貴陽市第四十一中學(xué) (550007) 李龍梅

1 問題提出

項目學(xué)習(xí)理論(PBL)是一種基于建構(gòu)主義理論、發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論、實用主義理論而發(fā)展的一種學(xué)習(xí)理論,近年來項目學(xué)習(xí)理論由于其于發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)理念契合,而逐漸演變成當(dāng)前教育研究中的熱點[1].然而項目學(xué)習(xí)由于時間跨度大、評價難度大、教學(xué)參與度低,無法較好的融入到常態(tài)教學(xué)之中,因此項目學(xué)習(xí)理論雖然研究熱度高,但距離真正為發(fā)展我國學(xué)生核心素養(yǎng)做出貢獻還較遠[2].基于上述問題,“微項目”教學(xué)理念應(yīng)運而生,“微項目”教學(xué)理念是在吸收項目學(xué)習(xí)理論中優(yōu)勢的基礎(chǔ)上,結(jié)合我國常態(tài)教學(xué)的基本情況而開發(fā)出來的教學(xué)理念,通過“微項目”理念可以讓學(xué)生經(jīng)歷知識探究的過程,實現(xiàn)將“冰冷的數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3].

復(fù)數(shù)乘法的幾何意義是復(fù)數(shù)作為數(shù)學(xué)研究工具的重要手段, 特別是在處理幾何旋轉(zhuǎn)問題時有著無可比擬的優(yōu)勢.在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》中,復(fù)數(shù)的三角表示作為選學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn),不做為學(xué)業(yè)考試的要求[4].因此在教學(xué)實踐中許多教師由于往往有所忽略,使得學(xué)生對復(fù)數(shù)的認識局限于解無實數(shù)根方程以及復(fù)數(shù)簡單的四則運算,不能同向量那樣作為研究工具加以運用. 此外,復(fù)數(shù)乘法的幾何意義中蘊含了許多寶貴的思想方法,是發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要來源. 基于此,本研究運用“微項目”教學(xué)理念,對復(fù)數(shù)乘法的幾何意義進行開發(fā),設(shè)計數(shù)學(xué)探究活動,旨在通過數(shù)學(xué)探究活動, 讓學(xué)生經(jīng)歷復(fù)數(shù)乘法的幾何意義的發(fā)現(xiàn)過程,培養(yǎng)學(xué)生的類比思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,體會“復(fù)數(shù)”作為數(shù)學(xué)工具的妙用,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2 “微項目”教學(xué)理念概述

“微項目”教學(xué)是指以學(xué)科核心概念為中心, 以微型項目為載體,引導(dǎo)學(xué)生的情境問題中開展一系列探究活動的教學(xué).“微項目”教學(xué)主要涵蓋四大元素: 內(nèi)容、情境、活動和結(jié)果.[5]

內(nèi)容是指依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、教科書,對教學(xué)內(nèi)容的學(xué)科核心概念加以提煉,抓住教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)以及探究數(shù)學(xué)知識過程所運用的思想方法. 情境是基于對學(xué)科核心概念的把握,從現(xiàn)實世界中挑選能體現(xiàn)學(xué)科核心概念的真實情境. 活動以學(xué)科核心概念為統(tǒng)領(lǐng),對學(xué)科核心概念的抽象程度分別設(shè)計不同的不同目標(biāo)的數(shù)學(xué)活動,讓學(xué)生逐步接近數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),形成對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)理解. 結(jié)果是指基于“微項目”學(xué)習(xí)獲得的知識的應(yīng)用,以及整個學(xué)習(xí)過程過程中形成的數(shù)學(xué)小論文、數(shù)學(xué)研究報告、數(shù)學(xué)日記等.

3 復(fù)數(shù)乘法的幾何意義數(shù)學(xué)探究活動設(shè)計

3.1 復(fù)數(shù)乘法的幾何意義的內(nèi)容分析

復(fù)數(shù)乘法作為數(shù)學(xué)工具主要解決的是幾何平面中的旋轉(zhuǎn)問題,如點關(guān)于點的旋轉(zhuǎn)、直線繞點旋轉(zhuǎn)等,而這些問題雖然向量也可以解決,但運算過程較為繁瑣,也因此凸顯了復(fù)數(shù)乘法的幾何意義作為數(shù)學(xué)工具的重要性,因此整個探究活動的核心概念應(yīng)以旋轉(zhuǎn)為統(tǒng)領(lǐng). 復(fù)數(shù)乘法的幾何意義的知識發(fā)生基礎(chǔ)是實數(shù)乘法的幾何意義,其中需要從符號和數(shù)量兩個角度來考慮,如1×1,1×(-1),1×2,通過對比發(fā)現(xiàn)乘法在坐標(biāo)軸上點的變化可以歸納出乘法的幾何意義: 符號代表了點的對稱變換(正不變,負對稱變換),數(shù)量代表了點的伸縮變換. 如果從點運動的角度看,可以認為負號在乘法中的幾何意義就是點繞原點O旋轉(zhuǎn)180°. 在實數(shù)乘法的幾何意義上,復(fù)平面中結(jié)合i 的定義分析i 作為乘法的幾何意義.

i2= -1, 為使等式右邊具備幾何含義, 將等式拓展為1×i×i=1×(-1),從等式的右邊看,其幾何意義就是點(1,0)繞原點O旋轉(zhuǎn)了180°,而等式左邊進行了兩次i 的乘法運用,如果把i 看作一次旋轉(zhuǎn),容易推出乘以一次i 就是旋轉(zhuǎn)了90°. 那么這個旋轉(zhuǎn)是方向是什么呢? 觀察1×i = i,將式子拓展為復(fù)數(shù)形式: (1+0i)i = 0+1i,可以得出復(fù)平面點(1,0)經(jīng)過i 變換后得到(0,1),也就是說,一個復(fù)數(shù)乘以i 的幾何意義為該復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)了90 度. 這一過程可以讓學(xué)生進行猜想.

那么如何證明這個結(jié)論呢? 可以從復(fù)數(shù)三角形式來進行證明:

z1=r1(cosα+ i sinα),z2=r2(cosβ+ i sinβ),z1、z2在復(fù)平面對應(yīng)的點P、Q, 則分別為模長為r1、r2, 與實軸正半軸的夾角為α、β. 容易驗證,z1z2=r1r2(cos(α+β)+i sin(α+β),也就是說,z1乘以z2的幾何意義可以理解為:z1在z2的作用下進行了長度為r2的伸縮變換和角度為β的逆時針旋轉(zhuǎn)變換. 若z2= i, 則r2= 1,β= 90°,即不做伸縮變換,僅做逆時針90°的旋轉(zhuǎn)變換. 這一過程可以讓學(xué)生結(jié)合所屬知識加以證明.

在得到了復(fù)數(shù)乘法的幾何意義后,如何用于實踐呢? 并從中體會復(fù)數(shù)工具處理旋轉(zhuǎn)問題的優(yōu)勢呢? 可以從現(xiàn)實情境中的圖像處理問題來開發(fā).

例1: 圖像處理軟件可以對圖片進行任意角度的旋轉(zhuǎn)和縮放,請根據(jù)你所學(xué)的知識,解釋圖片處理操作背后的數(shù)學(xué)原理.

(1)將圖片逆時針旋轉(zhuǎn)60°;

(2)將圖片放大兩倍并逆時針旋轉(zhuǎn)90°

解析: 根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義,上述問題的本質(zhì)都是圖片所有的點對應(yīng)在復(fù)平面上的復(fù)數(shù)同時乘以復(fù)數(shù)z,其中(1)z=cos 60°+i sin 60°,(2)中z=2(cos 90°+i sin 90°)

設(shè)計意圖: 通過圖像處理軟件的常見操作,讓學(xué)生運用探究出的數(shù)學(xué)知識去解釋現(xiàn)實現(xiàn)象,發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識.

基于例1 的鋪墊,可以提出更為抽象的問題,發(fā)展學(xué)生運用復(fù)數(shù)解決幾何問題的能力.

例2: 已知點P(3,4),求點P繞原點O旋轉(zhuǎn)60°所得的點Q的坐標(biāo).(分別用向量法和復(fù)數(shù)法)

通過此問題的探究可以讓學(xué)生體會復(fù)數(shù)解決旋轉(zhuǎn)問題的優(yōu)越性.

然而在實際問題中,點的旋轉(zhuǎn)大多數(shù)情況是不以原點O為旋轉(zhuǎn)中心的,那么此時該如何處理呢? 通過例3 探究,發(fā)展學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想.

例3: 已知點P(3,4),求點P繞點M(2,1)旋轉(zhuǎn)120°所得的點Q的坐標(biāo).

解析: 可以通過構(gòu)建以M(2,1) 為原點的新的坐標(biāo)系,將原來坐標(biāo)系的點遷移到新坐標(biāo)系中,再運用例1 的方法即可解決.

3.2 情境創(chuàng)設(shè)

數(shù)學(xué)探究活動的情境創(chuàng)設(shè)需要符合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點,因此在創(chuàng)設(shè)情境時, 可以用現(xiàn)實中的真實情境作為情境素材,也可以用數(shù)學(xué)知識的比較作為情境創(chuàng)設(shè)[6].如教材中的數(shù)學(xué)探究活動“用向量法研究三角形”的性質(zhì),通過運用向量法證明勾股定理,說明向量法在證明幾何問題時的優(yōu)勢,從而引發(fā)運用向量法證明三角形性質(zhì)的探究. 復(fù)數(shù)乘法的幾何意義是對復(fù)平面內(nèi)點的旋轉(zhuǎn)變換,因此可以通過梳理向量法能解決的幾何問題,發(fā)現(xiàn)向量法解決旋轉(zhuǎn)問題的短板,從而引出探究復(fù)數(shù)乘法的幾何意義的必要性. 基于上述分析,情境創(chuàng)設(shè)如下:

我們通過學(xué)習(xí)向量,運用代數(shù)方法解決了平面幾何問題中的點、線的平移問題、線段長度問題、直線的夾角問題、直線的平行和垂直判定,并且還運用向量法的運算性質(zhì)證明了三角函數(shù)的正弦定理和余弦定理,體會了向量這一數(shù)學(xué)工具的威力. 然而我們一直在回避一個基本的問題,那就是旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)作為圖形變換的基本方式之一,是平面幾何問題的重要研究領(lǐng)域. 如問題:

已知點P(3,4),求點P繞原點O旋轉(zhuǎn)60°所得的點Q的坐標(biāo).

分析: 設(shè)Q(x,y), 則由于旋轉(zhuǎn)模長不變, 根據(jù)題意有且x2+y2= 25. 顯然方程存在兩個解,這是由于cos 60°= cos(-60°),但事實上題目僅有唯一解. 從運算量上看,設(shè)計一元二次方程的求解,運算量較大.

可以看到,運用向量法解決點的旋轉(zhuǎn)問題不僅計算難度較大,而且得到的結(jié)果也不唯一,這也是為什么我們一直回避旋轉(zhuǎn)問題的原因. 那么究竟有什么數(shù)學(xué)工具可以幫助我們比較簡單的處理旋轉(zhuǎn)問題呢? 那就是我們學(xué)習(xí)的復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的作用不僅僅是解方程, 我們在學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的三角表示后,發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)和角有著緊密的聯(lián)系,這節(jié)課我們將通過探究復(fù)數(shù)乘法的幾何意義,掌握解決旋轉(zhuǎn)問題的核心工具.

3.3 數(shù)學(xué)活動設(shè)計

根據(jù)布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論,結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點,數(shù)學(xué)活動設(shè)計的總體價值取向是讓學(xué)生經(jīng)歷知識發(fā)現(xiàn)的過程,讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題—提出猜想—證明猜想—實踐應(yīng)用”,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和理性精神[7]. 因此整個“微項目”的數(shù)學(xué)活動以“旋轉(zhuǎn)”為核心,注重學(xué)生運用類比思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想分析問題和解決問題的能力. 具體活動見表1.

表1 復(fù)數(shù)乘法的幾何意義“微項目”活動表

3.4 活動要求與結(jié)果評價

數(shù)學(xué)探究活動的過程中應(yīng)以自主探究和小組合作相結(jié)合的方式進行[8],具體為學(xué)生個人前期應(yīng)嘗試獨立思考,整理出自己思考的結(jié)果和存在的疑問,之后小組內(nèi)部進行交流探究,形成對問題的統(tǒng)一認識,最后再小組之間進行交流展示,分享自己小組的研究成果.

在探究活動結(jié)束后,可以讓學(xué)生圍繞整個探究活動寫一篇數(shù)學(xué)日記,內(nèi)容涵蓋問題的發(fā)現(xiàn)、猜想的過程、驗證證明的過程、具體應(yīng)用以及整個探究過程中對數(shù)學(xué)的感悟.

4 結(jié)語

研究基于“微項目”教學(xué)理念,以復(fù)數(shù)乘法的幾何意義作為探究對象,通過內(nèi)容分析確定“旋轉(zhuǎn)”為核心,“類比思想”和“轉(zhuǎn)化與化歸思想”為指導(dǎo)思想,從內(nèi)容、情境、活動、結(jié)果四個環(huán)節(jié)進行探究課的設(shè)計. 研究的意義在于通過“微項目”教學(xué)理念的設(shè)計, 將原本復(fù)雜的知識加以組織使其結(jié)構(gòu)化,學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中不僅深入了解復(fù)數(shù)乘法的幾何意義的本質(zhì),而且在探究的過程中發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)和理性精神.