袁雨城 吳太深

摘? ?要：從多角度研究人拉船模型，通過(guò)定量分析，給出了描述船運(yùn)動(dòng)的位置、速度和加速度以及拉力做功的相關(guān)表達(dá)式。討論了轉(zhuǎn)換研究對(duì)象法的可行性，展示了模型在物理中的重要地位。

關(guān)鍵詞：人拉船模型；運(yùn)動(dòng)的合成與分解；變力做功；轉(zhuǎn)換研究對(duì)象法

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2023）8-0059-4

人拉船是高中物理中重要的模型。描述船的運(yùn)動(dòng)時(shí)，需要結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律、運(yùn)動(dòng)的合成與分解、坐標(biāo)系、位置、位移、速度、加速度、功、功率等知識(shí)進(jìn)行研究，對(duì)高中生乃至大學(xué)生掌握上述知識(shí)點(diǎn)能夠起到一定的作用。

問(wèn)題原型 人拉著繩子在河岸以一定的速度ｕ做勻速直線運(yùn)動(dòng)，繩子另一端繞過(guò)定滑輪與小船相連，試分析小船的運(yùn)動(dòng)并討論繩對(duì)船的拉力的做功情況。

１? ? 船的位置

描述船的位置需要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。人拉船模型是二維平面運(yùn)動(dòng)，可建立直角坐標(biāo)系，用平面直角坐標(biāo)系來(lái)描述船的位置，坐標(biāo)系確定后船在坐標(biāo)系中的位置唯一確定。如圖１所示，直角坐標(biāo)系中船的位置坐標(biāo)為（ｘ，０），即x=xi

２? ? 船的速度

２．１? ? 用運(yùn)動(dòng)的合成與分解描述船的運(yùn)動(dòng)速度

很容易看到船參與了繩子收縮方向的運(yùn)動(dòng)和繞滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向的運(yùn)動(dòng)，圖２為船的運(yùn)動(dòng)的分解。參與繩子收縮方向的速度為ｖ／／，參與繞滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向的速度為ｖ⊥，ｖ為船的運(yùn)動(dòng)速度（合速度）。取船運(yùn)動(dòng)方向與繩收縮方向之間的夾角為θ，即

則

２．２? ? 用坐標(biāo)系描述船的運(yùn)動(dòng)速度

為了能夠定量地描述這個(gè)問(wèn)題，作下面一些假設(shè)，圖３為速度分析圖。

（1）設(shè)船離滑輪的高度為ｙ，船可視為質(zhì)點(diǎn)。

（2）滑輪與軸的摩擦不計(jì)，滑輪質(zhì)量不計(jì)，繩子在滑輪上不打滑，繩子可視為不可伸長(zhǎng)，同時(shí)不計(jì)水對(duì)船的阻力。

這與利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解知識(shí)得到的速度一致。在坐標(biāo)系中分析問(wèn)題不僅能得到速度的大小，而且能準(zhǔn)確描述其方向。下面將繼續(xù)在此坐標(biāo)系中描述船的加速度。

３? ? 船的加速度

３．１? ? 用加速度的合成與分解描述船的加速度

滿足平行四邊形定則的量是有大小也有方向的量，在物理中稱為矢量［１］。與速度一樣，加速度也是矢量，加速度的運(yùn)算滿足平行四邊形定則。圖４為加速度的合成與分解示意圖，記船的加速度為ａ，船的向心加速度為ａｎ，切向加速度為ａｔ。

３．２? ? 利用坐標(biāo)系描述船的加速度

加速度的分析同樣需要一定的假設(shè)，由于與前面的假設(shè)一致，這里便不再贅述。

可見(jiàn)，在坐標(biāo)系中描述的船的加速度與運(yùn)動(dòng)的合成與分解描述的加速度也是一致的。

在加速度的表達(dá)式中可見(jiàn)，加速度由拉繩的速度ｕ、位置ｘ共同給出；由于ｕ，ｘ都是ｔ時(shí)刻拉繩的速度和船的位置，則ａ也是ｔ時(shí)刻時(shí)船的加速度。也由此可見(jiàn)，哪怕拉繩的速度ｕ是變化的，每個(gè)時(shí)刻的值也將會(huì)有一個(gè)對(duì)應(yīng)的船的加速度。

４? ? 船所受拉力做的功

下面討論繩的拉力對(duì)船做的功。圖５為船的受力示意圖，由于滑輪沒(méi)有質(zhì)量，也就沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，那么繞過(guò)滑輪的力大小是相等的，即Ｔ１＝Ｔ２。由于T'2和T2是一對(duì)相互作用力，則T'2=T2。不難發(fā)現(xiàn)，T'2是一個(gè)變化的力，變力做功問(wèn)題一直是一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題［２］。下面力求通過(guò)簡(jiǎn)單、通俗的語(yǔ)言把這個(gè)問(wèn)題描述清楚。

４．１? ? 轉(zhuǎn)換研究對(duì)象法求變力做功

前面提到，繩拉船的力T'2是一個(gè)變力，因此繩拉船的力做功是變力做功問(wèn)題，計(jì)算起來(lái)比較復(fù)雜。認(rèn)真觀察不難發(fā)現(xiàn)，根據(jù)前面的假設(shè)條件，人拉繩做的功等于繩拉船做的功。于是，可以轉(zhuǎn)換研究對(duì)象，用人拉繩的力做功來(lái)表示繩拉船的力做的功，后面將予以證明。先求人拉繩的力做的功：

４．２? ? 人拉繩做的功與繩拉船做的功是一致的

圖６為積分求做功圖解，?。钡剑仓腥我馕恢茫?，T'2對(duì)船在ｘ１到ｘ２之間任意位置做的元功為dW，船發(fā)生的元位移為dx，有

dW=T'2cosαdx

船從位置ｘ１到ｘ２是連續(xù)運(yùn)動(dòng)的，于是積分

前面所說(shuō)“計(jì)算起來(lái)比較復(fù)雜”就在于求此定積分。此積分在電磁學(xué)中的應(yīng)用極為廣泛，求解均勻帶電圓弧、直線、圓盤等周圍的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)時(shí)經(jīng)常使用［３］。下面用詳盡的語(yǔ)言結(jié)合圖７積分附圖，給出此積分的求解過(guò)程：

這與前面利用轉(zhuǎn)換研究對(duì)象法計(jì)算的功一致，說(shuō)明轉(zhuǎn)換研究對(duì)象法是可行的。

５? ? 從功率的角度求解船的速度

根據(jù)功率的定義

與前面討論的速度一致。

６? ? 總? ?結(jié)

本文通過(guò)對(duì)人拉船模型的分析，得到了船在給定坐標(biāo)系中的位置、速度、加速度以及做功問(wèn)題。從兩個(gè)方面求出做功，證明了轉(zhuǎn)換研究對(duì)象法求變力做功是可行的。從本例還可以看出，在高中物理中，一個(gè)簡(jiǎn)單、常見(jiàn)的模型，往往隱藏著豐富的知識(shí)點(diǎn)，這些知識(shí)點(diǎn)往往是最基本且最重要的。由此可見(jiàn)，模型在高中物理中對(duì)學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)有很大幫助，因此在高中物理中深入研究模型是必要的。由此可見(jiàn)，研究一個(gè)物理模型，可以從速度、加速度、能量等最基本的知識(shí)入手，深入發(fā)掘知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，這樣才能最大化發(fā)揮模型的作用。

參考文獻(xiàn)：

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［２］魏明．求解變力做功的方法［Ｊ］．中學(xué)物理教學(xué)參考，２０２２，51（１８）：５９－６０．

［３］梁燦彬，秦光戎，梁竹?。胀ㄎ锢韺W(xué)教程電磁學(xué)（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１２．

（欄目編輯? ? 蔣小平）