徐少輝 李波 王連衛(wèi)

摘? ?要：以“物理光學(xué)”課程為例，基于計算電磁學(xué)的有限時域差分法和MATLAB軟件圖像顯示功能，動態(tài)地展示光學(xué)波動圖像，形象化設(shè)計課程教學(xué)環(huán)節(jié)。利用MATLAB軟件用戶操作界面（GUI）功能，讓學(xué)生自己動手完成結(jié)構(gòu)設(shè)計，獲得波動光學(xué)數(shù)據(jù)和圖像。學(xué)生通過觀察動態(tài)光波傳播過程并分析光學(xué)圖像，提升了對物理光學(xué)基礎(chǔ)知識的興趣，有利于深入理解物理機制并提升實踐操作能力。

關(guān)鍵詞：教學(xué)方法；麥克斯韋方程；時域有限差分法（FDTD）；MATLAB

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2023）8-0069-4

高等教育正經(jīng)歷著從應(yīng)試教育向素質(zhì)教育、從單一的知識教育向知識能力全面教育的轉(zhuǎn)變。因此，可以通過“學(xué)”和“做”相結(jié)合的方式讓工科學(xué)生掌握堅實的理論基礎(chǔ)，并訓(xùn)練其嚴謹?shù)墓そ尘瘢郏保玻荨！皩W(xué)”和“做”是學(xué)習過程中的一對辯證統(tǒng)一體，古代就有“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”的教育，給出的解決方法就是“學(xué)而時習之，不亦說乎”，這里的“習”字就包含實踐的意思。教師可以在教學(xué)工作中給學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境，讓其在“做”中探索，在“做”中體驗求知的無窮樂趣，以不斷獲得學(xué)習動力和新的發(fā)展。因此，以“物理光學(xué)”這門課的計算仿真為切入點，通過一系列教學(xué)模式和教學(xué)方法的改革和創(chuàng)新，來提升和轉(zhuǎn)變工科的基礎(chǔ)教學(xué)方法，此新教學(xué)方式也能夠拓展到其他基礎(chǔ)學(xué)科［３－４］。

光學(xué)是物理學(xué)專業(yè)、電子信息和技術(shù)專業(yè)開設(shè)的必修基礎(chǔ)課，要求學(xué)生在掌握基本光學(xué)理論的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)他們運用基礎(chǔ)知識解決具體光學(xué)問題的能力［５－６］。在光學(xué)發(fā)展過程中，只有很好地掌握物理學(xué)基礎(chǔ)知識，才能更好地拓展光學(xué)專業(yè)的應(yīng)用探索，并理解最新的科研發(fā)展，這是一個漫長的學(xué)習過程。光學(xué)的基礎(chǔ)理論可以追溯到１９世紀的麥克斯韋（Ｍａｘｗｅｌｌ）方程組，它是由四個一階微分方程組成，需要學(xué)習大量的物理基礎(chǔ)知識和高深的數(shù)學(xué)才能很好地理解。這些基礎(chǔ)知識的限制使得學(xué)生很難把握光學(xué)知識，感覺其與現(xiàn)代光學(xué)技術(shù)很遙遠。因此，可以利用最新電磁學(xué)發(fā)展成果反哺教學(xué)，利用編制好的計算機程序展示“物理光學(xué)”中的具體物理圖像。借助這些圖像，讓學(xué)生嘗試自己解決一些光學(xué)問題，使其逐漸走向最新光學(xué)科技前沿。國外的課程中也有類似的構(gòu)思，如美國麻省理工學(xué)院（ＭＩＴ）的電磁學(xué)公開課中就有利用電磁計算直觀地展示波的傳輸特性的案例。澳大利亞悉尼大學(xué)的Ｉａｎ Ｃｏｏｐｅｒ教授完成了一系列的電磁計算案例，直觀地展示了光波的傳輸特性，并應(yīng)用于光學(xué)課程教學(xué)。而國內(nèi)的四川大學(xué)、華僑大學(xué)［７］、國防科技大學(xué)［８］等高校也都嘗試基于計算電磁學(xué)去提升光學(xué)課程教育。因此，把計算電磁學(xué)的最新科研進展應(yīng)用于教學(xué)，精心設(shè)計光學(xué)物理圖像的動態(tài)展示，可以激發(fā)學(xué)生不斷探索的欲望。另外，讓學(xué)生在創(chuàng)設(shè)的物理情境中主動學(xué)習，能不斷獲得新的學(xué)習動力，并提升創(chuàng)新能力。

1? ? 計算方法簡介

隨著計算機性能的提升，計算電磁學(xué)得到了快速發(fā)展。從１９６６ 年Ｙｅｅ在解決電磁散射問題中提出最初思想到現(xiàn)在，時域有限差分算法（Ｆｉｎｉｔｅ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ Ｔｉｍｅ Ｄｏｍａｉｎ，簡稱ＦＤＴＤ）已經(jīng)歷了五十多年的發(fā)展［９－１０］。ＦＤＴＤ能夠計算Ｍａｘｗｅｌｌ電磁波方程，得到各種結(jié)構(gòu)的電磁波傳輸特性，并可以模擬出各個時刻的電磁場分布。另外，ＦＤＴＤ的方便性和準確性也得到了理論和實驗上的檢驗。實現(xiàn)ＦＤＴＤ計算方法的三大關(guān)鍵要素分別為差分格式（包括解的穩(wěn)定性）、激勵源和吸收邊界條件。

1．１? ? 差分格式

基于Ｙｅｅ 元胞圖，每一個磁場分量有四個電場分量環(huán)繞。同樣，每一個電場分量也由四個磁場分量環(huán)繞。這種電磁場分量的空間取樣方式符合法拉第定律和安培環(huán)路定律的自然結(jié)構(gòu)，電磁場各分量的空間相對位置也適合于Ｍａｘｗｅｌｌ的差分計算，能夠恰當?shù)孛枋鲭姶艌龅膫鞑ヌ匦?。因此，給定相應(yīng)電磁問題的初始值及邊界條件后，利用 ＦＤＴＤ 方法就可以逐步求得各個時刻的空間電磁場分布。

1．２? ? 激勵源

1．３? ? 吸收邊界條件

ＦＤＴＤ計算過程中，往往只能選擇有限的空間范圍，只對計算區(qū)域內(nèi)部的網(wǎng)格上的電磁場數(shù)值有效。電磁波到達邊界時，理論上應(yīng)該繼續(xù)向外界傳播。實際上，電磁波將在邊界上發(fā)生強烈反射，反射回來的電磁波與計算區(qū)域中的電磁波發(fā)生重疊，導(dǎo)致假的計算圖像和錯誤的計算信息。因此，需要引入吸收邊界條件，使得計算區(qū)域的邊界上，電磁波如同在自由空間一樣無反射地傳播。人們已經(jīng)發(fā)展出了各種吸收邊界條件，如Ｍｕｒ、Ｌｉａｏ和人為構(gòu)造的ＰＭＬ（Ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ Ｍａｔｃｈｅｄ Ｌａｙｅｒｓ）等。

利用ＭＡＴＬＡＢ軟件的用戶交互式（ＧＵＩ）功能，學(xué)生自己動手修改參數(shù)，并基于ＦＤＴＤ獲得光波傳輸圖像，讓學(xué)生在“做”中探索，在“做”中體驗求知的樂趣。

2? ? 教學(xué)思路和過程

由于“物理光學(xué)”課程主要針對大學(xué)二年級學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)計算能力、計算機編程能力和工程訓(xùn)練都較弱?；诖?，分兩步完成教學(xué)任務(wù)。

第一步，通過編制好的計算電磁學(xué)程序，利用ＦＤＴＤ求解Ｍａｘｗｅｌｌ方程，得到光波傳輸數(shù)據(jù)和動態(tài)圖像（可以錄制為電影模式）。讓學(xué)生通過觀察動態(tài)圖像的方式理解光學(xué)物理現(xiàn)象，也能給學(xué)生展示光學(xué)科研領(lǐng)域的最新進展，讓其打開眼界和思路。

第二步，學(xué)生利用ＧＵＩ功能操作計算程序、設(shè)計實驗結(jié)構(gòu)、改變計算仿真參數(shù)。通過觀察光學(xué)圖片和動畫，討論各個參數(shù)對物理性質(zhì)的影響，從而培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和創(chuàng)新能力。

2．１? ? 光學(xué)物理圖像的展示部分

做一個表格，把“物理光學(xué)”課程中主要物理問題列出?；冢疲模裕姆椒ㄗ龀鲆幌盗姓故境绦?，并整理成一個應(yīng)用程序集，用于演示平面波、球面波（柱面波）、介質(zhì)界面的反射和折射、光波的全反射、光的干涉、光的衍射和光柵衍射等。在教學(xué)過程中，利用ＭＡＴＬＡＢ平臺運行ＦＤＴＤ程序，讓學(xué)生直觀地感受電磁波的演變過程和物理圖像。

顯示界面（圖１）列出了不同的物理過程，選擇感興趣的物理過程，點擊Ｓｔａｒｔ 按鈕，就可以觀察到物理圖像隨時間的動態(tài)演變過程。圖２是實例中展示的光學(xué)圖像，分別是平面波的傳輸、球面波的傳輸、雙縫干涉和單縫衍射過程。學(xué)生觀察電磁波的演變過程后，可以很好地理解電磁波的傳輸特性。這是一個開放式展示程序，能逐步把新開發(fā)出來的應(yīng)用程序加入其中，使教學(xué)內(nèi)容更加豐富。

2．２? ? 實踐操作部分

二年級學(xué)生不易掌握模擬計算的源程序和相關(guān)算法，讓他們修改源程序來實現(xiàn)不同的物理過程還很困難。因此，使用更友好的ＧＵＩ來實現(xiàn)物理過程的設(shè)計以及物理圖像的模擬計算，會更加容易。讓學(xué)生觀察計算得到的圖片和動畫，討論各個參數(shù)對光學(xué)性質(zhì)的影響，可以深入地理解物理機理，也可以鍛煉他們的數(shù)據(jù)分析能力和創(chuàng)新能力。

2．２．１? ? 反射和折射的仿真實驗

不同介質(zhì)界面處光的反射和折射過程是常見的自然現(xiàn)象，雖然中學(xué)時就學(xué)了反射和折射定律，但直到“物理光學(xué)”課上，才獲得了反射率和折射率的定量關(guān)系（菲涅耳公式）。因此，基于時域有限差分法，利用ＧＵＩ功能開發(fā)了介質(zhì)界面反射和折射的仿真程序（圖３），以波動方式理解光的反射和折射現(xiàn)象。具體操作包括：

（１）結(jié)構(gòu)設(shè)計界面：選擇或修改參數(shù)，包括入射波長（５ μm～２０ μm）、入射介質(zhì)和出射介質(zhì)的折射率、入射角度（０°～９０°）以及計算時間等。然后，點擊操作按鈕可獲得不同的物理圖像。

（２）選擇Ｒｕｎ按鈕，可以獲得由菲涅耳公式計算得到的介質(zhì)界面的反射率和透射率結(jié)果，并標記布儒斯特角（對于Ｐ光，或者ＴＭ模式）和全反射臨界角，如圖３（ａ）所示。

（３）輸入入射波長（５ μm～２０ μm），入射角度（０°～９０°）和計算時間，選擇Ｓｈｏｗ按鈕，基于ＦＤＴＤ方法求解Ｍａｘｗｅｌｌ方程，確定不同入射角度時反射和折射的波動圖像。

在玻璃（折射率１．５）／空氣（折射率１．０）界面處，計算得到的反射率和透射率結(jié)果如圖３（ａ）所示。同時，也可以得到布儒斯特角（對于Ｐ光，或者ＴＭ模式）為３３．８０°，全反射臨界角為４１．８１°。小角度（入射角２５°）入射情況，如圖３（ｂ）所示，光波以折射現(xiàn)象為主，大部分電磁波通過界面進入空氣中，顯示出較大的折射角。也可以從波動圖形中觀察到弱的反射率（約５％），其主要表現(xiàn)為光強度的明暗變化，對應(yīng)光波的干涉圖樣。這是由于入射波和反射波滿足干涉條件，在此區(qū)域相遇時發(fā)生干涉現(xiàn)象。對于大角度（入射角５５°）入射情況，如圖３（ｃ）所示，光波以反射現(xiàn)象為主，大部分電磁波被反射進玻璃中。由于入射光線和反射光線的偏移，導(dǎo)致全反射過程中的古斯－哈恩斯（Ｇｏｏｓ－Ｈａｎｃｈｅｎ）位移現(xiàn)象［５－６］。反射光與入射光的疊加區(qū)域也出現(xiàn)了明顯的干涉現(xiàn)象。同時，要注意到折射光并沒有完全消除，透射進入空氣中的光波強度以指數(shù)衰減，這就是全反射現(xiàn)象中的隱失波特性。學(xué)生通過自己動手實踐操作，可以深入理解介質(zhì)界面的反射和折射現(xiàn)象。

2．２．２? ? 光學(xué)干涉和衍射仿真實驗

光波的干涉和衍射現(xiàn)象是“物理光學(xué)”的重要內(nèi)容，因此，基于時域有限差分法并利用ＧＵＩ設(shè)計了干涉和衍射現(xiàn)象的操作界面（圖４），以波動方式形象化地展示光的干涉和衍射現(xiàn)象。具體操作如下：

（１）結(jié)構(gòu)設(shè)計界面。輸入?yún)?shù)（狹縫數(shù)，狹縫大小，狹縫間距）后，右端顯示結(jié)構(gòu)圖形（按Ｓｈｏｗｐｉｃｔｕｒｅ鍵）。

（２）確定光波的波長并運行程序。輸入光波的波長，選擇平面（２Ｄ）或者立體（３Ｄ）顯示，運行計算程序（按Ｒｕｎ鍵）。

（３）觀察計算結(jié)果。觀察計算得到的動態(tài)干涉（或者衍射）圖形（圖５），以及不同位置光波干涉強度分布圖（圖６）。

以計算結(jié)果為例，在空氣（折射率１．０）中設(shè)置狹縫寬度為４ μm、間距為１０ μm，按Ｓｈｏｗｐｉｃｔｕｒｅ鍵可得到圖４所示的楊氏雙縫結(jié)構(gòu)圖。當光波波長為５ μm時，按Ｒｕｎ鍵可得到雙縫干涉圖形，如圖５所示?？梢杂^察到明顯的光波強弱變化，三個干涉峰向外傳播。用三維圖像顯示是為了方便觀察光強的變化?？紤]到ＦＤＴＤ計算范圍有限，在光學(xué)近場范圍內(nèi)（菲涅耳衍射），隨著通過狹縫的兩束光波向外傳播，干涉峰強度發(fā)生明顯變化。首先，顯示為兩個明顯的峰，即兩個光源還處于相互獨立的狀態(tài)，如圖６（ａ）所示。隨著傳播距離的增加，兩個光源的光波發(fā)生重疊，得到中間強度最大的光波分布圖，如圖６（ｂ）（ｃ）所示。隨著傳播距離的增加，中間區(qū)域出現(xiàn)三個峰，如圖６（ｄ）所示。

可以對此干涉和衍射仿真程序進行拓展研究。例如，研究單縫衍射現(xiàn)象和光柵衍射現(xiàn)象（３到７個狹縫）。對于雙狹縫結(jié)構(gòu)，還可以改變狹縫大小、狹縫間距和入射波波長等參數(shù)，定量研究這些參數(shù)對干涉圖形的影響。干涉和衍射圖形的展示和數(shù)據(jù)分析過程，非?？简瀸W(xué)生的光學(xué)基礎(chǔ)知識，有助于他們對“物理光學(xué)”課程基礎(chǔ)知識的理解。另外，此仿真實驗程序非常適合作為開放性仿真實驗，學(xué)生可以基于此程序自主設(shè)計新結(jié)構(gòu)，獨立操作創(chuàng)新型仿真實驗，獲得不同結(jié)構(gòu)下的干涉和衍射圖像。

3? ? 結(jié)? 論

針對求解Ｍａｘｗｅｌｌ電磁波方程的難點，通過ＭＡＴＬＡＢ平臺運行求解Ｍａｘｗｅｌｌ方程的ＦＤＴＤ程序，計算不同環(huán)境下的電磁學(xué)問題。模擬完成“物理光學(xué)”中的光學(xué)部分，形象地展示了電磁波圖像和最新的光學(xué)科研進展，讓學(xué)生直觀感受光學(xué)的演變過程和物理圖像，提升其學(xué)習興趣。利用ＧＵＩ功能建立電磁學(xué)實驗仿真平臺，在教學(xué)過程中進行多參數(shù)光學(xué)仿真實驗，為設(shè)計型和研究型仿真實驗創(chuàng)造條件。也能把動態(tài)光學(xué)演變過程展示給學(xué)生，培養(yǎng)其創(chuàng)新能力。此思路雖然是在高校教學(xué)中發(fā)展而來，但可以很方便地拓展到中學(xué)物理教學(xué)中。

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（欄目編輯? ? 賈偉堯）