂移動至模糊區(qū)域后進行位置的精確校正。為防止電機在機械臂移動過程中出現(xiàn)多余的抖動,使用PWM對輸出電壓進行控制。利用微處理器的數(shù)字輸出對模擬電路進行控制,保持輸出電壓值的穩(wěn)定性。PWM信號可以生成一個數(shù)字信號,在達到置零時間時對信號置零。此時PWM信號占空比γ為:

(10)

式中:T′為信號置零時間,t′為脈沖時間。使用LabVIEW程序?qū)WM信號進行控制,PWM信號的簡易實現(xiàn)方式如圖3所示。

圖3 LabVIEW程序中PWM信號的簡易實現(xiàn)方式

機械臂關(guān)節(jié)點位置的確定與脈沖數(shù)、標(biāo)定表電壓聯(lián)系緊密。為保證電機穩(wěn)定,不出現(xiàn)多余振動影響機械臂的定位,需要通過調(diào)節(jié)脈沖大小來降低其旋轉(zhuǎn)速度。當(dāng)機械臂定位誤差出現(xiàn)較大偏差時,采用脈寬較大的脈沖。當(dāng)機械臂定位誤差偏差較小不用調(diào)節(jié)時,控制系統(tǒng)關(guān)閉,此時采用窄脈沖。通過不斷改變脈沖寬度,使關(guān)節(jié)能夠平穩(wěn)到達目標(biāo)位置。利用PWM控制能夠較大程度降低系統(tǒng)所需的電力成本以及功率消耗。脈沖數(shù)n的計算公式為:

n=ζf(θ)

(11)

式中:ζ為線性系數(shù)。PWM控制過程中脈沖數(shù)量確定之后,機械臂移動到目標(biāo)點附近。根據(jù)角度傳感器反饋確定機械臂的角度位置,并做負反饋校正。如果機械臂仍未到達正確位置,通過正向與負向的脈沖反饋,調(diào)整機械臂末端坐標(biāo),直到與目標(biāo)點距離處于閾值范圍內(nèi)結(jié)束移動。

2 基于改進PID的機器人手臂控制器性能分析

本文通過將PWM控制與自整定模糊PID控制相結(jié)合實現(xiàn)機械臂控制器的設(shè)計。在LabVIEW中進行模擬仿真,選取機器人運動空間的移動點位進行運動位置精度的測量。采用POLARIS光學(xué)導(dǎo)航儀作為測量工具,設(shè)計了一系列實驗對控制算法進行性能分析。為檢驗本文設(shè)計的基于李普諾夫非線性大范圍漸近穩(wěn)定原理對機械臂非線性定位方程求解方法在機械臂定位中的應(yīng)用效果,將傳統(tǒng)數(shù)值運算方法與所設(shè)計的非線性定位方程求解方法進行模擬仿真。設(shè)置4個長度不同的機械臂,在空間內(nèi)對同一組目標(biāo)點進行定位計算。在同一時間內(nèi),利用上述兩種方法對目標(biāo)點進行跟蹤,并記錄其關(guān)節(jié)角誤差變化情況。實驗中采樣點的步長為0.002 s,相應(yīng)變化曲線如圖4所示。

由圖可知,機械臂在運動過程中,可能會在接近目標(biāo)點的周圍產(chǎn)生擾動,且隨著機械臂桿長R增加,角度誤差變化幅度加大。其中本文設(shè)計方法的角度誤差平均變化范圍為±1.2°,而傳統(tǒng)數(shù)值運算方法為±2.8°。由此可知,本文設(shè)計方法具有更為優(yōu)良的定位精度與實時運算能力。為實現(xiàn)更精確穩(wěn)定的PID控制,將模糊理論與PWM控制相結(jié)合對PID進行優(yōu)化改進。為檢驗改進PID控制算法的抑振效果,在仿真軟件中進行振動控制模擬試驗。在電機頻率分別為1 Hz和10 Hz兩種情況下,將兩種算法的控制結(jié)果與無控制情況下的彈性變形曲線進行對比,具體如圖5所示。

圖5 改進前后控制算法彈性變形量變化曲線

圖5(a)中,彈性變形量的峰值降低到了進行抑振控制前的27.68%;圖5(b)中,彈性變形量的峰值降低到了進行抑振控制前的23.68%。兩種驅(qū)動頻率下,彈性變形得到相似的抑制效果。改進后算法的變化曲線振動幅度在約第2.9 s時基本趨于平穩(wěn),此時彈性變形得到了有效抑制。與PID控制相比,系統(tǒng)振蕩得到了有效抑制,穩(wěn)態(tài)精度得到顯著提高。為進一步驗證PWM控制與自整定模糊PID控制相結(jié)合的控制算法(算法1)的控制性能,將該算法與其他目前流行的機械臂控制算法進行對比實驗。對比算法包括基于層次深度強化學(xué)習(xí)的機械臂控制算法(算法2)、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊補償?shù)臋C械臂控制算法(算法3)、基于姿態(tài)枚舉算法的機械臂控制算法(算法4)、基于改進差分進化算法的機械臂控制(算法5)。將5種算法在3個關(guān)節(jié)上的跟蹤誤差情況記錄于圖6中。

圖6 3個關(guān)節(jié)中各算法控制下的跟蹤誤差情況對比

由圖可知,5種控制算法的跟蹤誤差皆隨著時間逐漸趨于穩(wěn)定,保持在極小誤差情況下。其中算法1趨于穩(wěn)定所使用時間最短,在1.500 s左右基本實現(xiàn)精準(zhǔn)控制,且最大誤差小于4×10-3rad。另外4種控制算法趨于穩(wěn)定所用時間與最大誤差值皆大于算法1。由此可知,算法1能夠在較快時間內(nèi)實現(xiàn)機械臂的精確控制。為更全面對各算法性能進行比較,選取其中更具代表性的兩個關(guān)節(jié)控制情況進行指標(biāo)數(shù)值的記錄。具體見表1。

表1 各控制算法對機械臂各關(guān)節(jié)的角度跟蹤情況分析

由表可知,算法1的最大定位誤差值最小,響應(yīng)最快,平均響應(yīng)時間為1.014 s,平均均方差為4.98×10-8rad,平均定位準(zhǔn)確率為94.57%,平均均方根誤差RMSE值為0.11,平均最大平均誤差值為3.87×10-3rad,明顯優(yōu)于另外4個算法。由此說明,算法1能夠及時進行定位校正,實現(xiàn)更加精準(zhǔn)的移動控制。

3 結(jié)束語

隨著人工智能技術(shù)的不斷發(fā)展,機器人機械臂空間移動中,對其移動速度、穩(wěn)定性、精確性的要求越來越高。本文利用李普諾夫非線性大范圍漸近穩(wěn)定原理對定位方程進行求解,然后將自整定模糊控制PID方式與PWM控制相結(jié)合,對機械臂移動進行控制。通過實驗分析可知,本文所設(shè)計的非線性定位方程計算方法最終得到的機械臂末端定位角度誤差的變化范圍為±1.5°,精度與移動速度都基本符合相關(guān)參數(shù)要求。改進PID控制算法的變化曲線振動幅度較小,在約第2.9 s時基本趨于平穩(wěn),此時系統(tǒng)振蕩得到了有效抑制。算法的平均響應(yīng)時間為1.014 s,響應(yīng)時間較快,對于機械臂的定位準(zhǔn)確率達到了94.57%,能夠及時進行定位校正,實現(xiàn)更加精準(zhǔn)的移動控制。在未來研究中,將考慮使用更高級的算法,使得控制精度更高。