李勇，諸德宏

（212001 江蘇省 鎮(zhèn)江市 江蘇大學 電氣信息工程學院）

0 引言

永磁同步電機（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）因其結(jié)構(gòu)簡單、體積小和效率高等優(yōu)點，普遍應用于新能源汽車、智能化數(shù)控機床、智能機器人等行業(yè)中[1]。面對復雜的工況條件，電機控制系統(tǒng)的性能顯得尤為重要。傳統(tǒng)的PMSM調(diào)速控制系統(tǒng)中大多采用比例積分控制，但PMSM是一個非線性、強耦合和多變量的復雜對象，且在PMSM 的運行過程中常出現(xiàn)外界擾動變化和內(nèi)部參數(shù)變化的工況，依靠比例積分控制難以實現(xiàn)高精度的效果。為提高PMSM 的控制性能，國內(nèi)外學者將各種控制理論應用在PMSM 控制系統(tǒng)中，如滑?？刂芠2]、模糊控制[3]等。

滑?？刂埔蚱浣Y(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強和良好的抗干擾能力等優(yōu)點逐漸成為研究熱點，但固有的抖振會增加控制器的負擔，影響控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[4]。因此，在滑?？刂浦袦p弱抖振成為重要研究方向?？刂评碚擃I(lǐng)域著名學者高為炳院士引入趨近律的方法提升滑模控制的動態(tài)品質(zhì)[5]；王要強等[6]通過引入系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成變速趨近律來減弱抖振幅度大的問題，但沒有考慮受到擾動時系統(tǒng)穩(wěn)定性下降的問題；趙峰等[7]針對滑?？刂频? 個不同階段設(shè)計一種分段函數(shù)改進趨近律，并設(shè)計了擴張狀態(tài)觀測器估計擾動，提高控制系統(tǒng)的魯棒性，但系統(tǒng)過于復雜；胡啟國等[8]針對控制系統(tǒng)趨近速度和抖振幅度之間存在矛盾的問題，采用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對改進趨近律中的參數(shù)進行動態(tài)優(yōu)化，但智能優(yōu)化算法的使用會增加控制器的算力，加重控制器的負擔。

本文將設(shè)計改進趨近律和擾動補償相結(jié)合的控制方法，在指數(shù)趨近律的基礎(chǔ)上設(shè)計了一種改進趨近律，在保證系統(tǒng)快速收斂的同時又一定程度上減弱抖振。針對系統(tǒng)可能受到的擾動問題，設(shè)計了一種滑模擾動觀測器對系統(tǒng)進行實時的前饋補償，進一步提升系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 PMSM 數(shù)學模型

相對于內(nèi)置式三相永磁同步電機，表貼式三相永磁同步電機有轉(zhuǎn)動慣量小、電流響應速度快和制造成本低等優(yōu)點，因此本文以表貼式永磁同步電機為研究對象，忽略電機損耗及鐵芯飽和等問題，在旋轉(zhuǎn)坐標系下構(gòu)建數(shù)學模型，其電壓方程為

式中：ud、uq——定子電壓在d-q軸的分量；id、iq——定子電流在d-q軸的分量；Rs——定子電阻；ωe——電角速度；Ld、Lq——d-q軸電感，Ld=Lq；ψf——永磁體磁鏈。

其電磁轉(zhuǎn)矩方程為

式中：Te——電磁轉(zhuǎn)矩；pn——電機極對數(shù)。

其機械運動方程為

式中：J——轉(zhuǎn)動慣量；B——阻尼系數(shù)；TL——負載轉(zhuǎn)矩；ωm——轉(zhuǎn)子機械角速度。

2 改進滑模趨近律

2.1 傳統(tǒng)指數(shù)趨近律分析

在滑?？刂浦谐Ｊ褂泌吔傻姆椒ㄌ嵘＿\動階段的動態(tài)品質(zhì)，只需修改趨近律中的參數(shù)就能調(diào)節(jié)趨近速度和系統(tǒng)抖振幅度。傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的表達式為

式中：s——滑模變量；q、k——大于零的系數(shù)；sign()——符號函數(shù)；qs——純指數(shù)趨近項；ksign(s)——等速趨近項。

當系統(tǒng)軌跡從s＞0 運動到滑模面上，式（4）化為

對式（5）從0 到t 積分可得

趨近速度隨著q的增大而加快，但過大的q值會使系統(tǒng)的抖振幅度增大，因此在傳統(tǒng)的指數(shù)趨近律中趨近速度和抖振問題之間是存在矛盾的。

2.2 改進趨近律設(shè)計

針對傳統(tǒng)指數(shù)趨近律抖振問題和趨近速度存在矛盾等問題，提出一種改進趨近律

式 中：k1＞0，k2＞0，0＜α＜1；||x||1——系統(tǒng)狀態(tài)變量的范數(shù)。

分析式（7）可得，在趨近運動階段，系統(tǒng)狀態(tài)依靠含有s的冪次項和含有系統(tǒng)狀態(tài)變量的變速項的共同作用到達滑模切換面，加快趨近階段的速度。隨著系統(tǒng)軌跡逐漸靠近滑模面，逐漸減小，最終會收斂于k1，從而減弱系統(tǒng)軌跡到達滑模面時速度較大所導致的抖動幅度較大的問題。

在滑動運動階段，趨近速度理論上將降為0，此時系統(tǒng)主要依靠變速項運動，由于引入了系統(tǒng)狀態(tài)變量的范數(shù)，隨著系統(tǒng)運動軌跡沿著滑模面逐漸靠近平衡點，此時系統(tǒng)狀態(tài)變量的范數(shù)不斷減小并最終可以收斂于平衡點，在滑動運動過程變速項中的可變切換增益k2||x||1逐漸減小，用以抑制系統(tǒng)的抖振問題。

同時用連續(xù)的飽和函數(shù)sat(s)替換符號函數(shù)，既能減弱系統(tǒng)的高頻抖動，又能使系統(tǒng)不失強魯棒性，其函數(shù)表達式為

式中：Δ——邊界層厚度；η=π/2Δ。函數(shù)曲線如圖1 所示。

圖1 sat(x)函數(shù)圖像Fig.1 sat(x) function images

2.3 穩(wěn)定性分析

為了驗證基于改進趨近律設(shè)計的控制器的穩(wěn)定性，定義一個李雅普諾夫函數(shù)V(s)為

基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，要使控制器穩(wěn)定需要滿足（s）=≤0，代入式（7）可得

則系統(tǒng)運動點能在有限時間內(nèi)到達滑模面，因此，控制器滿足了李亞普諾夫穩(wěn)定性條件。

2.4 趨近律性能分析

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

其滑模面函數(shù)設(shè)為

由式（11）和式（12）可得系統(tǒng)控制器u的表達式為

將傳統(tǒng)的指數(shù)趨近律和本文設(shè)計的趨近律分別代入，令參數(shù)k1=10，k2=5，仿真結(jié)果見圖2—圖4。

圖2 指數(shù)趨近律下u 的曲線Fig.2 Curve of u under exponential reaching law

由圖2、圖3 可知，系統(tǒng)分別在傳統(tǒng)指數(shù)趨近律和改進趨近律的作用下，后者控制器輸出的抖振幅度更小，控制器的穩(wěn)定性更好。由圖4 可知，當系統(tǒng)的狀態(tài)變量距離滑模面較遠時，改進趨近律能更快地到達滑模面，即系統(tǒng)收斂時間更短。

圖3 改進趨近律下u 的曲線Fig.3 Curve of u under improved reaching law

圖4 滑模相軌跡圖Fig.4 Sliding mode phase trajectory diagram

3 轉(zhuǎn)速環(huán)控制器設(shè)計

PMSM 轉(zhuǎn)速控制器的目標是準確、快速跟蹤給定參考轉(zhuǎn)速。定義系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

式中：ωref——電機給定參考轉(zhuǎn)速；ωm——電機實際轉(zhuǎn)速。由式（14）可得

采用本文設(shè)計的趨近律，在不考慮擾動的情況下可得控制器u的表達式為

4 擾動觀測器設(shè)計

電機運行中受到的擾動主要由電機內(nèi)部機械參數(shù)變化和外界負載變化引起。為保持系統(tǒng)良好的魯棒性，使用擾動觀測器對外部擾動進行實時觀測，并將觀測值轉(zhuǎn)換為交軸的電流分量補償?shù)诫娏鳝h(huán)的輸入中，以此來減弱擾動對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，提升系統(tǒng)的控制性能。

以電機機械角速度和系統(tǒng)擾動作為狀態(tài)變量構(gòu)建狀態(tài)方程有

式中：r——系統(tǒng)擾動的變化率。

從而構(gòu)建滑模擾動觀測器

由李亞普諾夫穩(wěn)定性理論得，擾動觀測器要滿足滑模到達條件，需滿足

根據(jù)轉(zhuǎn)速誤差的取值范圍，式（21）變換為

則滑模增益m需要滿足

因此當m的取值滿足式（23）時，狀態(tài)變量就能到達并穩(wěn)定在滑模面上，則式（20）就可化為

則擾動誤差可表示為

式中：c——常數(shù)。

要使擾動誤差能夠收斂到0，則需滿足n＞0，另外，n的取值決定擾動誤差收斂速度的快慢。

當m和n都滿足上述條件時，狀態(tài)變量才能在有限時間內(nèi)收斂到穩(wěn)定點。q軸電流表達式為

式中：Kt——前饋補償增益。

5 仿真和結(jié)果分析

通過MATLAB/Simulink 仿真驗證本文提出的控制策略的性能?？刂品桨覆捎胕d=0 的矢量控制，并搭建PMSM 雙閉環(huán)仿真系統(tǒng)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖5所示，速度環(huán)采用滑?？刂?，電流環(huán)采用PI 控制，同時設(shè)計了擾動觀測器，觀測系統(tǒng)擾動并進行前饋補償。仿真實驗所用PMSM 參數(shù)表1 所示。

表1 仿真用電機參數(shù)Tab.1 Motor parameters for simulation

圖5 PMSM 矢量控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.5 Structure diagram of PMSM vector control system

5.1 轉(zhuǎn)速環(huán)控制器性能分析

將傳統(tǒng)指數(shù)趨近律滑模控制（方法1）、改進指數(shù)趨近律滑?？刂疲ǚ椒?）[8]、基于改進趨近律和擾動補償相結(jié)合（方法3）進行仿真比較，驗證各方法的控制性能。設(shè)定電機的參考轉(zhuǎn)速為 1 000 r/min，在0.2 s 時突加外部負載轉(zhuǎn)矩6 N·m，轉(zhuǎn)速響應曲線如圖6 所示。

圖6 電機轉(zhuǎn)速響應曲線Fig.6 Motor speed response curve

由圖6 可得，在給定轉(zhuǎn)速1 000 r/min 和空載啟動的情況下，方法1 存在較大超調(diào)，超調(diào)量超過200 r/min，穩(wěn)定到給定轉(zhuǎn)速所需的時間較長，約為0.11 s；方法2、方法3 的超調(diào)量很小，且達到穩(wěn)定狀態(tài)所需時間較短。系統(tǒng)在突加負載后，方法3不僅響應速度更快，而且轉(zhuǎn)速波動最小，僅下降約為27.1 r/min；而方法1 和方法2 響應速度較慢，且轉(zhuǎn)速波動比較大，轉(zhuǎn)速下降均超過55 r/min。

由圖7 可見，在啟動階段，方法3 的電磁轉(zhuǎn)矩響應速度更快，超調(diào)更??；在系統(tǒng)突加負載情況下，電磁轉(zhuǎn)矩受擾動影響較小，能迅速跟蹤負載轉(zhuǎn)矩變化。由圖8、圖9 可得，系統(tǒng)在突加負載后，方法3的電流響應速度更快，從而使轉(zhuǎn)速波動范圍更小。

圖7 電磁轉(zhuǎn)矩變化曲線Fig.7 Electromagnetic torque change curve

圖8 傳統(tǒng)滑?？刂葡氯嚯娏髯兓€Fig.8 Three-phase current curve under conventional sliding mode control

圖9 改進滑模和擾動補償下三相電流變化曲線Fig.9 Three-phase current curve under improved sliding mode and disturbance compensation

5.2 擾動觀測器性能分析

為驗證觀測器跟蹤擾動的性能，分別在0.15 s時突然加入6N·m 的負載轉(zhuǎn)矩，在0.3 s 時將負載轉(zhuǎn)矩突減到3 N·m，其響應曲線如圖10 所示。由圖10 可得，所設(shè)計的擾動觀測器能夠快速跟蹤系統(tǒng)受到的實際擾動，從而將觀測量準確的前饋補償?shù)诫娏鳝h(huán)中。

圖10 擾動的觀測值與實際值Fig.10 Observed and actual values of disturbance

6 結(jié)論

本文設(shè)計了基于改進趨近律和擾動補償?shù)腜MSM 相結(jié)合的控制策略。通過與傳統(tǒng)滑?？刂坪突谀：窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化所用控制策略進行仿真對比，驗證所提方法的有效性，主要結(jié)論如下：

（1）改進趨近律緩解了傳統(tǒng)滑模中趨近速度和抖振相互矛盾的問題，且在系統(tǒng)響應速度、削弱系統(tǒng)抖振和抑制系統(tǒng)超調(diào)方面有更好的效果；（2）采用滑模擾動觀測器對系統(tǒng)擾動進行觀測和補償，提高了系統(tǒng)的動態(tài)響應速度，增強了系統(tǒng)的抗擾能力。