付曉軍, 李欣, 馬尚君, 佟瑞庭, 劉更

(西北工業(yè)大學 陜西省機電傳動與控制工程實驗室, 陜西 西安 710072)

環(huán)形牙滾柱絲杠(ring-shaped roller screw mechanism,RRSM)是一種通過具有環(huán)形凸牙的滾柱與具有環(huán)形凹牙的螺母和多頭絲杠嚙合將旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)化為直線運動的螺旋傳動機構(gòu)。由于采用滾柱作為絲杠和螺母的傳力零件,RRSM具有與行星滾柱絲杠相同的高承載、長壽命和高精度優(yōu)點。此外,因為采用環(huán)形牙結(jié)構(gòu),保證了滾柱相對螺母無軸向運動,且滾柱直徑無需隨著絲杠直徑的增加而增加。因此,在重載工況下,RRSM與行星滾柱絲杠相比具有更小的徑向尺寸與質(zhì)量。RRSM在重型車輛、大型船舶、海洋裝備和冶金機械等領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景。

現(xiàn)有研究多以行星滾柱絲杠為對象進行,主要集中于承載特性[1-2]、運動學分析[3-4]、動力學分析[5-6]和摩擦潤滑[7]等。在嚙合機理研究方面,Blinov等[8]通過在絲杠和滾柱以及螺母和滾柱軸向重疊區(qū)域中劃分多個網(wǎng)格,將曲面嚙合問題轉(zhuǎn)化為計算大量網(wǎng)格節(jié)點處軸向距離的數(shù)值問題,討論了滾柱名義半徑增加對接觸位置和軸向間隙的影響規(guī)律。Jones等[9]利用螺旋曲線的Frenet坐標系推導(dǎo)了計算絲杠、滾柱和螺母之間接觸位置的嚙合方程,并分析了螺紋牙型參數(shù)對接觸特性的影響規(guī)律。結(jié)果表明,增加滾柱牙型輪廓半徑能夠有效提高行星滾柱絲杠的接觸強度。使用中徑螺旋升角代替接觸點處螺旋升角,Liu等[10-11]給出了計算接觸位置的嚙合方程,并對比了滾柱牙型輪廓曲線分別為圓弧、橢圓和拋物線時行星滾柱絲杠的接觸位置。徐強等[12]根據(jù)嚙合區(qū)域的空間幾何關(guān)系,建立了差動式行星滾柱絲杠的空間嚙合模型。Fu等[13]基于絲杠、滾柱和螺母的螺旋曲面方程,推導(dǎo)了能夠考慮制造和裝配誤差的行星滾柱絲杠嚙合方程,并分析了零件偏斜對接觸位置和間隙的影響規(guī)律。劉佳等[14]采用類似Blinov模型[8]的數(shù)值方法計算了行星滾柱絲杠螺紋牙的接觸位置和在接觸區(qū)域附近的間隙變化。Xing等[15]利用螺紋螺旋曲面方程計算了絲杠和滾柱以及螺母和滾柱接觸位置,并研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)對行星滾柱絲杠磨損特性的影響。上述數(shù)值模型計算效率低,解析模型中的嚙合方程僅適用于特定結(jié)構(gòu)滾柱絲杠的嚙合特性分析,缺乏面向RRSM結(jié)構(gòu)和嚙合特點的嚙合機理研究。然而,通過嚙合機理研究所獲得RRSM接觸位置和間隙計算結(jié)果,是進一步實現(xiàn)該傳動機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)匹配設(shè)計、強度剛度計算、運動學與動力學分析和壽命預(yù)估的基礎(chǔ)。

本文根據(jù)RRSM的結(jié)構(gòu)和嚙合特點,建立絲杠、滾柱和螺母的螺旋曲面方程。推導(dǎo)了用于計算絲杠和滾柱以及螺母和滾柱之間接觸位置的嚙合方程。根據(jù)嚙合方程,提出了保證RRSM正確嚙合的結(jié)構(gòu)參數(shù)約束條件。給出RRSM軸向間隙以及零間隙牙厚設(shè)計量的計算公式。對比了本文解析公式和現(xiàn)有數(shù)值模型的接觸位置和軸向間隙計算結(jié)果。分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對RRSM嚙合特性的影響規(guī)律。

1 結(jié)構(gòu)組成和曲面方程

1.1 結(jié)構(gòu)組成

RRSM的結(jié)構(gòu)組成如圖1所示,主要由外環(huán)形滾柱(見圖2a))、內(nèi)環(huán)形螺母(見圖2b))、多頭螺紋絲杠、內(nèi)齒圈和保持架組成。多個滾柱被保持架分隔,且均勻分布在絲杠周圍。滾柱環(huán)形凸牙同時與絲杠螺紋和螺母環(huán)形凹牙相嚙合。當絲杠旋轉(zhuǎn)時,滾柱在螺母內(nèi)部做純滾動運動;絲杠螺旋曲面與滾柱環(huán)形曲面相嚙合,驅(qū)動滾柱和螺母沿軸向移動。

圖1 環(huán)形牙滾柱絲杠的結(jié)構(gòu)組成

圖2 環(huán)形牙結(jié)構(gòu)

RRSM取消了滾柱和螺母的螺紋結(jié)構(gòu),所以滾柱始終和螺母無相對軸向運動。因此,螺母名義半徑rN和滾柱名義半徑rq之間無需滿足rN=nSrq的比例關(guān)系約束,其中nS為絲杠頭數(shù)。同時,絲杠名義半徑rS和滾柱名義半徑rq之間也無需滿足rq=rS/(nS-2)的比例關(guān)系約束。因此,在RRSM中,滾柱名義半徑可遠小于絲杠名義半徑,從而能夠極大地縮小整個傳動機構(gòu)的徑向尺寸并減輕其質(zhì)量。為了描述絲杠、滾柱和螺母之間的相對位置,建立如圖1所示的固定坐標系O-XYZ。Z軸與絲杠軸線重合,X軸與滾柱#q的軸線相交,q=1,2,…,nroller,nroller表示滾柱的數(shù)量。螺母為如圖2b)所示的環(huán)形凹牙結(jié)構(gòu),磨削時無需考慮砂輪軸傾斜角問題。螺母磨削難度不隨絲杠螺紋頭數(shù)的增加而增加。

圖3a)～3b)分別給出了RRSM在絲杠和滾柱以及螺母和滾柱之間通過接觸點的剖面。ΠSU和ΠSB表示絲杠螺紋的上下螺旋曲面;ΠqU和ΠqB分別表示滾柱環(huán)形牙的上下曲面;ΠNU和ΠNB分別表示螺母環(huán)形牙的上下曲面。如圖3a)所示,絲杠與滾柱接觸點將偏離兩者軸線所形成的平面。如圖3b)所示,螺母與滾柱接觸點位于兩者軸線所形成的平面內(nèi)。依據(jù)受力方向的不同,螺母所受的外部負載能夠通過ΠNU→ΠqB→ΠqU→ΠSB或者ΠNB→ΠqU→ΠqS→ΠSU路徑傳遞給絲杠。

圖3 絲杠和滾柱以及螺母和滾柱的接觸點剖面

1.2 曲面方程

絲杠、滾柱和螺母的軸截面分別如圖4a)～4c)所示。oi-xiyizi為零件坐標系,i=S,N,q表示絲杠、螺母或滾柱#q。ri,ci和βi(i=S,N,q)分別表示零件的名義半徑、半牙厚和牙側(cè)角。P表示絲杠螺距或滾柱和螺母的環(huán)形牙牙距。設(shè)圖4a)中xS軸與絲杠第1條螺紋相交,則絲杠第j條螺紋在坐標系oS-xSySzS中的螺旋曲面方程為

圖4 絲杠、滾柱和螺母的軸截面

(1)

式中,j=1, 2,…,nS,nS為絲杠頭數(shù);uS和θS為曲面坐標;ξS=1或-1分別表示曲面ΠSU或ΠSB;?j為第j條螺紋的相位角

(2)

圖4b)中,kq表示第kq個滾柱環(huán)形牙,kq=1,2,…,nT,nT為環(huán)形牙數(shù)量。rTq為牙型圓弧半徑。設(shè)xq軸穿過第1個滾柱環(huán)形牙的中心,則滾柱#q的第kq個環(huán)形牙在坐標系oq-xqyqzq中的曲面方程為

(3)

式中:uq和θq為曲面坐標;ξq=1或-1分別表示曲面ΠqU或ΠqB,uTq和wTq分別表示為

圖4c)中,kN表示第kN個螺母環(huán)形牙,kN=1,2,…,nT,nT為環(huán)形牙數(shù)量。螺母環(huán)形牙在坐標系oN-xNyNzN中的曲面方程為

(6)

式中:uN和θN為曲面坐標;ξN=1或-1分別表示曲面ΠNU或ΠNB。

絲杠、螺母和滾柱零件坐標系oi-xiyizi(i=S,N,q)在固定坐標系O-XYZ中的位置如圖5所示。零件坐標系oi-xiyizi向固定坐標系O-XYZ的變換矩陣為

(7)

式中

(8)

(9)

式中,ψq為滾柱#q的相位角。

(10)

由(1)、(3)、(6)和(7)式可知,絲杠,螺母和滾柱曲面方程在固定坐標系O-XYZ可分別表示為

2 嚙合方程

絲杠和滾柱之間接觸點在XOY平面內(nèi)的投影點OSq如圖6所示。rSq和rRsq分別表示絲杠和滾柱的嚙合半徑;φSq和φRsq分別表示絲杠和滾柱的嚙合偏角。由(11)式和圖6可得,絲杠接觸點在固定坐標系O-XYZ中的位置向量可表示為

圖6 絲杠和滾柱之間的接觸位置

(14)

式中:zSq為絲杠接觸點的Z軸坐標值;ζSq為絲杠接觸點所對應(yīng)的相位角

ζSq=φSq+?j-ψq

(15)

假設(shè)滾柱沿Z軸移動δSq距離后,絲杠和滾柱相接觸。由(13)式和圖6可得,滾柱的絲杠側(cè)接觸點在固定坐標系O-XYZ中的位置向量為

(16)

式中,zRsq為滾柱未移動前所對應(yīng)的接觸點Z坐標值。當ξS=1時,表示絲杠上曲面ΠSU和滾柱下曲面ΠqB相接觸;當ξS=-1時,表示絲杠下曲面ΠSB和滾柱上曲面ΠqU相接觸。

由(11)式和(14)式可得,絲杠曲面在接觸點處的外法線向量為

(17)

式中

(18)

由(13)和(16)式可得,滾柱曲面在接觸點處的外法線向量為

(19)

式中

(20)

由曲面相切接觸條件可知,絲杠和滾柱在接觸點處具有相同的位置向量且外法線向量共線。由(14)～(19)式可得,絲杠和滾柱的嚙合方程為

(21)

求解(21)式能夠獲得絲杠和滾柱#q(q=1,2,…,nroller)的嚙合半徑和嚙合偏角。

為了保證RRSM的正確嚙合條件,各個滾柱應(yīng)具有相同的嚙合偏角和嚙合半徑,即

(22)

將(22)式代入(21)式中可得

?j-ψq=0

(23)

將(2)式和(10)式代入(23)式中可得

nS=nroller

(24)

由(14)、(16)和(23)式可得,絲杠和滾柱之間的間隙量為

螺母和滾柱之間接觸點在XOY平面內(nèi)的投影點ONq如圖7所示。rNq和rRnq分別表示螺母和滾柱的嚙合半徑;φNq和φRnq分別表示螺母和滾柱的嚙合偏角。

采用推導(dǎo)絲杠和滾柱嚙合方程相同的方法,可得滾柱和螺母之間的嚙合方程為

(27)

式中

(28)

求解(27)式能夠獲得螺母和滾柱#q(q=1,2,…,nroller)的嚙合半徑和嚙合偏角。由(27)式可知,若使得螺母和滾柱的接觸點位于兩零件中徑的切點處,則螺母和滾柱需滿足如下結(jié)構(gòu)關(guān)系

將(29)～(30)式代入(27)式可得

由(3)、(6)和(31)～(33)式可得,螺母和滾柱之間的間隙量δNq為

(34)

(35)

3 模型驗證

Blinvo等[8]在絲杠和滾柱螺紋牙軸向重疊區(qū)域內(nèi)劃分多個網(wǎng)格,通過計算大量網(wǎng)格節(jié)點處滾柱曲面與絲杠曲面的zPq坐標差的最小值,進而獲得絲杠和滾柱之間的接觸位置和軸向距離。雖然Blinvo等僅計算了行星滾柱絲杠的嚙合特性,但該方法也適用于RRSM的嚙合特性分析。

一組RRSM的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。采用本文模型和Blinvo模型[8]計算得到的絲杠和滾柱以及螺母和滾柱之間的接觸位置和間隙量如表2所示。Δu和Δθ分別表示Blinvo模型網(wǎng)格的徑向增量和周向增量。在表2中給出了每次分析的計算時間(CPU型號:Intel(R) Xeon(R) Gold 6230R)。本文模型的計算時間為0.031 s。當網(wǎng)格劃分的精度逐步提高時,Blinvo模型計算結(jié)果將趨近于本文模型的計算結(jié)果。于此同時,Blinvo模型的計算時間也在大幅增加。當Δu=10-2mm,Δθ=(10-2)°時,Blinvo模型的計算時間為0.514 s;當Δu=10-3mm,Δθ=(10-3)°時,該模型計算時間達到了47.687 s。因此,本文模型能夠?qū)崿F(xiàn)RRSM嚙合特性的快速準確計算。

表1 RRSM基本結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 不同嚙合模型的計算結(jié)果和計算時間

4 結(jié)構(gòu)參數(shù)對嚙合特性的影響

4.1 絲杠名義半徑和頭數(shù)

當rS=20,30和40 mm時,絲杠和滾柱在不同絲杠頭數(shù)下的接觸位置變化如圖8a)～8c)所示。由螺母和滾柱之間的嚙合方程(27)式可知,當螺母的名義半徑始終滿足(29)式且螺母和滾柱具有相同牙側(cè)角時,不論絲杠中徑rS如何變化,螺母和滾柱之間的接觸點始終位于兩零件的中徑切點位置。

圖8 當rS=20,30和40 mm時,絲杠和滾柱在不同絲杠頭數(shù)下的接觸位置

由圖8可得,絲杠曲面ΠSU上的接觸點位于坐標系xPqoPqyPq的第一象限。曲面ΠSB上的接觸點位于第四象限,且和曲面ΠSU的接觸點關(guān)于xPq軸對稱。因此,在不考慮誤差狀態(tài)下,絲杠兩曲面ΠSU和ΠSB所對應(yīng)的接觸點具有相同的嚙合半徑和嚙合偏角。在圖8a)中,坐標(20,0)為滾柱和絲杠中徑的切點位置。當絲杠名義半徑rS不變且絲杠頭數(shù)nS增加時,接觸點近似沿著yPq軸遠離切點位置(20,0)。對比圖8a)～8c)可得,若絲杠頭數(shù)不變且其名義半徑增加時,接觸點逐漸接近絲杠和滾柱中徑的切點位置。

圖9 當rS=20～50 mm時,絲杠和滾柱在不同絲杠頭數(shù)下的零間隙牙厚設(shè)計量

4.2 滾柱名義半徑和牙型輪廓半徑

當滾柱名義半徑rq=5,7.5,10 mm且滾柱牙型輪廓半徑rTq∈[5,85]mm時,滾柱和絲杠之間的接觸點位置如圖10所示。圖中同時繪制了不同滾柱名義半徑所對應(yīng)的中徑曲線。當滾柱名義半徑rq增加時,接觸點將沿著yPq軸偏離絲杠和滾柱中徑的切點處(30,0)。當滾柱牙型輪廓半徑rTq增加時,接觸點將沿著xPq軸向絲杠牙底圓緩慢偏移。

圖10 當rq=5,7.5,10 mm時,絲杠和滾柱在不同滾柱螺紋牙輪廓半徑下的接觸位置

4.3 絲杠和滾柱的牙側(cè)角

由螺母和滾柱之間的嚙合方程(27)式可知,為了保證接觸點始終位于兩零件的切點處,螺母和滾柱需具有相同的牙側(cè)角。當滾柱牙側(cè)角βq=30°,45°和60°且ΔβSq=-2°,-1°,0°,1°和2°時,絲杠和滾柱的接觸位置如圖12所示。ΔβSq表示絲杠和滾柱的牙側(cè)角差值,ΔβSq=βS-βq。

圖12 當βq=30°,45°和60°且ΔβSq=-2°,-1°,0°,1°和2°時,絲杠和滾柱之間的接觸位置

由圖12可得,當滾柱牙側(cè)角βq增加時,接觸點將沿著yPq軸靠近絲杠和滾柱中徑的切點處。當ΔβSq<0時,接觸點將隨著ΔβSq的減小向絲杠牙頂圓快速偏移;當ΔβSq>0時,接觸點將隨著ΔβSq的增加向滾柱牙頂圓快速偏移。當ΔβSq=0時,絲杠和滾柱的接觸位置位于兩者中徑附近。

圖13 當βq=30°,45°和60°且ΔβSq=-2°～2°時,絲杠和滾柱的零間隙牙厚設(shè)計量

5 結(jié) 論

1) 本文根據(jù)環(huán)形牙滾柱絲杠的結(jié)構(gòu)特點,推導(dǎo)了計算絲杠和滾柱以及螺母和滾柱之間接觸位置的嚙合方程,給出了軸向間隙和零間隙牙厚設(shè)計量的計算方程,提出了保證環(huán)形牙滾柱絲杠正確嚙合的設(shè)計條件。通過與現(xiàn)有數(shù)值模型的接觸位置和間隙計算結(jié)果相對比,驗證了本文解析方程的正確性。

2) 分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對環(huán)形牙滾柱絲杠接觸位置和軸向間隙等嚙合特性的影響規(guī)律。結(jié)果表明,較大的絲杠名義半徑和較小的滾柱名義半徑有利于接觸點接近兩零件的中徑切點位置;相比于滾柱名義半徑,滾柱牙型輪廓半徑對接觸位置的影響較小;絲杠和滾柱之間的接觸位置對兩零件的牙側(cè)角差值十分敏感。當螺母和滾柱牙側(cè)角相同時,兩零件的接觸點位于中徑切點位置。

3) 不考慮加工和裝配誤差時,螺母和滾柱之間的零間隙牙厚設(shè)計量等于絲杠螺距的一半。絲杠和滾柱之間的零間隙牙厚設(shè)計量小于絲杠螺距的一半。絲杠名義半徑增加、滾柱名義半徑減小或絲杠和滾柱牙側(cè)角同時增加時,兩零件之間的零間隙牙厚設(shè)計量隨之增加。滾柱牙型輪廓半徑對零間隙牙厚設(shè)計量幾乎無影響,而絲杠和滾柱牙側(cè)角的差值對其有著顯著的影響。