張志華 王 軍 武 曉

(重慶市第一中學(xué)校,重慶 400030)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過:“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休.”而高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)六大核心素養(yǎng),其中直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算正契合于此,兩者相輔相成,缺一不可.以形助數(shù),“直觀想象”好似指南針,用以指引方向,幫助發(fā)現(xiàn)結(jié)論;以數(shù)刻形,“數(shù)學(xué)運(yùn)算”如同放大鏡,讓圖像更加精細(xì),讓邏輯更加嚴(yán)謹(jǐn).

1 問題展示與分析

1.1 問題展示

A.6是函數(shù)y=f(x)的一個周期

1.2 初步分析

本題是本校高2023屆期末考試多選題第12題,綜合考查分段函數(shù)、函數(shù)周期性、對稱性、單調(diào)性等知識,屬于難題范疇,我們主要對C選項展開探討.

因為f(x+2)+f(4-x)=f(3),用x+1替換x得f(x+3)+f(3-x)=f(3),令x=0,則f(3)+f(3)=f(3),所以f(3)=0,f(x+3)+f(3-x)=0,f(x)關(guān)于(3,0)中心對稱,又因為f(x)是奇函數(shù),所以其周期T=2|3-0|=6,先畫出f(x)在(0,3)上的圖像,再利用對稱變換和周期變換得其整體圖形.

在試卷評講之前,筆者先讓學(xué)生在課下完成了深度重做,旨在給學(xué)生充分的時間對問題再思考,參悟題目的底層設(shè)計,發(fā)現(xiàn)“雷區(qū)”,揣摩命題人的出題意圖.

[學(xué)生甲匯報] 課堂上,學(xué)生甲首先進(jìn)行匯報,如圖1、圖2所示:

圖1 4個交點的臨界情況

圖2 6個交點的臨界情況

由圖像分析,令g(x)=logax,為保證f(x)與g(x)有5個不同交點,需滿足

[學(xué)生甲點評] 命題人想考查數(shù)形結(jié)合的思想方法,C選項給出的答案只刻畫了左端點,沒有對右端點進(jìn)行刻畫,考慮不全面.

[學(xué)生乙繼續(xù)匯報] 對學(xué)生甲的解答提出了質(zhì)疑,并進(jìn)行了補(bǔ)充.上述過程只考慮了a>1的情況,忽略了0

圖3 時4個交點的臨界情況

圖4 0

從代數(shù)上進(jìn)行刻畫,需滿足:

[教師點評] 非常好!甲同學(xué)數(shù)形結(jié)合時考慮到了右端點,乙同學(xué)全面考慮了圖形存在的多種狀態(tài),分類討論對問題進(jìn)行完善.數(shù)形結(jié)合和分類討論是處理復(fù)雜函數(shù)問題的兩種常見策略[1],望同學(xué)們多多參悟.

2 問題提出與探究

2.1 問題提出

經(jīng)過兩位學(xué)生的深入剖析,此問題的解答似乎無懈可擊,但事實真的是這樣的嗎?

首先通過甲乙兩位同學(xué)的匯報,題目中C選項的正誤早已明了.但我們?nèi)绻浂簧岬厣罹肯氯?對題目中兩函數(shù)曲線“精雕細(xì)琢”,將會打開一副更加波瀾壯闊的畫面.

觀察如下兩個示意圖,當(dāng)我們面對兩個“上凸”函數(shù)時,其“唯一公共點”有兩種狀態(tài).

受定勢思維的影響,加之我們手繪畫圖的不準(zhǔn)確性和視覺誤差,如圖5,我們往往默認(rèn)兩曲線的“唯一公共點”在下方函數(shù)的頂點(對稱軸)處產(chǎn)生.但仔細(xì)推敲我們不難發(fā)現(xiàn),如圖6,當(dāng)兩個函數(shù)同時“上凸”時,其“唯一公共點”應(yīng)當(dāng)落在極值點的左側(cè)!這一點發(fā)人深思:上述解題過程中兩位同學(xué)選用極值點處兩函數(shù)的大小關(guān)系刻畫圖像的交點個數(shù)是否正確?

圖5 “公切點”在對稱軸處 圖6 “公切點”在對稱軸左邊

“唯一公共點”可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的公切線的切點重合,我們不妨用“公切點”來闡述.這樣我們就有兩個探究任務(wù):(1)f(x)與g(x)的公切點是否在f(x)的極值點(對稱軸)的左側(cè);(2)如何解出這個公切點以及對應(yīng)的a的值.以下我們進(jìn)行深入分析.

2.2 問題探究

探究任務(wù)1 以a>1的情況為例,由圖像需刻畫區(qū)間(12,15)上f(x)與g(x)的公切線是否存在.

3 問題猜想

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過:“好問題同某些蘑菇有些相像,他們總是成堆地生長,找到一個以后,你應(yīng)當(dāng)在周圍找找,很可能在附近就有好幾個.”所以,我們應(yīng)當(dāng)去尋找更多的好問題,解決與之相關(guān)的一般數(shù)學(xué)問題,并從中去發(fā)現(xiàn)這個問題的背后所隱藏的奧秘.

如圖7、圖8,我們提出如下兩個猜想.

圖7 “公切點”左偏 圖8 “公切點”右偏

猜想1:在區(qū)間[a,b]上,f(x)是“上凸”函數(shù),有極值點m,g(x)是“上凸”函數(shù),沒有極值點,f(a)

猜想2:在區(qū)間[a,b]上,f(x)是“下凸”函數(shù),有極值點m,g(x)是“下凸”函數(shù),沒有極值點,f(b)>g(b),如果f(x)與g(x)存在公切點x0,則x0>m.

4 教學(xué)啟發(fā)與建議

數(shù)學(xué)中“草圖”的重要性不言而喻,其好處主要是直觀形象、在于觀察和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,屬于“合情推理”的范疇,但“草圖”畢竟不屬于“演繹推理”,由筆繪偏差和視覺誤差容易引起似是而非的錯誤結(jié)論,所以代數(shù)的嚴(yán)格推理與運(yùn)算必不可少.這也與新課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)“直觀想象”與“數(shù)學(xué)運(yùn)算”兩大核心素養(yǎng)密切相關(guān),所以我們不能孤立片面地理解這兩者的關(guān)系,兩者是一個有機(jī)結(jié)合的整體.