李冬航, 王 聰, 張宏立, 馬 萍

(新疆大學(xué) 電氣工程學(xué)院,烏魯木齊 830047)

水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)是由機械、電氣、水力耦合的復(fù)雜非線性系統(tǒng)[1],凌代儉等[2]指出其調(diào)節(jié)對象具有非線性、最小相位特性;郭鵬程等[3-4]也論證了水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)復(fù)雜的非線性動力學(xué)行為。由于其穩(wěn)定性關(guān)系到整個水電機組甚至是電網(wǎng)的正常運行,因此,對水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)進(jìn)行非線性動力學(xué)分析并設(shè)計合理的控制策略具有重要的研究意義。

近年來,水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)中混沌現(xiàn)象的分析和抑制問題受到越來越多的重視[5],許多先進(jìn)控制理論被應(yīng)用到其控制中。陳帝伊等[6]將滑模控制應(yīng)用到混沌狀態(tài)的水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)中,消除了水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)由于比例-積分-微分(proportion-integral-derivative,PID)參數(shù)選取不當(dāng)而引起的混沌現(xiàn)象;王斌等[7]針對混沌狀態(tài)的水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)設(shè)計了終端滑模有限時間控制器,通過引入新的非奇異終端滑模面,克服了傳統(tǒng)滑模面的奇異性問題;Rajagopal等[8]分析了分?jǐn)?shù)階水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象,通過引入模糊規(guī)則設(shè)計了模糊PID控制器,將水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)控制在了穩(wěn)態(tài)。

然而,在參數(shù)激勵下或考慮其機械、電氣、水力部分的響應(yīng)速度時,水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)是多尺度耦合的系統(tǒng),受快慢動力學(xué)效應(yīng)的影響,其極易產(chǎn)生簇發(fā)振蕩行為[9]。Zhang等[10-11]通過將傳遞系數(shù)等效為周期激勵或考慮水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)機械部分的慢時間尺度,將原水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)劃分為兩尺度耦合的系統(tǒng),分析出水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)存在快慢動力學(xué)行為;Li等[12]在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析了高階水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象。簇發(fā)振蕩的存在會影響水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定運行,但是以上研究大多是基于水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的分析和抑制,且針對其簇發(fā)振蕩的研究也局限于現(xiàn)象的分析,較少考慮簇發(fā)振蕩的抑制問題。

針對上述不足,本文采用基于浸入與不變原理的自適應(yīng)反步滑模控制策略抑制水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩行為。其中,滑?？刂凭哂休^強的魯棒性,但是其良好的控制性能是通過控制量的高頻抖動換取的,在實際應(yīng)用中受到一定的限制。而反步法是基于Lyapunov函數(shù)逐步遞推的控制方法,在設(shè)計上具有更大的靈活性且不存在抖振的現(xiàn)象。本文將兩者結(jié)合[13]進(jìn)行水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)控制器的設(shè)計。自適應(yīng)控制常應(yīng)用于具有復(fù)雜擾動的非線性系統(tǒng),但是傳統(tǒng)的基于等價原則的自適應(yīng)控制方法在系統(tǒng)的參數(shù)估計上具有一定的局限性。浸入與不變原理是通過對擾動估計誤差建立流形并保持其吸引與不變來維持系統(tǒng)穩(wěn)定的,其在電機、機器人、電力電子等領(lǐng)域的應(yīng)用均取得了很好的效果[14-16],但在水力發(fā)電領(lǐng)域尚未應(yīng)用。本文將這一思想應(yīng)用到水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的參數(shù)估計中,在其參數(shù)的估計中引入的額外補償項增加了設(shè)計的自由度且此補償項的引入使得傳統(tǒng)自適應(yīng)方法中參數(shù)估計的積分作用轉(zhuǎn)化為了比例積分作用,比例積分形式的補償項使得對擾動估計的收斂速度不斷提升,在提高參數(shù)估計的靈活性的同時也改善了系統(tǒng)的控制性能。本文所提出的控制方案保證了水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定運行,為其簇發(fā)振蕩的控制研究提供了一定的參考,具有重要的研究意義。

1 水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的建模及簇發(fā)振蕩分析

1.1 兩時間尺度水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型

以剛性水擊條件下的混流式水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)為研究對象,其組成部分主要包括水輪機、發(fā)電機、液壓隨動系統(tǒng)和引水系統(tǒng)。水流經(jīng)由引水系統(tǒng)到達(dá)水輪機,之后由水輪機將水流的勢能和動能轉(zhuǎn)化為機械能,再由發(fā)電機將機械能轉(zhuǎn)化為電能饋入電網(wǎng)。其中,液壓隨動系統(tǒng)是負(fù)責(zé)驅(qū)動導(dǎo)水機構(gòu)進(jìn)而控制進(jìn)入水輪機的水流大小以實現(xiàn)機組轉(zhuǎn)速調(diào)整的裝置。其在剛性水擊時的非線性模型[17]如式(1)所示

(1)

由于液壓伺服系統(tǒng)中慣性的存在,導(dǎo)葉開度的變化量明顯慢于其他3個狀態(tài)變量,因此,可以加入時間標(biāo)度因子ε(0<ε<1)來建立兩時間尺度耦合的水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)無量綱模型如式(2)所示

(2)

1.2 水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)簇發(fā)振蕩分析

為了分析時間尺度對水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)非線性動力學(xué)行為的影響,系統(tǒng)參數(shù)取值如表1所示。

表1 水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of hydro turbine governing system

在MATLAB環(huán)境下對式(2)進(jìn)行數(shù)值仿真。求解算法采用ode45,狀態(tài)變量初值選取(0.001,0.001,0.001,0.001),迭代步長0.013,迭代次數(shù)4 200次。取ε=0.16進(jìn)行仿真,相軌跡圖和狀態(tài)變量時序圖如圖1所示。

圖1 水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)快慢動力學(xué)行為Fig.1 Fast-slow dynamic behavior of hydraulic of hydraulic turbine governing system

觀察圖1可知,水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)由于時間尺度差異而表現(xiàn)出明顯的快慢動力學(xué)行為,轉(zhuǎn)速相對偏差、機械力矩相對偏差、導(dǎo)葉開度相對偏差在時序圖和相圖中表現(xiàn)為沉寂態(tài)和激發(fā)態(tài)之間的來回轉(zhuǎn)遷,經(jīng)過6 s左右的振蕩后即進(jìn)入典型的周期簇發(fā)狀態(tài)。其中,轉(zhuǎn)速相對偏差和導(dǎo)葉開度相對偏差的高頻振蕩主要出現(xiàn)在峰值附近,而機械力矩相對偏差的高頻振蕩出現(xiàn)在額定值附近,且機械力矩相對偏差的波動范圍更大?？紤]到簇發(fā)振蕩會影響水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定運行,因此需要設(shè)計控制器來抑制此現(xiàn)象。

2 水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的控制器設(shè)計

反步控制的原理是把原高階系統(tǒng)劃分成多個低階子系統(tǒng),然后分別對各個子系統(tǒng)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)和虛擬控制量,最后再通過一步步反推來設(shè)計系統(tǒng)的控制律。但是單獨的反步控制抗干擾性能較差,可以引入對不確定擾動的自適應(yīng)律設(shè)計,同時加入滑?？刂瓶朔到y(tǒng)的不確定性。

首先,將式(2)改寫為嚴(yán)格反饋形式,如式(3)所示

2.1 自適應(yīng)反步滑模控制器設(shè)計

通過分析上述系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可知,控制狀態(tài)變量δ,ω趨于穩(wěn)定即可實現(xiàn)對整個水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的控制。所以,針對式(4)所示系統(tǒng)進(jìn)行控制律的設(shè)計可以實現(xiàn)推導(dǎo)過程的簡化。

(4)

式中:u為待設(shè)計的控制律;d為外部總擾動;f為中間變量,如式(5)所示

定義擾動估計誤差

(6)

狀態(tài)δ的跟蹤誤差

e1=δ-δd

(7)

式中,δd為狀態(tài)變量δ的期望軌跡。

取其虛擬控制量

(8)

狀態(tài)ω的跟蹤誤差

(9)

(10)

(11)

設(shè)計滑模面

s=λe1+e2

(12)

由式(12)可推出

(13)

取Lyapunov函數(shù)

(14)

(15)

取控制器如式(16)所示

式中,系數(shù)h,η,σ均大于0。

將式(16)代入式(15),得

構(gòu)造正定矩陣

(18)

可得

(19)

取擾動自適應(yīng)律為

(20)

即可使式(19)非負(fù),穩(wěn)定性證明完畢。

2.2 基于浸入與不變原理的自適應(yīng)反步滑?？刂破髟O(shè)計

針對自適應(yīng)反步滑?？刂茖_動估計誤差的動態(tài)變化不可調(diào)節(jié)的不足,引入浸入與不變理論,對誤差估計建立流形如式(21)所示。

式中,β(δ,ω)為補償函數(shù)。

若上述流形保持不變,則待設(shè)計控制器的系統(tǒng)方程可表示為

(22)

式中:w為自適應(yīng)律;z為擾動估計誤差。

只需設(shè)計合適的自適應(yīng)律w和補償函數(shù)β即可保證流形M的不變和吸引。其中,基于浸入與不變原理的自適應(yīng)反步滑模控制器(immersion and invariance-adaptive backstepping sliding mode controller,I &I-ABSMC)的初始設(shè)計部分和2.1節(jié)式(7)～式(10)完全相同,結(jié)合式(22)可得

(23)

設(shè)計滑模面

s1=λ1e1+e2

(24)

由式(24)可推出

(25)

取控制器如式(26)所示

[hs1+ηtanh(s1/σ)]+ke1

(26)

對擾動估計誤差z求導(dǎo)得

(27)

將式(22)代入式(27)得

(28)

通過分析式(28),取擾動自適應(yīng)律w為

(29)

由式(28)和式(29)可得

(30)

取Lyapunov函數(shù):V3=0.5z2,求導(dǎo)可得

(31)

令

(32)

由式(30)～式(32)可得

(33)

z=c2e-γ1t

(34)

式中:c2與z的初值相關(guān);z呈指數(shù)收斂。

s1{ke1-z-[hs1+ηtanh(s1/σ)]}

(35)

取η>max|z|,c1+λ1>0,h>0,1+k=0,即可保證V4負(fù)定,基于浸入與不變原理的自適應(yīng)反步滑模控制器設(shè)計完畢。

3 仿真驗證

3.1 I &I-ABSMC的參數(shù)分析

由于I &I-ABSMC的不同控制參數(shù)會對水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的狀態(tài)變量收斂以及擾動跟蹤的效果產(chǎn)生較大影響,所以進(jìn)行了控制器參數(shù)變化時的對比試驗。其中,系統(tǒng)參數(shù)的選取參照表1,假設(shè)外部擾動d=12cos(0.1t),初始條件(0.001,0.001,0.001,0.001),δd=0。補償函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)γ1變化時機械力矩相對偏差的收斂曲線以及擾動跟蹤曲線如圖2所示,其余控制器參數(shù)選取:λ=1,c1=3,h=3,η=2,σ=0.1,λ1=1,k=-1。由圖2(a)可以觀察出,雖然不同的γ1取值均可以使控制器在有限時間內(nèi)跟蹤到擾動的給定值,但是隨著γ1的不斷增大,基于浸入與不變原理的自適應(yīng)反步滑?？刂破鲗_動跟蹤的超調(diào)量會明顯增加,且擾動的估計值會更慢地收斂到給定值。而且由圖2(b)可以分析出,γ1取不同值時機械力矩相對偏差收斂曲線完全重合,即改變γ1的取值不會影響機械力矩相對偏差的收斂狀況。

圖2 γ1變化時系統(tǒng)的響應(yīng)曲線Fig.2 Response curve of the system when γ1 changes

控制器中參數(shù)σ的選取對水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線的影響如圖3所示,此時其他控制參數(shù)的選取:λ=1,c1=3,h=3,η=2,λ1=1,σ=0.1,γ1=100,k=-1。從圖3(a)可知,隨著σ的增大,本控制器作用下的水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)擾動估計值的超調(diào)量有一定的降低,但是在跟蹤擾動給定值的速度方面會更慢。由圖3(b)可以觀察出,更大的σ值會使其機械力矩相對偏差收斂曲線的超調(diào)更明顯,且收斂速度更慢。

圖3 σ變化時系統(tǒng)的響應(yīng)曲線Fig.3 Response curve of the system when σ changes

由以上分析可知,控制器參數(shù)應(yīng)在合理的范圍內(nèi)選取,γ1和σ取值越小則控制效果越好,為了不失一般性,本控制器取γ1=100,σ=0.1。其他控制參數(shù)的分析過程類似,不再贅述。其余控制器參數(shù)選取:λ=1,c1=3,h=3,η=2,λ1=1,k=-1。

3.2 不同控制器的控制效果對比

為了驗證I &I-ABSMC控制效果,將其與ABSMC和基于非線性干擾觀測器的自適應(yīng)反步滑?？刂破?nonlinear disturbance observer-ABSMC,NDO-ABSMC)進(jìn)行對比試驗。

圖4給出了兩時間尺度水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的狀態(tài)變量在3種控制器作用下的收斂曲線。由圖4可得,上述3種控制器都可以實現(xiàn)水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)簇發(fā)振蕩的抑制。但是,相比于其他2種控制方式,基于浸入與不變原理的自適應(yīng)反步滑?？刂凭哂惺諗繒r間更短、過渡過程更平滑、狀態(tài)變量過沖更小的特點。由圖4(a)和圖4(b)可以分析出,發(fā)電機轉(zhuǎn)子角度相對偏差和轉(zhuǎn)速相對偏差在自適應(yīng)反步滑?？刂破鞯淖饔孟率諗繒r間最長,過沖明顯更大。由圖4(c)和圖4(d)可以分析出,機械力矩相對偏差和導(dǎo)葉開度相對偏差在非線性干擾觀測器作用下的過沖更大,尤其是導(dǎo)葉開度相對偏差的最大過沖接近于其他2種控制方式的30倍且振蕩持續(xù)整個控制過程,在收斂時間較長時會進(jìn)一步加劇系統(tǒng)的不穩(wěn)定。

圖4 不同控制器時的狀態(tài)變量收斂曲線Fig.4 Convergence curves of state variables with different controllers

圖5顯示了3種控制器對擾動的估計情況,由圖5可以分析出,自適應(yīng)反步滑?？刂聘檾_動的速度明顯最慢且初始階段誤差最大。雖然基于浸入與不變原理的自適應(yīng)反步滑?？刂破骱突诜蔷€性干擾觀測器的反步滑模控制器在跟蹤擾動的速度方面相差無幾,但前一種控制器的擾動估計值和實際值之間的誤差明顯更小。

圖5 不同控制器時的擾動估計Fig.5 Estimation of disturbance with different controllers

可以看出,引入浸入與不變流形后,系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象得到抑制的同時,其狀態(tài)變量的收斂速度和對外部擾動的適應(yīng)能力相比于其他兩種控制策略都得到了一定的提高。

上述研究僅證明了I &I-ABSMC在系統(tǒng)發(fā)生簇發(fā)振蕩時具有較好的控制效果,為了驗證I &I-ABSMC在常規(guī)工況下的控制效果,取式(1)剛性水擊時的水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型為被控對象,得到常規(guī)工況時系統(tǒng)在3種控制器作用下的狀態(tài)變量收斂曲線和擾動跟蹤效果如圖6所示。由圖6(a)和圖6(b)可知,機組常規(guī)工況下的發(fā)電機轉(zhuǎn)子角度相對偏差、轉(zhuǎn)速相對偏差在I &I-ABSMC的作用下收斂速度更快、超調(diào)量更小。但是在機械力矩相對偏差的收斂速度以及超調(diào)量方面,ABSMC表現(xiàn)較好。結(jié)合圖6(d)和圖6(e)的導(dǎo)葉開度相對偏差的收斂情況以及對擾動的跟蹤效果,I &I-ABSMC在全狀態(tài)范圍內(nèi)的表現(xiàn)仍優(yōu)于其他2種控制策略。

圖6 常規(guī)工況下的控制效果對比曲線Fig.6 Comparison curve of the control results under normal conditions

當(dāng)機組在額定工況下運行時,水輪發(fā)電機組的功角應(yīng)該等于電網(wǎng)的功角,即發(fā)電機轉(zhuǎn)子角度相對偏差δ=0;速度應(yīng)該保持在額定速度,即轉(zhuǎn)速相對偏差ω=0;水輪機力矩應(yīng)保持恒定,以維持水輪機轉(zhuǎn)速的穩(wěn)定,即水輪機機械力矩相對偏差mt=0;導(dǎo)葉開度為額定開度,即y=0[18]?？紤]水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)實際運行情況,若運行過程中發(fā)生失穩(wěn)行為會對整個系統(tǒng)造成極大的危害,為了證明本文所提方法對運行過程中失穩(wěn)行為的控制效果,假定在0.3 s時施加I &I-ABSMC控制器,其狀態(tài)變量的收斂曲線以及擾動的跟蹤效果如圖7所示。觀察圖7(a)～圖7(d)可知,加入控制器的瞬間,水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的發(fā)電機轉(zhuǎn)子角度相對偏差、轉(zhuǎn)速相對偏差、機械力矩相對偏差、導(dǎo)葉開度相對偏差經(jīng)歷一定的過沖后均會在一定時間內(nèi)收斂到穩(wěn)態(tài)。由圖7(e)可以分析出,擾動的估計值在加入控制器后出現(xiàn)了很大的超調(diào),這與本控制器的控制參數(shù)γ1的選取有關(guān),γ1取更小的值將極大的降低超調(diào)量。由圖7(f)可知,本系統(tǒng)中的基于浸入與不變原理的自適應(yīng)反步滑?？刂破鞯捻憫?yīng)速度較快,控制量可以實現(xiàn)穩(wěn)定輸出。

圖7 運行過程中加入控制器后的系統(tǒng)響應(yīng)曲線Fig.7 Response curve of the system after adding controller during operation

上述分析均是在水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)于初始時刻即存在擾動的情形下進(jìn)行的,但是實際中擾動往往是在系統(tǒng)運行過程中突然加入,因此,為了進(jìn)一步驗證控制器的魯棒性,假設(shè)在3 s時施加擾動d,其取值同3.1節(jié)。仿真結(jié)果如圖8所示,綜合圖8(a)～圖8(d)可知,突加擾動后,I &I-ABSMC作用下的水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)各狀態(tài)變量的收斂速度和超調(diào)量方面仍然更優(yōu),其他兩種控制策略在部分狀態(tài)變量上表現(xiàn)尚可,但是在全狀態(tài)范圍內(nèi)的表現(xiàn)較差,即具有較差的魯棒性。由圖8(e)可知,I &I-ABSMC以極快的速度跟蹤擾動,而NDO-ABSMC跟蹤擾動時雖然超調(diào)量和I &I-ABSMC幾乎一致,但是約0.3 s才實現(xiàn)完全跟蹤,速度明顯更慢?？梢院苊黠@的看出,ABSMC在跟蹤擾動時超調(diào)量明顯更大,且擾動的估計值和實際值約0.4 s才重合。由以上分析可知,突加擾動時I &I-ABSMC依然具有更好的表現(xiàn)。

圖8 突加擾動的控制效果對比曲線Fig.8 Comparison curve of the control results after sudden disturbance

4 結(jié) 論

本文以水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)為研究對象,利用兩時間尺度四階水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型,通過相圖和時序圖分析了其簇發(fā)振蕩行為。對于水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩抑制問題,設(shè)計了3種基于反步法和滑模理論的控制器進(jìn)行對比試驗。相同條件下的仿真結(jié)果表明:在保證水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定運行的前提下,相比于自適應(yīng)反步滑模控制和基于非線性干擾觀測器的反步滑?？刂?基于浸入與不變原理的自適應(yīng)反步滑?？刂平鉀Q了傳統(tǒng)方法對擾動的估計不足導(dǎo)致的跟蹤性能較差的問題。同時,機組常規(guī)工況下的對比試驗進(jìn)一步驗證了基于浸入與不變原理的自適應(yīng)反步滑?？刂频耐ㄓ眯浴Ｍㄟ^進(jìn)行水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)實際運行過程中控制器的延時施加以及擾動的突然加入這兩組試驗,證明了本控制方法具有較強的魯棒性。本文所提控制策略亦可以應(yīng)用到更高階的水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)簇發(fā)振蕩行為的抑制中。