劉青松 習曉苗 柴 利

在過去的幾十年中,隨著多智能體系統(tǒng)的興起[1-3],社會網(wǎng)絡(luò)引起了學者們的廣泛關(guān)注,涌現(xiàn)了許多研究成果[4].例如,Ghaderi 等[5]研究了具有固執(zhí)個體的社會網(wǎng)絡(luò)觀點的收斂性,給出了觀點收斂時間的上界和下界.Xia 等[6]分析了具有偏見同化的非線性觀點動力學模型的穩(wěn)定性.Liu 等[7]提出一種觀點擴散模型,描述了雙層連通網(wǎng)絡(luò)的觀點擴散過程,探討了在所有持有相同觀點的耦合主體下,兩種觀點在三種類型的兩層互連網(wǎng)絡(luò)中的傳播.針對強連通的社會網(wǎng)絡(luò),Ye 等[8]研究了表達觀點和私人觀點之間的差異,且給出了網(wǎng)絡(luò)上保證意見指數(shù)快速收斂到極限的一般條件.針對擬強連通社會網(wǎng)絡(luò),劉青松等[9]研究了多維觀點動力學行為,給出了表達和私人觀點收斂的充分條件.Hou 等[10]分析了具有有界置信的表達觀點和私人觀點動力學行為,給出了最終聚類數(shù)主要由封閉個體率決定的結(jié)論.

近年來,學者們針對多自主體系統(tǒng)進行研究[11-14],提出了一些經(jīng)典觀點動力學模型,促進了社會網(wǎng)絡(luò)中觀點動力學的深入研究.20 世紀50 年代,社會心理學家French[15]提出基于個體的觀點形成模型.1974 年,DeGroot[16]提出基于個體加權(quán)平均的觀點動力學模型,即后來的DeGroot 模型.通過針對每個個體引入偏差,將DeGroot 模型推廣到非線性觀點動力學模型[6].另一方面,通過引入個體對自身初始觀點的固執(zhí),文獻[17] 提出Friedkin-Johnsen模型.之后,Parsegov 等[18]將Friedkin-Johnsen 模型推廣到了多維觀點動力學模型.Tian 等[19]研究了問題序列上的Friedkin-Johnsen 觀點動力學模型,給出了問題序列上觀點達到一致的充要條件.在考慮每次觀點更新過程中,隨機選取一對個體進行觀點交流,Deffuant 等[20]提出Deffuant-Weisbuch 模型.隨后,通過兩種不同的方法推廣了Deffuant-Weisbuch 模型[21],驗證了觀點幾乎必然達到一致.最近,Dong 等[22]研究了基于領(lǐng)導概念的觀點動態(tài)共識構(gòu)建過程,Mei 等[23]提出基于評價網(wǎng)絡(luò)的學習過程模型.

上述觀點動力學模型是線性模型,經(jīng)典的Hegselmann-Krause 模型[24]是非線性模型,描述了每個個體只與其置信閾值內(nèi)的鄰居進行觀點交互.與Deffuant-Weisbuch 模型[20]相比,Hegselmann-Krause模型每次進行觀點交流的個體的數(shù)量更多,因而交流效率更高,觀點能夠更快地收斂或者達成一致.在實際應(yīng)用方面,Hegselmann-Krause 觀點動力學模型可應(yīng)用于機器人平面、空間交會問題[25]和社會心理學中“權(quán)威效應(yīng)”[26]等方面的研究.故研究Hegselmann-Krause 或有界置信觀點動力學模型,具有重要應(yīng)用價值和意義.

近年來,國內(nèi)外學者針對有界置信模型進行了較為深入的研究[27],例如Canuto 等[28]通過歐拉方法,研究了基于有界置信模型的動態(tài)系統(tǒng)的一致性問題.通過考慮噪聲環(huán)境,Su 等[29]提出了具有噪聲的有界置信模型,展示了隨機噪聲如何顯著地影響同步的觀點,給出了觀點達成擬一致的充分條件.基于改進的有界置信模型,針對初始觀點分布,Yang等[30]給出了觀點收斂到一個聚類的充分條件.通過正規(guī)化交流權(quán)重的凸性和Gronwall-Halanay 型不等式,Haskovec[31]研究了具有時滯的有界置信模型的漸近一致性問題.基于離散異構(gòu)的有界置信模型,Vasca 等[32]提出了一種基于非影響相似度區(qū)間的個體置信閾值自適應(yīng)策略,分析了有限時間的觀點動力學行為.

鑒于上述對有界置信觀點動力學模型國內(nèi)外研究現(xiàn)狀的分析,目前主要存在以下三個問題: 1)在改進的觀點動力學模型中,鄰居對個體的影響力與其觀點差異值成正比,與實際情景存在一定的差距[28];2)現(xiàn)有文獻主要是采用仿真方法研究改進的有界置信模型,缺乏較為完整的理論研究框架[27];3)現(xiàn)有的有界置信模型研究中,較少研究觀點動力學模型的應(yīng)用[32],例如考慮建立的觀點動力學模型在社會心理學中的應(yīng)用.此外,根據(jù)社會心理學中的認知理論可知[33],由于不同個體社會背景和認知能力不一樣,不同鄰居對個體產(chǎn)生的影響就會不一樣[33];個體與鄰居的觀點差異值越大,鄰居對其影響應(yīng)該越小[34].

為了克服上述問題,本文提出具有類萬有引力的有界置信模型,并分析了觀點的演化問題.本文的主要貢獻如下:

1)提出了新的具有類萬有引力的有界置信觀點動力學模型.解決了Canuto 等[28]模型中個體的影響力與其觀點差異值成正比這一不符合實際情景的社會現(xiàn)象,并考慮了個體的權(quán)威性;

2)在理論上給出了觀點收斂的充分條件且分析了基于衰減置信閾值的觀點動力學模型,完善了Chen 等[27]的理論研究內(nèi)容;

3)應(yīng)用本文提出的具有類萬有引力的有界置信觀點動力學模型,研究了社會心理學中的“權(quán)威效應(yīng)”和“非零和效應(yīng)”[35],填補了Vasca 等[32]缺乏的應(yīng)用研究;

4)得到了鄰居的權(quán)威性和正態(tài)分布的初始觀點都有利于觀點達成一致,這一重要結(jié)論.

1 問題描述

首先,回顧經(jīng)典的有界置信觀點動力學模型[24]:

式中,i∈V={1,2,···,n},xi(k)表示個體i的觀點值.Ni=N(i,x(k))={j ∈V||xj(k)-xi(k)|≤ε}表示個體i所有鄰居的集合,|Ni|表示個體i的鄰居數(shù)目,其中ε為置信度閾值.

式中,社會影響權(quán)重wij(k)為:

由于社會影響權(quán)重wij(k)中:

是受萬有引力表達式的啟發(fā)[27],故稱觀點動力學模型(2)為具有類萬有引力的有界置信觀點動力學模型.

眾所周知,萬有引力的大小與物體的質(zhì)量以及兩個物體之間的距離有關(guān).物體的質(zhì)量越大,它們之間的萬有引力就越大;物體之間的距離越遠,它們之間的萬有引力越小.根據(jù)社會心理學中的認知理論可知[33],個體權(quán)威性或者社會話語權(quán)越大,其影響力(權(quán)重)越大;個體與鄰居的觀點差異值越大,鄰居對其影響應(yīng)該越小[34].根據(jù)上述關(guān)系,將萬有引力與影響力對應(yīng),物體的質(zhì)量與個體權(quán)威性對應(yīng),物體之間的距離與觀點差異值對應(yīng).另一方面,類似于經(jīng)典的Hegselmann-Krause 模型,保證權(quán)重在[0,1]之間,故引入 tanh(·)函數(shù)給予保證.綜上所述,便可得到權(quán)重式(4).此外,在本文的第4 節(jié)中,應(yīng)用所提出的觀點動力學模型研究社會心理學中的“權(quán)威效應(yīng)”和“非零和效應(yīng)”.從應(yīng)用結(jié)果可進一步地說明權(quán)重式(4)的合理性.

事實上,dij描述了個體j與個體i觀點值越接近,彼此間的影響也就越大.此外,|Nj|描述了個體i的鄰居j的權(quán)威性或者社會話語權(quán)[27].從而本文提出的模型也很好地描述了,在一個社會中,擁有大量人脈資源的人享有更多的話語權(quán),對他人的社會影響也就更大.注意到,如果dij=1,則具有類萬有引力的有界置信觀點動力學模型(2)退化成經(jīng)典Hegselmann-Krause 模型(1).事實上,dij(k)是一個關(guān)于個體j鄰居的個數(shù)N(j,x(k))和個體i與個體j觀點值之差xj(k)-xi(k)的函數(shù).易知個體j的鄰居數(shù)越多,與個體i的觀點值相差越小,則其對個體i的差異影響權(quán)重越大,其函數(shù)關(guān)系見圖1.

圖1 dij(k)關(guān)于 |Nj|和 xj(k)-xi(k)的函數(shù)圖Fig.1 The trajectories of dij(k)with respect to |Nj|and xj(k)-xi(k)

根據(jù)本文提出的具有類萬有引力的有界置信觀點動力學模型(2)可知,個體j對個體i的影響由wij(k)(xj(k)-xi(k))所決定,其函數(shù)關(guān)系見圖2.由圖2 可知,當xj(k)-xi(k)一定時,個體j的鄰居數(shù)N(j,x(k))越多,其對個體i的影響越大.當個體j的鄰居數(shù)N(j,x(k))一定時,個體j與個體i的觀點值之差xj(k)-xi(k)越大,個體i的觀點值受到個體j的影響先增大后減小.因此,要想某個體能對指定個體施加更大的影響,需要折中進行考慮.

圖2 個體 j 對個體 i 觀點的影響Fig.2 The influence of individual j on the opinion of individual i

本文主要研究具有類萬有引力的有界置信模型(2)的觀點演化問題,給出了觀點收斂的充分條件,并將所提出的觀點動力學模型應(yīng)用到社會心理學中的“權(quán)威效應(yīng)”和“非零和效應(yīng)”.

2 收斂性分析

本節(jié)將分析具有類萬有引力的有界置信觀點動力學模型(2)的收斂性.

定義 1.在觀點動力學模型(2)中,對任意個體i ∈V的初始觀點值xi(0),如果存在R,使得:

則稱模型(2)收斂.特別地,如果存在定常數(shù)α∈R,使得:

則稱觀點達成一致.

定理 1.對于任意觀點初值xi(0)∈[0,1],i ∈V,觀點動力學模型(2)收斂.

證明.模型(2)可重寫為:

模型(5)可進一步寫為:

式中,置信矩陣A(k,x(k))的元素aij(k)為:

即A(k,x(k))的對角線元素大于0.

另一方面,當個體j與個體i的觀點值之差大于置信閾值時即j∈/Ni,則wij(k)=0.類似地,i∈/Nj,則wji(k)=0.因此,aij(k)=0 當且僅當aji(k)=0,?i,j ∈V.此外,易知A(k,x(k))中一直存在正元素,即存在δ >0,使得A(k,x(k))的最小正元素大于δ.

綜上所述,矩陣A(k,x(k))滿足文獻[36]給出模型收斂的充分條件,從而模型(6)收斂.故觀點動力學模型(2)收斂.

根據(jù)定理1,可得下列推論.

推論 1.對于任意觀點初值xi(0)∈[0,1],i ∈V,如果觀點動力學模型(6)在經(jīng)過kτ次演化后觀點達成一致,則置信矩陣A(k,x(k))=(1/n)1n,k ≥kτ,其中1n=[1,1,···, 1]T.

證明.如果觀點經(jīng)過kτ次演化后達成一致,即|xi(k)-xj(k)|→0,?i,j ∈V,k ≥kτ且Ni=Nj=n,則:

由式(3)可得:

進一步地,根據(jù)式(7)可知,aij=1/n,k ≥kτ.

為了得到進一步的結(jié)果,令:

推論 2.考慮觀點動力學模型(2),對于任意觀點初值xi(0)∈[0,1],i ∈V.如果置信閾值ε=1 且:

證明.由于置信閾值ε=1,則所有個體均可交流,即 |Ni|=n.由觀點動力學模型(2)可知:

注意到,鄰居j對個體i的影響為wij(k)(xj(k)-xi(k)),類似地,鄰居i對個體j的影響為wji(k)(xi(k)-xj(k)),然而,wij(k)=wji(k).易得:(k)(xj(k)-xi(k))+wji(k)(xi(k)-xj(k))=0則式(9)可退化為:

第2 節(jié)主要考慮的是置信閾值不變的情況.事實上,觀點動力學模型可看作一個談判的過程模型.一方面,個體期望它的鄰居在每一輪談判中顯著地向它的觀點靠攏,以便繼續(xù)談判,衰減置信閾值可描述這一情景[37];另一方面,具有衰減置信閾值的觀點動力學模型可應(yīng)用于研究圖中的社區(qū)檢測[37]和社會心理學中的“非零和效應(yīng)”.故第3 節(jié)將分析基于衰減置信閾值的觀點動力學模型.此外,本文將利用建立的具有衰減置信閾值的Hegselmann-Krause 觀點動力學模型研究社會心理學中的“非零和效應(yīng)” (見第4.2 節(jié)).

3 衰減的置信閾值

為了描述個體在談判的過程中,個體期望它的鄰居在每一輪談判中顯著地向它的觀點靠攏,以便繼續(xù)談判.本節(jié)考慮下列具有衰減置信閾值的觀點動力學模型:

式中,R>0 和 0<ρ≤1.

定理 2.考慮觀點動力學模型(10),對于任意觀點初值xi(0)∈[0,1],i ∈V,觀點xi(k),i ∈V是收斂的.進一步地,令xi?表示個體i的最終觀點值,對于所有的k∈V,則:

證明.根據(jù)式(10),有:

由式(12),可得:

令?k,τ=0,1,···,則由式(14)可知:

因此:

式中,ρ∈(0,1).易知序列xi(k),k=0,1,···是一個Cauchy 序列,故其收斂.通過令式(15)中的τ→∞,則可得式(13).

類似于觀點動力學模型(2),如果置信度閾值ε=1且式(11)退化為式(8).則觀點動力學模型(10)具有和推論2 一樣的結(jié)論.

4 觀點動力學模型的應(yīng)用

4.1 權(quán)威效應(yīng)

本節(jié)將利用本文提出的具有類萬有引力的有界置信觀點動力學模型(2),研究普遍存在的社會心理學現(xiàn)象: 權(quán)威效應(yīng).所謂權(quán)威效應(yīng)是指一個人要是地位高、有威信、受人敬重,那他所說的話及所做的事就容易引起別人重視,并讓他們相信其正確性.權(quán)威效應(yīng)的普遍存在,一方面是由于人們總認為權(quán)威人物往往是正確的楷模,服從他們會使自己具備安全感,增加不會出錯的保險系數(shù);另一方面,由于人們總認為權(quán)威人物的要求往往和社會規(guī)范相一致,按照權(quán)威人物的要求去做,會得到各方面的贊許和獎勵.在現(xiàn)實生活中,有很多利用權(quán)威效應(yīng)的例子,比如做廣告時請權(quán)威人物贊譽某種產(chǎn)品,在辯論說理時引用權(quán)威人物的話作為論據(jù)等.在人際交往中,利用權(quán)威效應(yīng),能夠引導或改變對方的觀點和行為.

考慮由10 個個體組成的社會網(wǎng)絡(luò),設(shè)初始觀點值為:

置信閾值ε=0.2.根據(jù)初始觀點值和置信閾值可得初始時刻個體之間的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),如圖3 所示(圖中自環(huán)未畫出).易知個體4 具有8 個鄰居即|N4|=8,具有最大的權(quán)威性或者話語權(quán).

圖3 網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu) (個體4 為權(quán)威個體)Fig.3 Network structure (individual 4 is the authoritative individual)

當觀點動力學模型(2)中wij為式(8)時,即不考慮鄰居的權(quán)威性,其觀點演化曲線如圖4(a)所示,其中形成兩簇的最終觀點值分別為 0.51 和 0.21.當觀點動力學模型(2)中wij為式(3)時,即考慮鄰居的權(quán)威性,其觀點演化曲線如圖4(b)所示,其中形成兩簇的最終觀點值分別為 0.46 和 0.24.出現(xiàn)這一現(xiàn)象是由于受到了權(quán)威者個體4 的影響 (圖4 中虛線為個體4 的觀點曲線),兩簇觀點都向個體4 的觀點值靠近.

圖4 權(quán)威效應(yīng) (個體4 為權(quán)威個體)Fig.4 Authority effect (individual 4 is the authoritative individual)

為了說明初始條件的客觀性,可隨機選取一個個體為權(quán)威個體,不失一般性地,選取個體5 為權(quán)威個體,個體初始觀點值可設(shè)為x(0)=[0.25,0.25,0.32,0.45,0.5,0.7,0.7,0.7,0.7,0.8]T,其網(wǎng)絡(luò)拓撲圖如圖5 所示.易知,個體5 具有7 個鄰居即 |N5|=7.類似地,其觀點演化曲線如圖6 所示,可以看出,由于受到權(quán)威個體5 的影響 (圖6 中虛線為個體5 的觀點曲線),兩簇觀點都向個體5 的觀點值靠近.

圖5 網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu) (個體5 為權(quán)威個體)Fig.5 Network structure (individual 5 is the authoritative individual)

圖6 權(quán)威效應(yīng) (個體5 為權(quán)威個體)Fig.6 Authority effect (individual 5 is the authoritative individual)

4.2 非零和效應(yīng)

本節(jié)將利用本文建立的具有衰減置信閾值的觀點動力學模型(10),研究社會心理學中“非零和效應(yīng)”.“非零和效應(yīng)”是一種合作下的博弈,博弈中做一定的讓步,雙方的收益或損失的總和不是零,觀點達成一致,談判便可成功[35].另一方面,衰減置信閾值可描述個體期望它的鄰居在每一輪談判中顯著地向它的觀點靠攏,以便繼續(xù)談判.

為了利用本文提出的模型(10)研究社會心理學中“非零和效應(yīng)”,令R=0.8,ρ=0.7,當個體觀點初值xi(0)∈[0,1],i ∈V均勻分布時,觀點動力學模型(10)的仿真結(jié)果如圖7(a)所示,觀點達到了一致,說明談判取得成功,實現(xiàn)了“非零和效應(yīng)”.當個體觀點初值x(0)∈[0,1]n正態(tài)分布時,其結(jié)果如圖7(b)所示,觀點達到一致性的速度比個體觀點初值均勻分布情況快,說明談判過程中,當持中立觀點的人較多時,談判取得成功的時間更少.

圖7 非零和效應(yīng)Fig.7 Sum non-zero effect

5 仿真分析

5.1 基于固定置信閾值的模型仿真分析

本節(jié)將通過仿真分析本文所得到的理論結(jié)果.設(shè)群體總個體數(shù)n=50,置信度閾值ε=0.3,觀點初值xi(0)∈[0,1],i ∈V均勻分布.將改進的Hegselmann-Krause 觀點動力學模型[32]與本文提出的觀點動力學模型(2)進行對比,其觀點演化曲線分別如圖8(a)和圖8(b)所示,可以看出,在改進的Hegselmann-Krause 模型[32]中,觀點形成擬一致.有趣的是在具有類萬有引力的有界置信模型(2)中,觀點則出現(xiàn)兩極分化.這是因為在文獻[32]改進的Hegselmann-Krause 模型中,觀點相似的個體不再進行交互,而本文提出的具有類萬有引力的有界置信模型(2)中,考慮了影響權(quán)重的互異性.

圖8 初值為均勻分布時的觀點演化Fig.8 Opinion evolution when the initial value is uniformly distributed

當在具有類萬有引力的有界置信模型(2)中不考慮個體權(quán)威性時即 |Nj|=1,其觀點演化曲線如圖8(c)所示,觀點仍然達到兩極分化,但其觀點形成兩極分化的速度比圖8(b)的慢,說明權(quán)威個體有利觀點的演化速度.

為了描述觀點演化過程中所有觀點的相對變化,定義變量:

其曲線如圖8(d)所示.可以看出,在文獻[32]改進的Hegselmann-Krause 模型中,觀點相對變化較大,而在具有類萬有引力的有界置信模型(2)中,觀點相對變化較小;另一方面,在不考慮權(quán)威個體的模型(2)中,觀點相對變化最小,但觀點收斂速度最慢.特別地,如果η(k)=0,則群體觀點收斂.

在現(xiàn)實生活中,針對一些(如不感興趣的)話題,大多數(shù)人的觀點比較趨于中立,而只有少部分人的觀點比較極端.為此,設(shè)個體觀點初值xi(0)∈[0,1],i ∈V為正態(tài)分布.將改進的Hegselmann-Krause 模型與本文建立的有界置信模型(2)進行比較,其觀點曲線如圖9(a)和圖9(b)所示.可以看出,基于有界置信模型(2)的觀點達到一致,而基于改進的Hegselmann-Krause 模型的觀點不收斂,這是因為改進的Hegselmann-Krause 模型中,觀點相似的個體不再進行交互.

圖9 初值為正態(tài)分布時的觀點演化Fig.9 Opinion evolution when the initial value is normally distributed

當具有類萬有引力的有界置信模型(2)不考慮個體權(quán)威性時即 |Nj|=1,其觀點曲線如圖9(c)所示,可以看出,基于觀點動力學模型(2)的觀點達到一致速度較慢.根據(jù)η(k)的定義和圖9(d)可知,基于改進的Hegselmann-Krause 模型的觀點相對變化最大.

5.2 基于衰減置信閾值的模型仿真分析

本節(jié)將對具有衰減置信閾值的觀點動力學模型(10)進行仿真分析.設(shè)R=0.3,ρ=0.7 和n=50,當觀點初值xi(0)∈[0,1],i ∈V均勻分布時,觀點動力學模型(10)形成了3 個均勻的觀點簇,仿真結(jié)果如圖10(a)所示.當觀點初值x(0)∈[0,1]n正態(tài)分布時,其結(jié)果如圖10(b)所示,形成了4 個觀點簇.總之,基于衰減置信閾值的模型(10)的觀點都是收斂的.

圖10 模型(10)觀點演化Fig.10 Opinion evolution of model (10)

設(shè)Nc表示群體最終觀點簇數(shù),Nm表示群體最大觀點簇中的個體數(shù)量.在個體數(shù)n和觀點初值x(0)以及閾值參數(shù)R都固定的情況下,隨著ρ的增大,群體最終觀點簇數(shù)量Nc減少,如圖10(c)所示.由圖10(d)可知,群體最大觀點簇中個體數(shù)量Nm隨著ρ的增大而增大.特別地,當Nc=1 時,則群體觀點達到一致性.

6 結(jié)束語

本文提出具有類萬有引力的有界置信觀點動力學模型,描述了不同鄰居對個體的觀點影響權(quán)重不一樣,且個體觀點的更新與觀點之間的差值和鄰居的權(quán)威性有關(guān).根據(jù)置信矩陣的性質(zhì)證明了觀點的收斂性,在不考慮鄰居權(quán)威性的條件下,給出了最終觀點平均值的顯式表達式.在衰減置信閾值的條件下,得到了觀點收斂速率的顯式解.利用本文提出的觀點動力學模型,研究了社會心理學中的“權(quán)威效應(yīng)”和“非零和效應(yīng)”.仿真分析表明,鄰居的權(quán)威性和正態(tài)分布的初始觀點都有利于觀點達成一致.