何中石，孟令寬

齒根等效應(yīng)力的對比計(jì)算

何中石，孟令寬

（湖南湘電動力有限公司，湖南湘潭 411101）

目前設(shè)計(jì)一般的齒輪傳動時(shí)，通常只按保證齒根彎曲疲勞強(qiáng)度以及保證齒面接觸疲勞強(qiáng)度兩準(zhǔn)則進(jìn)行計(jì)算。由實(shí)踐得知，對于齒面硬度很高，齒芯強(qiáng)度又低的齒輪或材質(zhì)較脆的齒輪，通常則以保證齒根彎曲疲勞強(qiáng)度為主。本文針對一對齒輪副的齒根等效應(yīng)力先后采用仿真分析計(jì)算方法；第四強(qiáng)度理論計(jì)算方法；齒根彎曲疲勞強(qiáng)度的經(jīng)典計(jì)算方法來計(jì)算齒根等效應(yīng)力。發(fā)現(xiàn)在本文所設(shè)置的載荷條件下，仿真分析計(jì)算的結(jié)果和齒根彎曲疲勞強(qiáng)度的經(jīng)典計(jì)算方法所得的結(jié)果相近。

齒輪傳動 齒根等效應(yīng)力 第四強(qiáng)度理論 齒根彎曲疲勞強(qiáng)度

0 引言

齒輪傳動是機(jī)械傳動中最重要的傳動之一，形式很多，應(yīng)用廣泛，傳遞的功率可達(dá)數(shù)十萬千瓦，圓周速度可達(dá)200 m/s。齒輪傳動的主要特點(diǎn)有：效率高、結(jié)構(gòu)緊湊、工作可靠、壽命長、傳動比穩(wěn)定。

輪齒折斷是齒輪主要的失效形式之一。輪齒受載后，齒根處的彎曲應(yīng)力較大，齒根過渡部分的形狀突變及加工刀痕，還會在該處引起應(yīng)力集中。在正常工況下，當(dāng)齒根的循環(huán)彎曲應(yīng)力超過其疲勞極限時(shí)，將在齒根處產(chǎn)生疲勞裂紋，裂紋逐步擴(kuò)展，致使輪齒疲勞折斷。

若使用不當(dāng)造成齒輪過載時(shí)，齒輪在突加載荷作用下也可能出現(xiàn)折斷；長期使用的齒輪因嚴(yán)重磨損而導(dǎo)致齒輪過分減薄時(shí)，也會在名義載荷下發(fā)生折斷。

齒寬較小的直齒圓柱齒輪（簡稱直齒輪）一般發(fā)生整齒折斷；齒寬較大的直齒輪，因制造裝配誤差使得載荷偏置于齒輪的一端，發(fā)生局部折斷的可能性較大。斜齒圓柱齒輪（簡稱斜齒輪）和人字齒圓柱齒輪（或稱人字齒輪）的接觸線是傾斜的，齒輪受載后，如有載荷集中時(shí)，一般會發(fā)生局部折斷。

對于齒輪齒根強(qiáng)度的計(jì)算，經(jīng)典的計(jì)算方法為齒根彎曲疲勞強(qiáng)度計(jì)算。本文以一對直齒圓柱齒輪作為研究對象，先采用有限元方法計(jì)算齒根的等效應(yīng)力，然后再根據(jù)載荷作用于齒頂時(shí)單個(gè)輪齒的受力情況，采用第四強(qiáng)度理論計(jì)算齒根的等效應(yīng)力，最后采用齒根彎曲疲勞強(qiáng)度計(jì)算的經(jīng)典方法，并分析對比以上三種計(jì)算方法的應(yīng)力結(jié)果。

1 齒輪參數(shù)和齒輪建模

1.1 齒輪參數(shù)

本文所選擇的齒輪副中的齒輪參數(shù)、安裝信息和運(yùn)行特點(diǎn)如下所示：齒數(shù)比=3.2；齒數(shù)：Z1=34、Z2=109；模數(shù)m=2；壓力角=20°；齒寬：1=75、2=68；齒寬系數(shù)：Φd=1；中心距a=143 mm；齒根圓角：1=0.76、2=0.76[1]；圓周速度：=2.1 m/s；齒輪精度：=7；齒輪布置方式為對稱布置；小齒輪為主動輪（硬齒面），大齒輪為從動輪（軟齒面）；小齒輪的輸出扭矩為1=9.948×104N·mm且載荷狀態(tài)均勻平穩(wěn)。

1.2 齒輪的建模

根據(jù)1.1中的齒輪參數(shù)，利用SolidWorks三維建模軟件對小齒輪和大齒輪分別進(jìn)行建模。在建模過程中將齒寬統(tǒng)一為6.8 mm（該齒寬為大齒輪實(shí)際齒寬的0.1倍，因扭矩與齒根受力大小呈線性關(guān)系，在后續(xù)加載載荷時(shí)僅取實(shí)際扭矩的0.1倍），并且在建模時(shí)擴(kuò)大齒輪內(nèi)孔尺寸，以減少后續(xù)仿真分析計(jì)算時(shí)的網(wǎng)格數(shù)量盡量節(jié)省計(jì)算資源。

根據(jù)《齒輪手冊》[2]可知，齒輪在嚙合時(shí)，當(dāng)載荷作用在單對齒嚙合區(qū)的最高點(diǎn)時(shí)，齒根產(chǎn)生的彎曲應(yīng)力最大。本文中選擇大齒輪中某一齒的齒根強(qiáng)度進(jìn)行分析。則在建模過程中需要將小齒輪某一齒面進(jìn)行投影并分割，其分割線恰好能夠與大齒輪齒頂圓和齒面漸開線相交形成的棱邊接觸。小齒輪建模后的外形如圖1所示；大齒輪建模后的外形如圖2所示；齒輪嚙合處及齒根彎曲應(yīng)力校核位置如圖3所示。

圖2 大齒輪

圖3 齒輪嚙合處及齒根彎曲應(yīng)力校核位置

2 仿真分析計(jì)算[3]

2.1 仿真模型及前處理

將第1章中的三維模型保存為igs格式后導(dǎo)入AnsysWorkbench并采用Static Structural模塊進(jìn)行分析。在進(jìn)入到分析模式之前，需將模型在DesignModeler模式下將二齒輪模型內(nèi)孔面進(jìn)行合并，以方便后續(xù)邊界條件的設(shè)置以及載荷的加載。

2.2 網(wǎng)格的設(shè)置

由于在分析模型中，兩齒輪的厚度均為6.8 mm，兩齒輪模型的網(wǎng)格大小設(shè)置為2.5 mm。由于最大受力位置為嚙合區(qū)最高點(diǎn)的齒輪根部（本文選擇的是大齒輪根部），所以在該處大齒輪根部的網(wǎng)格設(shè)置為0.1 mm以確保計(jì)算精度。所有網(wǎng)格均選擇四面體網(wǎng)格即Tetrahedrons即可。齒輪嚙合位置的網(wǎng)格如圖4所示，該圖中已隱藏小齒輪。此時(shí)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)為635768，單元數(shù)為428921。

圖4 嚙合區(qū)最高點(diǎn)大齒輪根部網(wǎng)格

2.3 載荷的加載以及邊界條件的設(shè)置

設(shè)置邊界條件時(shí)將大齒輪作為受力物體，其內(nèi)圈面設(shè)置成Fixed Support，同時(shí)以小齒輪內(nèi)圈面為基準(zhǔn)，建立一個(gè)Coordinate System并將Y方向自由度定義為齒輪旋轉(zhuǎn)方向的自由度。在小齒輪內(nèi)圈面設(shè)置Displacement的約束，其中X和Z方向的位移設(shè)置為0，Y方向的位移設(shè)置為Free，如圖5所示。最后在小齒輪內(nèi)圈面施加扭矩載荷即Moment，載荷大小為9948N·mm（因?yàn)辇X輪厚度為實(shí)際參數(shù)的0.1倍所以扭矩載荷也為實(shí)際參數(shù)的0.1倍）。

圖5 小齒輪內(nèi)圈Coordinate System的建立

在接觸對的設(shè)置時(shí)刪除掉原系統(tǒng)自動生成的接觸對后，手動添加嚙合區(qū)最高點(diǎn)為唯一的接觸對。其小齒輪漸開線面為接觸面，大齒輪漸開線面及齒頂圓面為目標(biāo)面。接觸形式選擇無摩擦接觸以忽略摩擦力對計(jì)算結(jié)果的影響。具體見圖6、圖7所示：

圖6 齒輪接觸對位置

圖7 齒輪接觸對形式設(shè)置

2.4 仿真分析計(jì)算結(jié)果

經(jīng)仿真分析計(jì)算，大齒輪根部的最大等效應(yīng)力為93.1 MPa,最大應(yīng)力位置出現(xiàn)在嚙合區(qū)最高點(diǎn)大齒輪受壓一側(cè)的根部，如圖8所示。受拉一側(cè)的根部的等效應(yīng)力相對較小為79.5 MPa，如圖9所示。

圖8 大齒輪根部最大應(yīng)力位置

圖9 大齒輪根部受拉一側(cè)最大應(yīng)力

為與后續(xù)經(jīng)典計(jì)算進(jìn)行對比，現(xiàn)提取齒輪嚙合區(qū)最高點(diǎn)大齒輪對小齒輪的反力Force Reaction，如圖10、圖11所示：

圖10 嚙合區(qū)最高點(diǎn)大齒輪對小齒輪反力

圖11 嚙合區(qū)最高點(diǎn)反力值

通過上述計(jì)算可知齒輪嚙合區(qū)最高點(diǎn)大齒輪對小齒輪的反力為311 N。

3 根據(jù)第四強(qiáng)度理論計(jì)算齒根的等效應(yīng)力

3.1 經(jīng)典力學(xué)計(jì)算過程中力的解析

載荷作用于齒頂時(shí)的情況如圖12所示。圖中，γ為載荷作用于大齒輪齒頂時(shí)的壓力角，載荷Fn可以分為Fncosγ和Fnsinγ兩個(gè)分量，其中，前者在齒根產(chǎn)生彎曲應(yīng)力σF0和剪應(yīng)力τF0，后者在齒根產(chǎn)生壓應(yīng)力σc0。齒根彎曲應(yīng)力的危險(xiǎn)截面可用30°切線法確定，如圖13所示。圖中，與輪齒對稱線成30°角，并與齒根過渡曲線相切的兩條直線，切點(diǎn)分別為A、B，線段AB表示的就是齒根處的危險(xiǎn)截面。該處的彎曲應(yīng)力σF0、剪應(yīng)力τF0和壓應(yīng)力σc0的計(jì)算公式分別為：

圖12 載荷作用于齒頂時(shí)力的解析

圖13 齒根處的彎曲應(yīng)力、壓應(yīng)力和剪應(yīng)力

3.2 各參數(shù)值的確定

圖12、圖13中與齒輪相關(guān)參數(shù)的確定如下：γ為齒頂圓壓力角，其計(jì)算公式為：

根據(jù)Fn的計(jì)算結(jié)果，對比仿真分析中大齒輪對小齒輪計(jì)算得到的反力（311N），可知該二結(jié)果計(jì)算的誤差在2%左右。

3.3 計(jì)算過程

經(jīng)過上述計(jì)算，各基本參數(shù)已經(jīng)確定，現(xiàn)將各參數(shù)分別代入3.1節(jié)中的公式（1）、（2）、（3），具體如下所示：

齒輪單個(gè)齒在受力時(shí)可視為懸臂梁[6]，根據(jù)材料力學(xué)的知識齒根圓角處的剪應(yīng)力約等于0，但此處本文仍然取AB橫截面的平均剪應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算）下面根據(jù)第四強(qiáng)度理論［7］計(jì)算齒根部位的等效應(yīng)力，此處以圖13中沿O-O軸方向（豎直方向）的應(yīng)力定義為σ1，與紙面方向相切同時(shí)又垂直于O-O軸方向的應(yīng)力定義為σ2，垂直于紙面方向的應(yīng)力定義為σ3。此時(shí)可得：

σ1=σF0+σC0=48.4+4=52.4（MPa）

σ2=τF0=9.6（MPa）

σ3=0（MPa）

將上述計(jì)算結(jié)果代入到第四強(qiáng)度理論計(jì)算齒輪根部的等效應(yīng)力：

4 采用齒根彎曲疲勞強(qiáng)度的經(jīng)典計(jì)算方法

采用齒根彎曲疲勞強(qiáng)度的公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)即分別通過應(yīng)力修正系數(shù)Ysa、重合度系數(shù)Yε和載荷系數(shù)KF對齒根部位的彎曲應(yīng)力σF0進(jìn)行修正。齒輪齒根彎曲疲勞強(qiáng)度的計(jì)算公式為：

式（5）中的σF0=48.4MPa在3.3節(jié)中已經(jīng)得出。應(yīng)力修正系數(shù)Ysa可根據(jù)1.1節(jié)中給出的參數(shù)通過查閱圖表的方法得出Ysa≈1.82。當(dāng)然也可以通過公式（6）[8]對應(yīng)力修正系數(shù)Ysa進(jìn)行計(jì)算。：

SFn—齒根危險(xiǎn)截面齒厚；

hFe—彎曲力臂

ρF—30°切線切點(diǎn)處的曲率半徑

筆者采用該公式計(jì)算大齒輪的應(yīng)力修正系數(shù)Ysa≈1.90，計(jì)算過程在此不再贅述。

載荷系數(shù)KF的值是由使用系數(shù)KA、動載系數(shù)KV、分配系數(shù)KFα以及分布系數(shù)KFβ的連續(xù)乘積得到。

根據(jù)1.1節(jié)中給出的參數(shù)可以通過查閱圖表的方法得出：KA=1.0、KV=1.08、KFα=1.2、KFβ=1.34。（應(yīng)力修正系數(shù)Ysa、使用系數(shù)KA、動載系數(shù)KV、分配系數(shù)KFα、分布系數(shù)KFβ均可以通過機(jī)械設(shè)計(jì)教材、機(jī)械設(shè)計(jì)手冊或齒輪手冊查閱到）

則載荷系數(shù)為：

重合度系數(shù)Yε的計(jì)算公式為：

（8）中的εα為齒輪的重合度，其計(jì)算公式為：

（9）式中的αa1和αa2分別為小齒輪和大齒輪齒頂圓壓力角，其中大齒輪齒頂圓壓力角已經(jīng)在第3.2節(jié)中得到（αa2≈22.8°即（4）中的γ）。現(xiàn)將小齒輪分度圓半徑r1=34 mm、齒頂圓半徑ra2=36 mm、壓力角α=20°代入公式（4）中可得小齒輪齒頂圓壓力角αa1≈27.4°。將上述已知數(shù)據(jù)帶入到（9）中可得：

可得重合度系數(shù)Yε≈0.66。將以上所得數(shù)據(jù)帶入到式（5）中可得：

5 結(jié)論

根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果可知，仿真分析計(jì)算的齒根等效應(yīng)力為93.1 MPa；根據(jù)第四強(qiáng)度理論計(jì)算的齒根等效應(yīng)力為47.8 MPa；采用齒根彎曲疲勞強(qiáng)度的計(jì)算方法得到的彎曲疲勞應(yīng)力為101 MPa。綜合對比上述三種計(jì)算方法得到的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，仿真分析計(jì)算和齒根彎曲疲勞強(qiáng)度計(jì)算得到的應(yīng)力結(jié)果相近，可見按照本文所設(shè)置的邊界條件用仿真分析計(jì)算的方法得到的齒根等效應(yīng)力已經(jīng)有一定的安全冗余，其等效應(yīng)力值略小于在1.1節(jié)中的齒輪相關(guān)參數(shù)條件下的彎曲疲勞應(yīng)力值，具有一定的計(jì)算精度，其相對于彎曲疲勞應(yīng)力值誤差在8%左右。

[1] 張?jiān)菩?，韓志引，李東艷.航空直齒輪輪緣厚度對齒根應(yīng)力的影響規(guī)律[J]. 機(jī)床與液壓，2020(21)：176-181.

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[5] 西北工業(yè)大學(xué)機(jī)械原理及機(jī)械零件教研室.機(jī)械設(shè)計(jì)[M]. 北京: 高等教育出版社. 2013.

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[7] 孫訓(xùn)芳，方孝淑，關(guān)來泰，材料力學(xué)（Ⅰ）[M]. 北京：高等教育出版社. 2009.

[8] 機(jī)械設(shè)計(jì)手冊編委會. 機(jī)械設(shè)計(jì)手冊. 第2卷. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社. 2015.

Comparative calculation of equivalent stress at tooth root

He Zhongshi，Meng Lingkuan

(Xiangtan Electric Manufacturing Group Co., Ltd, Xiangtan 411101, Hunan，China)

TH123.4

A

1003-4862（2023）08-0069-05

2023-05-12

何中石（1983-），男，本科。主要從事電機(jī)設(shè)計(jì)工作。E-mail: 1564892293@qq.com