郭芮 福建省廈門第二中學(xué)

●當(dāng)前高中信息技術(shù)計(jì)算思維培養(yǎng)的訴求

《普通高中信息技術(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）的頒布實(shí)施與新教材的使用，使普通高中信息技術(shù)教學(xué)由傳統(tǒng)的注重技能實(shí)操轉(zhuǎn)向更加強(qiáng)調(diào)學(xué)生計(jì)算思維等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。筆者結(jié)合新課標(biāo)的要求，梳理出計(jì)算思維包含的幾個(gè)重要要素：分解、分析、抽象、建模、算法設(shè)計(jì)、自動(dòng)化。在教學(xué)中，教師可通過算法設(shè)計(jì)和編程實(shí)踐來培養(yǎng)學(xué)生對(duì)這些要素的理解和應(yīng)用，以培養(yǎng)他們的邏輯思維、創(chuàng)新能力和問題解決能力。

●案例背景

1.遞歸問題

遞歸問題是指在解決某個(gè)問題時(shí)，可以通過調(diào)用自身來實(shí)現(xiàn)的問題。遞歸問題通常需要滿足兩個(gè)條件：①基本情況。定義遞歸結(jié)束的條件，即最簡(jiǎn)單的情況，無需再次遞歸調(diào)用自身，直接返回結(jié)果。②遞歸關(guān)系。將原問題分解成一個(gè)或多個(gè)規(guī)模較小的子問題，并通過遞歸調(diào)用自身來解決這些子問題。

2.遞歸問題與計(jì)算思維要素的關(guān)聯(lián)

遞歸問題與計(jì)算思維要素之間存在緊密的關(guān)聯(lián)，具體如下表所示。

●案例描述

本文以“青蛙跳臺(tái)階”問題為例，漸進(jìn)式地分為簡(jiǎn)單、中級(jí)、復(fù)雜三種情況?！昂?jiǎn)單”問題引出遞歸算法。“中級(jí)”和“復(fù)雜”問題考查學(xué)生對(duì)遞歸算法的理解和運(yùn)用。

1.創(chuàng)設(shè)情境，趣味導(dǎo)入

活動(dòng)1：一只青蛙一次可以跳上一級(jí)臺(tái)階，也可以跳上二級(jí)臺(tái)階，求這只青蛙跳上n級(jí)臺(tái)階總共需要多少種跳法。

（1）問題分解（如下頁圖1）

圖1

當(dāng)n=1時(shí)，只有1種跳法；當(dāng)n=2時(shí)，有2種跳法；當(dāng)n=3時(shí)，有3種跳法；當(dāng)n=4時(shí)，有5種跳法；當(dāng)n=5時(shí)，有8種跳法……

（2）問題分析

提取重復(fù)邏輯：1，2，3，5，8……當(dāng)n=n時(shí)，可以用倒推的方式來分析問題。青蛙跳上最后一級(jí)臺(tái)階的方式只有兩種情況，要么是1級(jí)跳，要么是2級(jí)跳。若青蛙用1級(jí)跳的方式跳到最后一級(jí)臺(tái)階，那么它前面跳的方法共有f(n-1)種；若用2級(jí)跳，則共有f(n-2)種。所以，兩種情況加起來就是總種數(shù)：f(n)=f(n-1)+fn(n-2)（n≥2）（終止條件：n=1，n=2）。

（3）抽象建模（如圖2）

圖2

（4）編程實(shí)現(xiàn)（如圖3）

圖3

設(shè)計(jì)意圖：借助游戲問題引入課堂教學(xué)，活躍課堂氣氛，迅速集中學(xué)生的注意力。在問題解決中，自然引出本課課題——遞歸法。

2.舉一反三，理解遞歸

活動(dòng)2：一只青蛙一次可以跳上一級(jí)臺(tái)階，也可以跳上二級(jí)臺(tái)階……還可以跳上n級(jí)臺(tái)階，求這只青蛙跳上n級(jí)臺(tái)階總共需要多少種跳法。

（1）問題分解

通過上一道題的練習(xí)，學(xué)生已經(jīng)對(duì)遞歸算法有了初步認(rèn)知，并且理解抽象的遞歸表達(dá)。所以用f(n)表示青蛙跳上n級(jí)臺(tái)階的跳法數(shù)，設(shè)定f(0)=1。

當(dāng)n=1時(shí)，有一種跳法，f(1)=1。

當(dāng)n=2時(shí)，有兩種跳法，一階跳和二階跳：f(2)=f(1)+f(0)=2。

當(dāng)n=3時(shí)，有三種跳法，第一次跳出一階后，后面還有f(3-1)種跳法；第一次跳出二階后，后面還有f(3-2)種跳法；第一次跳出三階后，后面還有f(3-3)種跳法：f(3)=f(2)+f(1)+f(0)=4。

當(dāng)n=4時(shí)，有四種跳法，第一次跳出一階后，后面還有f(4-1)種跳法；第一次跳出二階后，后面還有f(4-2)種跳法；第一次跳出三階后，后面還有f(4-3)種跳法，第一次跳出四階后，后面還有f(4-4)種跳法：f(4)=f(3)+f(2)+f(1)+f(0)=8。

……

（2）問題分析

提取重復(fù)邏輯：當(dāng)n=n時(shí)，共有n種跳的方式，第一次跳出一階后，后面還有f(n-1)種跳法；第一次跳出二階后，后面還有f(n-2)種跳法；第一次跳出n階后，后面還有f(n-n)種跳法，最終得出公式為：f(n)-f(n-1)=f(n-1)→f(n)=2*f(n-1)(n≥2)（終止條件：n≤1）。

（3）抽象建模（如圖4）

圖4

（4）編程實(shí)現(xiàn)（如圖5）

圖5

遞歸法解決問題的方法：①二要素——遞推與回歸。②找到結(jié)束條件。③遞歸算法的實(shí)現(xiàn)方式（遞歸算法是數(shù)值層層調(diào)用實(shí)現(xiàn)的，函數(shù)先由上向下調(diào)用，當(dāng)達(dá)到最底層后，再將數(shù)值層層向上返回）。④程序結(jié)構(gòu)——函數(shù)和分支結(jié)構(gòu)。函數(shù)定義遞歸問題本身，分支結(jié)構(gòu)解決終止條件和調(diào)用規(guī)律。

設(shè)計(jì)意圖：在前一個(gè)活動(dòng)實(shí)踐的基礎(chǔ)上，給出遞歸算法解決問題的方法，對(duì)學(xué)生已經(jīng)構(gòu)建好的模型框架進(jìn)一步梳理，幫助學(xué)生形成遞歸算法解決問題的思想和方法。

3.拓展提升，深度學(xué)習(xí)

活動(dòng)3：一只青蛙一次可以跳上一級(jí)臺(tái)階，也可以跳上二級(jí)臺(tái)階……還可以跳上m級(jí)臺(tái)階，求這只青蛙跳上n級(jí)臺(tái)階總共需要多少種跳法。

（1）問題分解

結(jié)合上一道題的思路，得出：f(n)=2f(n-1)-f(n-m-1)。

（2）問題分析

分析1：如果n≤m，因?yàn)橹荒芡咸荒芡绿源笥趎的都不可以跳，那么這個(gè)問題就直接退到問題2。

分析2：如果n＞m，要想跳到n級(jí)臺(tái)階，可以從n-1級(jí)跳一步上來，或者從n-2級(jí)跳兩步上來……或者從n-m級(jí)跳m步上來，所以可以找出遞歸公式。

（3）抽象建模

當(dāng)n=m時(shí)，和上一題的解答思路一致。當(dāng)n＞m時(shí)，f(n)=2f(n-1)-f(n-m-1)。

（4）編程實(shí)現(xiàn)（如圖6）

圖6

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過前面的活動(dòng)，讓學(xué)生基本掌握遞歸法解決問題的方法。

●教學(xué)反思

1.明確新課標(biāo)要求，把握案例設(shè)計(jì)

根據(jù)新課標(biāo)中對(duì)計(jì)算思維教學(xué)的建議，通過遞歸算法的學(xué)習(xí)讓學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)，感知遞歸、發(fā)現(xiàn)規(guī)律；理解遞歸算法的基本思想，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆绞椒治龊统橄蠼?，梳理出問題結(jié)構(gòu)，并通過恰當(dāng)?shù)某绦蛘Z言和程序控制結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)遞歸算法。因此，本案例通過由淺入深的青蛙跳臺(tái)階問題，讓學(xué)生在一個(gè)個(gè)活動(dòng)中反復(fù)體會(huì)遞歸問題“來”與“去”的過程，體驗(yàn)使用Python語言實(shí)現(xiàn)遞歸程序設(shè)計(jì)的方法，感受算法效率的重要性，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用算法思想解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)計(jì)算思維。

2.分層任務(wù)設(shè)計(jì)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)是指學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)或知識(shí)與新的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)之間產(chǎn)生了連接，繼而獲得深層次的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、親身體驗(yàn)和高階思維，對(duì)學(xué)生產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響的學(xué)習(xí)。在本案例中，學(xué)生在同一情境、不同難度的任務(wù)驅(qū)動(dòng)下，構(gòu)建和遷移遞歸思想，從而逐漸形成應(yīng)用遞歸算法與程序設(shè)計(jì)解決現(xiàn)實(shí)問題的高階思維能力。

3.依托數(shù)字化平臺(tái)，助力計(jì)算思維培養(yǎng)

算法是抽象后的概念，遞歸算法又是不斷拆解和回歸的過程，更加抽象。對(duì)于學(xué)生而言，在頭腦中將拆解和回歸的過程復(fù)現(xiàn)是比較困難的，因此，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)字化平臺(tái)可視化觀察遞歸算法的過程、在線檢驗(yàn)編程結(jié)果、查找更好的解決方案等，在幫助學(xué)生提高信息意識(shí)的同時(shí)，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)字化學(xué)習(xí)能力，助力計(jì)算思維培養(yǎng)。

4.完善教學(xué)評(píng)價(jià)，培養(yǎng)計(jì)算思維

教師可以借助數(shù)字化平臺(tái)中的“考試”“搶答”“作業(yè)”等功能，對(duì)學(xué)生的課前基礎(chǔ)、課堂成果、課后練習(xí)、階段性學(xué)習(xí)等進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。通過完善教學(xué)評(píng)價(jià)體系，幫助學(xué)生了解自身的優(yōu)劣勢(shì)，培養(yǎng)計(jì)算思維。

●結(jié)束語

本文以遞歸算法為例，通過趣味的游戲問題，詳細(xì)探討如何在教學(xué)實(shí)施過程中針對(duì)問題分析開展“抽象”，并在“抽象”的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)“建模”，最終培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的計(jì)算思維，完成對(duì)算法大概念核心原理的理解，并在一定程度上反作用于數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，以推進(jìn)拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的持續(xù)、健康發(fā)展。