江蘇省金湖縣第二中學(xué) (211600) 梁加林

我們?cè)诶脤?dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或者極值時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到導(dǎo)函數(shù)方程f′(x)=0是一個(gè)超越方程或是一個(gè)含有參數(shù)的二次方程,使我們無(wú)法求出方程根或者無(wú)法清晰的表述方程根的情況,此時(shí)我們可能是束手無(wú)策,無(wú)法繼續(xù)下去了,其實(shí)問(wèn)題并非是無(wú)從下手,而可能是我們知識(shí)儲(chǔ)備不夠豐富,方法研究不夠透徹,針對(duì)這個(gè)常見(jiàn)的解題現(xiàn)象,本文通過(guò)對(duì)典型例題的分析探求,介紹常用的五種處理手段,供讀者朋友參考.

一 賦值探求

如果導(dǎo)函數(shù)涉及的是關(guān)于lnx的復(fù)合函數(shù)時(shí),一般可令x=et,特別的是令x=1或者x=e進(jìn)行試探;如果導(dǎo)函數(shù)涉及的是關(guān)于ex的復(fù)合函數(shù)時(shí),一般可令x=lnt,特別的是令x=0或者x=1進(jìn)行試探求解.

點(diǎn)評(píng)：如果導(dǎo)函數(shù)方程是超越方程,不應(yīng)該用常規(guī)解方程的方法求解,需要靈活地使用相關(guān)的特殊值驗(yàn)算得出,這是一個(gè)重要的解題共識(shí).

二 虛設(shè)零點(diǎn)

通過(guò)假設(shè)x0是方程f′(x)=0的根,然后將x0代入方程并設(shè)法消去參數(shù),重新構(gòu)造出關(guān)于零點(diǎn)的一個(gè)單一函數(shù),這樣就能把題目轉(zhuǎn)化為常規(guī)的方程問(wèn)題了.

例2 已知函數(shù)f(x)=lnx+x,g(x)=x·ex-1,求證:f(x)≤g(x).

點(diǎn)評(píng)：在解題過(guò)程中,要時(shí)刻記住假設(shè)的根的意義和用途,許多情況下,這個(gè)假設(shè)對(duì)后面解題會(huì)起到關(guān)鍵作用,如本題中得到了F(x0)=0.

三、多次求導(dǎo)

在通過(guò)第一次求導(dǎo)后無(wú)法確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),可以設(shè)一個(gè)新的相關(guān)函數(shù)并再一次或又一次的求導(dǎo),這樣就使導(dǎo)數(shù)式變得越來(lái)越簡(jiǎn)單,為成功解決零點(diǎn)問(wèn)題化解了難點(diǎn).

例3 已知函數(shù)f(x)=xlnx-ex+1.試證明:f(x)

析解：要證f(x)0,xlnx≤0,故xlnx-ex+11時(shí),令g(x)=ex+sinx-1-xlnx,故g′(x)=ex+cosx-lnx-1.

點(diǎn)評(píng)：多次求導(dǎo)也是導(dǎo)數(shù)題中的重要解題技巧,尤其是在含有l(wèi)nx和ex的函數(shù)式中會(huì)經(jīng)常得到使用,而此法是以能夠解導(dǎo)函數(shù)方程為目的,必須得到正確運(yùn)用.

四 拆分構(gòu)造

在整體形式上很難判斷出f′(x)正負(fù)和求出零點(diǎn)時(shí),可以采用分離構(gòu)造函數(shù)g(x),使f′(x)=g(x)·h(x),其中h(x)恒正或恒負(fù),這樣下一步只需對(duì)g(x)進(jìn)行研究就可以了.

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用此法的目的是使解題過(guò)程簡(jiǎn)化、優(yōu)化,所以必須先對(duì)導(dǎo)函數(shù)式進(jìn)行有效的變形轉(zhuǎn)化,在能確定其中一部分函數(shù)式的符號(hào)后,再設(shè)一個(gè)新函數(shù).

五 整合重組

如果在直接求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)難以達(dá)到的情況下,可以通過(guò)對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行代數(shù)變形、整合重組,轉(zhuǎn)化為一個(gè)與原題意一致的并且新函數(shù)求零點(diǎn)容易解決的問(wèn)題.

例5 已知函數(shù)f(x)=xlnx+mex有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì)導(dǎo)函數(shù)式的變形,創(chuàng)造了重組的條件,而重組的目的是方便解決下面的問(wèn)題,如本題中的參數(shù)范圍,所以重組必須有一部分是比較簡(jiǎn)單的,這是解題原則.

前面通過(guò)典型例題的分析,介紹了導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求問(wèn)題的五種求解策略,其核心就是圍繞如何確定相關(guān)的超越方程的解所施展的破題手段,而抓住問(wèn)題特點(diǎn),精準(zhǔn)分析、重點(diǎn)突破是關(guān)鍵．只有在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中注重點(diǎn)解題方法的研究、解題規(guī)律的探索,就可使學(xué)生思維能力獲得較大提高.