雷榮華，付曉東，陳 力

（1.湖南工商大學 計算機學院，長沙 410205；2.清華大學 航天航空學院，北京 100084；3.福州大學 機械工程及自動化學院，福州 350116）

空間機器人是一類輔助航天員執(zhí)行在軌任務的特種機器人，它在航天器捕獲、太空資源開發(fā)、月球通訊基地建設等方面發(fā)揮著至關重要的作用[1-3]。隨著深空探測進程的不斷推進，傳統(tǒng)的剛性空間機器人難以滿足日益復雜的空間任務的需求，而柔性空間機器人在操作精細度和柔順度等方面均表現(xiàn)出更優(yōu)越的性能。為了緩沖捕獲階段空間機械臂與中心載體之間的力學沖擊，位于二者連接處的基座被設計成具有一定伸縮功能的彈性結構，因而具有柔性；同時，為了增大空間機械臂的作業(yè)范圍，其臂桿被設計為細長結構并采用輕質(zhì)的合金材料制造，故其靈活性較高并具有柔性梁的結構特征。然而，高真空環(huán)境下空氣稀薄，空間機器人柔性結構的振動難以衰減，從而導致系統(tǒng)操控穩(wěn)定性的下降[4]。值得注意的是，空間機器人長時間工作在大溫差、強輻射的惡劣環(huán)境中，其執(zhí)行機構極易發(fā)生故障，這些故障輕則影響系統(tǒng)的飛控性能，重則導致系統(tǒng)的失聯(lián)或解體，造成無法挽回的巨大經(jīng)濟損失。由此可知，空間機器人執(zhí)行機構的操控性能直接關系航天任務成敗[5,6]。

此外，受航天任務操作窗口時間限制，空間機器人需要在有限時間內(nèi)完成在軌任務。有限時間容錯控制策略具有收斂時間短、魯棒性強及追蹤性能好等優(yōu)點，而目前針對柔性空間機器人的容錯控制策略均未考慮系統(tǒng)能否在有限時間內(nèi)完成在軌操作任務，故其適應性存在一定不足。

近年來，部分學者在地面機器人容錯控制領域取得一些研究成果。針對存在執(zhí)行機構故障的移動機器人，文獻[7]提出一種基于最小特征值的自適應容錯控制方案，保證了軌跡跟蹤誤差的漸近收斂。對于存在執(zhí)行機構故障的氣動連續(xù)機械手，文獻[8]制定了一種基于誤差轉換法的魯棒容錯控制策略，確保了閉環(huán)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。針對存在執(zhí)行機構故障的PUMA560機械臂，文獻[9]提出了一種基于二階滑模故障觀測器的固定時間魯棒容錯控制器。對于存在執(zhí)行機構故障的不確定機器人系統(tǒng)，文獻[10]引入了一種固定時間滑模自適應容錯控制方法；而文獻[11]使用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡來補償執(zhí)行機構故障和模型不確定項，并設計了一種非奇異快速終端滑模容錯控制算法。上述研究成果有效地解決了執(zhí)行機構故障情況下地面機器人系統(tǒng)的跟蹤控制問題，對于空間機器人的容錯控制研究亦具有一定的借鑒意義。然而，這些方法的應用對象均為地面剛性機械臂。柔性空間機器人作為一類多模態(tài)、強耦合、強非線性的非完整動力學系統(tǒng)，要將上述方法推廣至對此類系統(tǒng)的運動控制存在較大困難。

對于執(zhí)行機構故障情況下柔性機械臂的容錯控制，部分學者給出了可行的控制方案。針對存在執(zhí)行機構故障和傳感器故障的柔性單連桿機械手，文獻[12]設計了一種基于狀態(tài)觀測器的有限時間H∞容錯控制器。對于存在執(zhí)行機構故障和外部擾動的柔性機械臂，文獻[13]設計了一種基于干擾觀測器的自適應容錯控制律，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的一致有界穩(wěn)定。針對存在執(zhí)行機構故障的柔性單連桿機械手，文獻[14]提出了一種基于事件觸發(fā)機制的自適應容錯控制策略，實現(xiàn)對關節(jié)的轉動控制和臂桿的振動抑制。對于存在執(zhí)行機構故障的剛柔耦合機械臂，文獻[15]引入了一種徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡魯棒自適應容錯控制方法，并抑制了柔性結構的非線性振動。針對存在執(zhí)行機構故障的柔性空間機械臂，文獻[16]設計了一種基于奇異攝動理論的自適應H∞容錯抑振控制方案。對于具有柔性帆板和執(zhí)行機構故障的空間機械臂，文獻[17]提出了一種基于Jourdain 速度變分原理和單向遞歸構造理論的自適應滑模容錯抑振控制器。以上研究工作對于豐富柔性空間機器人動力學建模與容錯控制的基礎理論具有重要意義。需要指出的是，這些研究僅圍繞具有單一柔性結構的空間機器人展開，并且未考慮系統(tǒng)跟蹤誤差的收斂速度。

有鑒于此，針對基座與臂桿同時存在柔性且執(zhí)行機構發(fā)生故障的自由漂浮空間機器人，本文研究了其動力學建模及有限時間容錯抑振控制?；诘刃ЯW模型，利用拉格朗日方程構建了柔性基、柔性臂空間機器人的動力學模型；基于雙冪次非奇異快速終端滑模，為系統(tǒng)設計了有限時間容錯控制器；在此基礎上，引入混合軌跡對容錯控制器進行修正，進而構造出基于虛擬控制力的有限時間容錯抑振控制器，實現(xiàn)對系統(tǒng)載體姿態(tài)與關節(jié)軌跡的快速跟蹤控制，以及基座與臂桿柔性振動的有效抑制。

1 系統(tǒng)動力學建模

將可伸縮變形的柔性基座等效為無質(zhì)量線性彈簧，可得簡化后的柔性基、柔性臂空間機器人系統(tǒng)結構如圖1 所示。圖中符號定義如下：B0表示系統(tǒng)載體平臺，sB表示系統(tǒng)柔性基座，B1與B2分別表示系統(tǒng)的剛性臂桿與柔性臂桿。{OXY} 為系統(tǒng)慣性坐標系，{oi xi yi}(i=0,1,2)為分體Bi的局部坐標系，且其原點與旋轉中心Oi重合；C0與C1分別為基座與剛性臂桿的質(zhì)心，其在慣性坐標系中的位置矢量分別為r0與r1；P為柔性臂桿中的任意一點，其在慣性坐標系中的位置矢量為r2，v(,t) 表示柔性臂桿在P處的彎曲變形，為P在x2軸上的投影坐標；C為系統(tǒng)總質(zhì)心，其在慣性坐標系中的位置矢量為rC；θ0表示載體姿態(tài)角，θi為臂桿Bi(i=1,2)的關節(jié)轉角；xb為基座彈性位移；l0為旋轉中心O0到彈性基座所在載體平面的垂直距離，l1與l2分別表示剛性臂桿與柔性臂桿的軸向長度；d1=l1/2為旋轉中心O1與質(zhì)心C1之間的軸向距離。

圖1 柔性基、柔性臂空間機器人系統(tǒng)Fig.1 The flexible-base flexible-link space robot system

結合歐拉-伯努利梁理論和假設模態(tài)法，利用拉格朗日方程可推導出執(zhí)行機構故障下柔性基、柔性臂空間機器人系統(tǒng)的動力學方程為：

2 非奇異快速終端滑模容錯控制器設計

為了得到全驅(qū)動形式的剛性運動子系統(tǒng)模型，式(1)可改寫成：

由于矩陣Dff可逆，從式(2)第二行中解算出f，并將其帶入式(2)第一行，經(jīng)整理可得：

假設2：混合故障項Fa(t)有界且滿足||Fa(t)||≤lg，lg為正常數(shù)。

定義軌跡跟蹤誤差為e1=xd-x1和e2=d-x2，由式(4)可得空間機器人的剛性軌跡跟蹤誤差方程：

傳統(tǒng)的終端滑模和快速終端滑?？煞謩e用以下非線性方程描述[18,19]：

式(6)(7)中，α、β＞0，0＜γ＜1，i=1,2,3，sign(?)為符號函數(shù)。

兩者所對應的收斂時間分別為：

分別將式(6)(7)對時間t求導，可得：

為了解決傳統(tǒng)終端滑模存在的系統(tǒng)跟蹤誤差收斂速度較慢及控制輸入奇異問題，引入如下雙冪次非奇異快速終端滑模[20]：

式(12)中，χ為3 維向量，α、β為正常數(shù)，γ＞λ，1＜λ＜2 。

由于λ-1＞γ-1＞0，基于式(12)所得滑模面si=0避免了在e1i＜0或e2i＜0情況下因系統(tǒng)誤差產(chǎn)生復數(shù)解而導致的控制輸入奇異。

將式(12)對時間t求導，可得：

定理1 對于柔性空間機器人剛性軌跡跟蹤誤差方程(5)，設計如下雙冪次非奇異快速終端滑模容錯控制器：

式中，η為正常數(shù)，

證明 選擇如下Lyapunov 函數(shù)：

將式(14)帶入式(5)的第二行，可得：

將式(15)對時間t求導，并結合式(12)(16)及假設2，得到：

(1)當si=0時，表明系統(tǒng)跟蹤誤差=[e1i,e2i]T已經(jīng)在有限時間內(nèi)到達滑模面si=0。

(2)當si＞0且e2i=0時，根據(jù)式(12)(17)，可分別得到e1i＞0和＜0。

(3)當si＜0且e2i=0時，根據(jù)式(12)(17)，可分別得到e1i＜0和＞0。

圖2 為相平面上系統(tǒng)軌跡跟蹤誤差的收斂曲線。由圖可知，情形(2)與(3)表示在相平面內(nèi)存在無窮小標量εi＞0，使得當si＞0且e2i?[-εi,εi]時，系統(tǒng)跟蹤誤差=[e1i,e2i]T將從e1i軸向相平面的第二象限移動。當si＜0且e2i?[-εi,εi]時，系統(tǒng)跟蹤誤差=[e1i,e2i]T將從e1i軸向相平面的第四象限移動，并在有限時間內(nèi)達到滑模面si=0。由此可知，相平面內(nèi)任何位置所代表的系統(tǒng)跟蹤誤差狀態(tài)都將在容錯控制器（式(14)）的作用下在有限時間內(nèi)到達滑模面si=0，且到達時間Tri滿足[21]：

圖2 相平面跟蹤誤差收斂曲線Fig.2 The convergence curve of the tracking error in the phase plane

式中，si(t0)為雙冪次非奇異快速終端滑模（式(12)）的初始值。

當si=0時，由式(12)可求得系統(tǒng)跟蹤誤差收斂時間為：

3 基于虛擬控制力的非奇異快速終端滑模容錯抑振控制器設計

以上設計的雙冪次非奇異快速終端滑模容錯控制器僅能保證柔性空間機器人系統(tǒng)軌跡跟蹤誤差的有限時間收斂，無法對基座及臂桿的柔性振動進行抑制。本節(jié)引入虛擬控制力，對原有的期望軌跡進行調(diào)整，生成能同時刻畫柔性廣義坐標qf和剛性軌跡跟蹤誤差e1的混合軌跡qh。在此基礎上，采用上節(jié)設計的雙冪次非奇異快速終端滑模容錯控制器跟蹤新的混合軌跡，則柔性結構的振動亦可得到相應的抑制。

定義空間機器人剛性運動子系統(tǒng)的虛擬誤差為eh=qd-qh，據(jù)此進一步定義如下虛擬誤差動力學方程：

式(20)中，F(xiàn)為虛擬控制力，a?R3×3和b?R3×3為正定對角矩陣。

定義混合誤差er=qh-qr，據(jù)此設計如下基于虛擬控制力的雙冪次有限時間容錯抑振控制器。

將式(21)帶入式(3)，可得空間機器人剛性運動子系統(tǒng)的混合誤差動力學方程為：

將式(22)帶入式(20)，可得空間機器人剛性運動子系統(tǒng)的跟蹤誤差動力學方程為：

由式(23)可求得剛性廣義坐標的二階導數(shù)為：

由式(2)可求得空間機器人的柔性振動子系統(tǒng)為：

將式(24)帶入式(25)，可得：

結合式(23)(26)，可得如下狀態(tài)方程：

顯然，式(27)能同時刻畫柔性廣義坐標qf和載體姿態(tài)與臂桿關節(jié)的跟蹤誤差e1。

將非線性時變矩陣E視為干擾項，當E=0 時，可直接為狀態(tài)方程(27)設計線性二次全局最優(yōu)控制器。以柔性空間機器人系統(tǒng)的有限時間容錯抑振控制為優(yōu)化目標，構造如下性能指標函數(shù)：

式中，M?R12×12與N?R3×3依次為狀態(tài)矩陣z和控制項F的加權矩陣。

根據(jù)線性最優(yōu)控制理論，為了使得性能指標函數(shù)（式(28)）取得最小值，虛擬控制力F可設計為如下狀態(tài)反饋形式：

式中，G為如下Ricatti 方程的正定解。

將式(29)帶入式(27)，可得：

如果E=0，則狀態(tài)反饋最優(yōu)控制器（式(29)）可確保系統(tǒng)（式(27)）漸近穩(wěn)定，將此最優(yōu)控制器作用于式(20)，可以生成同時刻畫柔性廣義坐標qf和剛性軌跡跟蹤誤差e1的混合軌跡。如果E≠0，選擇Lyapunov 函數(shù)V(z)=zTGz，有

則閉環(huán)系統(tǒng)（式(27)）依然穩(wěn)定。

綜上，采用基于虛擬控制力與雙冪次非奇異快速終端滑模（Non-singular Fast Terminal Sliding Mode，NFTSM）的有限時間容錯抑振控制器（式(21)）來跟蹤混合軌跡，可保證載體姿態(tài)與臂桿關節(jié)的跟蹤誤差有限時間收斂，并實現(xiàn)對基座與臂桿柔性振動的主動抑制?；谔摂M控制力的控制系統(tǒng)結構如圖3 所示。

圖3 柔性空間機器人基于虛擬控制力的控制系統(tǒng)結構Fig.3 The control system structure of the space robot based on the virtual control force

4 仿真校驗

為了驗證所設計的有限時間容錯抑振控制方法的有效性，對圖1 所示柔性基、柔性臂空間機器人系統(tǒng)進行數(shù)值仿真。系統(tǒng)物理參數(shù)為：l0=1.5m，l1=1.5m，l2=1.5m，d1=0.75m，kb=500 N/m ；載體質(zhì)量m0=40kg，剛性臂質(zhì)量m1=3kg，柔性臂軸向線密度ρ=1.1kg/m，截面抗彎剛度EI=100 N?m2；載體中心轉動慣量J0=30kg?m2，剛性臂中心轉動慣量J1=3kg? m2。

柔性空間機器人的期望軌跡為：qd=[π/10,π/7,π/4]T(rad)；系統(tǒng)初始構型為：qr(0)=[0.1,0.5,0.9]T(rad)，(0)=[0,0,0]T(rad/s)。

基于虛擬控制力的有限時間容錯抑振控制器（Fault-Tolerant Vibration-Suppression Controller,FTVSC）的控制參數(shù)為：α=0.5，β=0.8，γ=2，λ=1.5，lg=1，η=1，a=diag(4,4,4)，b=diag(4,4,4)，M 為12 階單位矩陣，N 為3 階單位矩陣。

對比算法選擇為基于虛擬控制力的計算力矩抑振控制器（Computed-Torque Vibration-Suppression Controller,CTVSC），該方法保留了計算力矩控制器的基本特征，即無故障容錯機制且無法實現(xiàn)跟蹤誤差的快速收斂，以便于與本文所設計控制方法進行對比。CTVSC 算法的數(shù)學表達式為[22]：

式中，kp?R3×1與kd?R3×1為正定對角矩陣。

CTVSC 算法的控制參數(shù)為kp=0.5，kv=0.6，a=diag(4,4,4)，b=diag(4,4,4)，M 為12 階單位矩陣，N 為3 階單位矩陣。

柔性空間機器人的執(zhí)行機構分別在如表1 所示的三種不同模式下運行，兩種控制方案的仿真結果如圖4-9 所示。其中，圖4 與圖5 分別表示在FTVSC 方法和CTVSC 方法作用下柔性空間機器人的載體姿態(tài)與臂桿關節(jié)的軌跡跟蹤曲線；圖6 與圖7 分別表示在FTVSC 方法和CTVSC 方法作用下基座的彈性位移曲線；圖8 與圖9 分別表示在FTVSC 方法和CTVSC 方法作用下柔性臂的模態(tài)坐標曲線。

表1 執(zhí)行機構運行模式Tab.1 The operating mode of the actuator

圖4 軌跡跟蹤曲線(FTVSC 方法)Fig.4 Trajectory tracking curves (FTVSC method)

圖5 軌跡跟蹤曲線(CTVSC 方法)Fig.5 Trajectory tracking curves (CTVSC method)

圖6 基座彈性位移(FTVSC 方法)Fig.6 The elastic deformation of the flexible base (FTVSC method)

圖7 基座彈性位移(CTVSC 方法)Fig.7 The elastic deformation of the flexible base (CTVSC method)

圖8 柔性臂模態(tài)坐標(FTVSC 方法)Fig.8 The modal coordinate of the flexible link (FTVSC method)

圖9 柔性臂模態(tài)坐標(CTVSC 方法)Fig.9 The modal coordinate of the flexible link (CTVSC method)

由圖4-5 可知，當執(zhí)行機構未發(fā)生故障時，F(xiàn)TVSC方法與CTVSC 方法均能實現(xiàn)對載體姿態(tài)與臂桿關節(jié)的軌跡跟蹤控制；由于FTVSC 方法可確保跟蹤誤差的有限時間快速收斂，故其在2.5 s 內(nèi)即可實現(xiàn)對系統(tǒng)期望軌跡的跟蹤控制；而CTVSC 方法僅可保證跟蹤誤差的漸近收斂，故其跟蹤耗時高達8 s；由此可知，所設計算法的誤差收斂速度較對比算法提升了68.75%。當執(zhí)行機構處于不同的故障模式時，F(xiàn)TVSC方法仍可在2.5 s 內(nèi)實現(xiàn)對柔性空間機器人期望軌跡的跟蹤控制；CTVSC 方法由于不具備故障容錯功能，故系統(tǒng)跟蹤誤差隨著故障程度的加深而逐漸加大；考慮到故障引發(fā)的跟蹤誤差會由載體向機械臂關節(jié)傳遞，以及末端機械臂自身柔性的影響，導致關節(jié)角θ2偏離期望軌跡的程度最高。由圖6-9 可知，無論執(zhí)行機構是否發(fā)生故障，F(xiàn)TVSC 方法均可將柔性基座與柔性臂桿的振動幅度抑制在較低水平，其對基座的抑振精度始終維持在1.1×10-4m 的范圍內(nèi)；CTVSC 方法僅能在健康模式下實現(xiàn)相同的抑振效果，而隨著故障程度的加深，柔性結構的振動情況表現(xiàn)得更加顯著，在故障模式2 下基座的振幅高達5×10-4m；由此可知，所設計算法的抑振精度較對比算法提高了78%。這是由于CTVSC 方法不具備故障容錯功能，從而無法保證柔性空間機器人軌跡跟蹤誤差的收斂，進而影響基于虛擬控制力的控制方案的抑振效果。仿真結果與理論分析吻合，校驗了所設計有限時間容錯抑振控制方案的有效性與優(yōu)越性。

5 結論

針對基座與臂桿存在柔性且執(zhí)行機構發(fā)生故障的自由漂浮空間機器人系統(tǒng)，建立了其動力學模型，結合雙冪次非奇異快速終端滑模及虛擬控制力設計了一種有限時間容錯抑振控制方法，實現(xiàn)對載體姿態(tài)與關節(jié)軌跡的快速跟蹤控制及基座與臂桿柔性振動的有效抑制。值得注意的是，對于此類多重柔性影響下的空間機器人系統(tǒng)，所提方法的收斂性及適用性仍有進一步提升的空間，故未來的研究工作包括：（1）對系統(tǒng)模型及控制方法進行適當?shù)氖噶亢途仃囃卣惯\算，將該方法應用于對三維柔性空間機器人的運動控制；（2）針對多柔性空間機器人系統(tǒng)開發(fā)出固定時間容錯抑振控制方法，進一步提升誤差收斂速度及系統(tǒng)機動性；（3）開展半物理實驗研究，進一步驗證所設計控制方法的有效性與可行性。