王偉民 辛存良

摘? ?要：用初中物理知識(shí)解答一個(gè)與惠斯通電橋相關(guān)的電學(xué)問(wèn)題。將惠斯通電橋電路中相鄰兩臂替換為滑動(dòng)變阻器線圈電阻兩部分的情形，用邏輯推理的方法導(dǎo)出電橋?qū)蔷€電流與滑動(dòng)變阻器線圈中一端電阻之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用求導(dǎo)的方法確定函數(shù)的增減性，結(jié)合相關(guān)條件，進(jìn)而可以確定在滑片滑動(dòng)過(guò)程中對(duì)角線電流的變化范圍；設(shè)計(jì)虛擬實(shí)驗(yàn)和實(shí)物實(shí)驗(yàn)，對(duì)電流表讀數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

關(guān)鍵詞：惠斯通電橋；電流表；正向偏轉(zhuǎn)；滑動(dòng)變阻器；單調(diào)增加

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2023）8-0056-3

惠斯通電橋又稱(chēng)單臂電橋，是一種可以精確測(cè)量電阻的儀器，比用歐姆表測(cè)量未知電阻阻值的結(jié)果要精確的多。實(shí)際上，利用惠斯通電橋不僅可以測(cè)量電學(xué)元件的電阻，在已知條件改變時(shí)也可以相對(duì)精確地測(cè)量其他相關(guān)的電學(xué)量。

電橋平衡是高中物理教輔資料電學(xué)競(jìng)賽板塊經(jīng)常出現(xiàn)的一類(lèi)問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題可以考查學(xué)生對(duì)閉合電路的歐姆定律、電勢(shì)等知識(shí)點(diǎn)的掌握情況和綜合運(yùn)用物理知識(shí)解決復(fù)雜物理問(wèn)題的能力。解決與電橋平衡有關(guān)的問(wèn)題，往往需要涉及到電勢(shì)這一高中物理才出現(xiàn)的電學(xué)物理量［１］。那么，與電橋平衡相關(guān)的物理問(wèn)題如果在初中物理教學(xué)中呈現(xiàn)，在不補(bǔ)充高中物理內(nèi)容的情況下，可否利用初中學(xué)生已有的物理知識(shí)進(jìn)行解決呢？

1? ? 運(yùn)用初中知識(shí)如何解決與電橋有關(guān)的電學(xué)問(wèn)題

例題1 如圖1所示的電路，已知定值電阻R1=2 Ω，R2=6 Ω，R3=3 Ω，R4=4 Ω，電源電壓U=3.6 V保持不變，不計(jì)電源和電流表內(nèi)阻，求當(dāng)S閉合時(shí)電流表的讀數(shù)。

我們嘗試?yán)@開(kāi)電勢(shì)這一高中物理知識(shí)點(diǎn)，僅用初中物理知識(shí)進(jìn)行解答。

分析 因?yàn)椴豢紤]電流表的電阻，電流表可視為導(dǎo)線，因此整個(gè)電路的連接方式為：R1與R3并聯(lián)，R2與R4并聯(lián)，這兩個(gè)并聯(lián)部分分別作為整體再串聯(lián)。當(dāng)開(kāi)關(guān)S閉合時(shí)，通過(guò)R1和R2的電流方向均為向右，而通過(guò)電流表的電流有三種可能：大小為零、方向向上或方向向下。設(shè)通過(guò)電阻R1與R2的電流大小分別為I1和I2，通過(guò)電流表的電流大小為IA，當(dāng)通過(guò)電流表的電流方向向下時(shí)（圖2），有IA=I1-I2；當(dāng)通過(guò)電流表的電流方向向上時(shí)（圖3），有IA=I2-I1；當(dāng)通過(guò)電流表的電流為零時(shí)，上面的兩個(gè)等式均成立。綜合以上三種情況，僅從通過(guò)電流表電流的大小角度考慮，無(wú)論通過(guò)電流表電流方向如何，都有IA=I1-I2。當(dāng)開(kāi)關(guān)S閉合時(shí)，整個(gè)電路的總電流為

并聯(lián)電路中，干路電流在各支路電流的分配與各支路電阻成反比，可得

將題目所給已知條件代入可得IA=0.2 A。這樣，我們僅用初中物理知識(shí)就解決了與電橋相關(guān)的這個(gè)物理問(wèn)題。

如果以向下的方向?yàn)橥ㄟ^(guò)電流表電流的正方向，那么，通過(guò)電流表的電流可以表示為

我們不妨以此為基礎(chǔ)來(lái)推導(dǎo)電橋平衡時(shí)（即通過(guò)電橋?qū)蔷€電流表的電流為零時(shí)）各臂電阻應(yīng)該具備的關(guān)系條件。

這說(shuō)明，電橋兩組對(duì)邊的四個(gè)電阻中，對(duì)邊電阻的乘積相等時(shí)，電橋平衡。顯然，這一結(jié)果與利用電流表兩端電勢(shì)相等為條件推理的結(jié)果是一樣的。

2? ? 電橋問(wèn)題中電流最值的討論

例題2? 如圖4所示的電路，滑動(dòng)變阻器線圈AB的電阻R0=60 Ω，兩個(gè)定值電阻的阻值分別為R1=20 Ω，R2=30 Ω，電源電壓U=30 V保持不變，量程為-3 A～+3 A的電流表按圖4所示方式接入電路（圖示電路圖中，電流從電流表上方進(jìn)入時(shí)，其指針正向偏轉(zhuǎn)，電流從下方進(jìn)入時(shí)，電流表指針?lè)聪蚱D(zhuǎn)），在滑片P由A端滑至B端的過(guò)程中，試確定：

（1）滑動(dòng)變阻器AP段的電阻多大時(shí)，電流表的讀數(shù)為零？（2）電流表讀數(shù)的變化范圍？

分析 該題目的第一問(wèn)比較簡(jiǎn)單，根據(jù)電橋的平衡條件，只需列出一個(gè)以AP段電阻為未知數(shù)的方程，即可方便地確定滿足條件的滑動(dòng)變阻器AP段的電阻值。題目第二問(wèn)的求解相對(duì)麻煩，在滑動(dòng)變阻器的滑片P滑動(dòng)過(guò)程中，電橋相鄰兩臂PA段和PB段的電阻都在發(fā)生變化。由于二者電阻之和已知且固定，所以其中一段的電阻可以用另一段的電阻來(lái)表示。又因?yàn)殡姌蛄硗鈨杀鄣碾娮柚狄惨阎?，電源電壓確定，因此，如果把滑動(dòng)變阻器整個(gè)線圈中一段的電阻視為自變量，而把通過(guò)電流表的電流視為因變量，那么利用在例題1解題過(guò)程中推出的通過(guò)電流表電流的表達(dá)式，即可建立一個(gè)電流表讀數(shù)與滑動(dòng)變阻器線圈中一端電阻關(guān)系的函數(shù)［２－３］。如果能夠確定函數(shù)的增減性及函數(shù)單調(diào)變化時(shí)自變量的范圍，那么就可以根據(jù)題目條件確定電流表讀數(shù)的變化范圍。

解析 （1）根據(jù)電橋的平衡條件，電流表讀數(shù)為零時(shí)，有

R1RPB=R2RPA

代入數(shù)據(jù)解得RPA=24 Ω，即滑動(dòng)變阻器AP段的電阻RPA=24 Ω時(shí)，電流表的讀數(shù)為零。

（2）設(shè)滑動(dòng)變阻器PA段電阻RPA=R3=x時(shí)，電流表的讀數(shù)為IA，則此時(shí)PB段的電阻RPB=R4=60-x。所以（這里增添R3和R4兩個(gè)字母的用意是想利用在例題1后面推理出來(lái)的通過(guò)電流表電流的公式）

為了解函數(shù)的增減性，需確定函數(shù)的駐點(diǎn)，對(duì)x求導(dǎo)，并令其導(dǎo)數(shù)等于0，可得

這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程根的判別式為：

對(duì)于該函數(shù)，當(dāng)滑片P在A端時(shí)，x=0，有

這種情況下，電橋電路演變?yōu)镽2與整個(gè)滑動(dòng)變阻器的線圈并聯(lián)之后接入電源，而電流表與R2是串聯(lián)的，所以電流表的讀數(shù)等于電源電壓除以R2的阻值（數(shù)值為負(fù)說(shuō)明電流是反向的）。

當(dāng)滑片P滑至B端時(shí)，x=R0=60，有

這種情況下，電橋電路演變?yōu)镽1與整個(gè)滑動(dòng)變阻器的線圈并聯(lián)之后接入電源，而電流表與R1串聯(lián)，所以電流表的讀數(shù)等于電源電壓除以R1的阻值（數(shù)值為正說(shuō)明電流是正向進(jìn)入的）。

所以，滑動(dòng)變阻器的滑片P由A端滑至B端的過(guò)程中，電流表讀數(shù)的變化范圍是-1 A～1.5 A。電流表的讀數(shù)在單調(diào)增加。

3? ? 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

筆者用“中學(xué)電路虛擬實(shí)驗(yàn)室”軟件設(shè)計(jì)了如圖5所示的電路進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，也利用實(shí)驗(yàn)室的實(shí)物元件進(jìn)行了類(lèi)似的實(shí)驗(yàn)（實(shí)物實(shí)驗(yàn)選擇的是阻值不等的兩個(gè)定值電阻。圖5所示的虛擬實(shí)驗(yàn)，選擇L1，L2兩燈泡串聯(lián)的用意是，它們串聯(lián)的整體視為一個(gè)電阻，因?yàn)檫@個(gè)虛擬實(shí)驗(yàn)給出的實(shí)驗(yàn)器材，燈泡的規(guī)格都是相同的）。選擇這個(gè)軟件做實(shí)驗(yàn)的突出優(yōu)點(diǎn)是，該軟件中的各元件都是理想元件——導(dǎo)線、電流計(jì)、電池等元件沒(méi)有內(nèi)阻，電源電壓恒定，燈泡電阻也不受溫度變化的影響，因此在滑動(dòng)變阻器滑片滑動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象不受這些元件電阻和電源電壓變化及燈泡燈絲電阻變化的影響。圖5用電流計(jì)來(lái)顯示電橋?qū)蔷€通過(guò)的電流，可以看出滑動(dòng)變阻器的滑片從一端移動(dòng)到另一端的過(guò)程中，電流計(jì)的讀數(shù)在做單調(diào)性變化，虛擬實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和真實(shí)元件做實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果都跟上面推理的結(jié)論完全相符。

4? ? 結(jié)? 語(yǔ)

由以上分析可以看出，對(duì)于和惠斯通電橋有關(guān)的電學(xué)問(wèn)題，如果我們采用特定的方法，繞開(kāi)電勢(shì)這一高中物理知識(shí)點(diǎn)，僅利用初中物理已有的電學(xué)知識(shí)也是可以解決的。在惠斯通電橋問(wèn)題中，對(duì)相鄰兩臂為滑動(dòng)變阻器線圈電阻兩部分的情形，這兩臂電阻之和保持恒定，通過(guò)建立對(duì)角線電流與其中一部分線圈電阻之間的函數(shù)關(guān)系，利用對(duì)函數(shù)求導(dǎo)的方法確定函數(shù)的增減性，結(jié)合相關(guān)已知條件，進(jìn)而可以確定在滑動(dòng)變阻器滑片滑動(dòng)過(guò)程中對(duì)角線電流的變化范圍。

參考文獻(xiàn)：

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（欄目編輯? ? 蔣小平）