陳佳祥

三角函數(shù)最值問(wèn)題是歷年來(lái)高考考試中的重點(diǎn)問(wèn)題，具有涉及范圍廣、綜合性強(qiáng)、靈活性大等特征.因此在解決三角函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)，需要掌握三角函數(shù)的周期性、有界性、單調(diào)性等性質(zhì)，并靈活應(yīng)用三角恒等變換，結(jié)合其函數(shù)最值特點(diǎn)進(jìn)行有效地分析.本文主要討論形如（1）f（x）=cos2x·sinx；f（x）=cosx·sin2x；f（x）=sinx·sin2x；f（x）=cos2x·cosx；，（2）f（x）=sin3x+3sinx等函數(shù)的最值.

1 問(wèn)題本質(zhì)

由倍角公式cos2x=2cos2x－1，可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式．一般地，存在一個(gè)n（n∈N）次多項(xiàng)式Pnt=a0tn+a1tn－1+a2tn－2+···+an（a0，a1，a2，···，an∈R），使得cosnx=Pncosx，這些多項(xiàng)式Pnt稱為切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多項(xiàng)式．運(yùn)用探究切比雪夫多項(xiàng)式的方法可得cos2x=P2cosx=2cos2x－1，記作P2t=2t2－1，cos3x=cos2x+x=cos2xcosx－sin2xsinx=2cos2x－1cosx－2sin2xcosx=2cos2x－1cosx－21－cos2xcosx=4cos3x－3cosx，所以P3t=4t3－3t，同理可得sin3x＝3sinx－4sin3x.

因此問(wèn)題（1）和（2）本質(zhì)都可以展開以cosx（或者sinx）的三次多項(xiàng)式，三次函數(shù)擁有的對(duì)稱性、單調(diào)性等性質(zhì)，因此這類三角函數(shù)的最值是值得研究.

2 基于“換元法”的導(dǎo)數(shù)法求解三角函數(shù)最值

當(dāng)三角函數(shù)表達(dá)式始終只存在正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，且函數(shù)最高次數(shù)為“3”時(shí)，可通過(guò)整體換元的方法將其轉(zhuǎn)化為一元三次函數(shù)的最值問(wèn)題，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)單調(diào)性研究最值.

例1 求函數(shù)f（x）=cos2xsinx在R上的最大值.

解：∵f（x）=cos2x·sinx=1－2sin2x·sinx.故令t=sinx∈－1，1，∴g（t）=－2t3+t.∵g′t=－6t2+1，t∈－1，1，∴gt在－66，66上單調(diào)遞增，在－1，66，66，1上單調(diào)遞減，∴gtmax=g－1=1.即f（x）的最大值為1.

評(píng)析：該問(wèn)題在倍角公式cos2x=1－2sin2x的基礎(chǔ)上，通過(guò)化歸轉(zhuǎn)化的思想，有效地整理與變形，構(gòu)成只含有sinx的三次多項(xiàng)式的函數(shù)，然后換元為一元三次函數(shù)形式，需要注意換元的取值范圍，再借助一元三次函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性研究最值.

3 基于均值不等式求解三角函數(shù)最值

利用均值不等式求最值，所需的條件可概括為“一正、二定、三相等”.當(dāng)這些條件不完全具備時(shí)，就需要湊“定和”或“定積”的技巧，使其具備.同角三角平方和關(guān)系式sin2x+cos2x=1其作為隱含條件，依據(jù)三角函數(shù)“定和”的特征，求三角函數(shù)最值有充分地體現(xiàn).

例2 設(shè)x為銳角，求函數(shù)y=sinx·sin2x的最大值.

解：由y=sin2x·cosxy2=4sin4x·cos2x≤22sin2x+2cos2x33=1627y=439當(dāng)cos2x=13時(shí)，以上各式等號(hào)成立.

評(píng)析：若例1是仿照例2使用均值不等式來(lái)求解，得到的答案是69，這不是f（x）的最大值，而是其極大值.究其原因是認(rèn)為函數(shù)的極大值就是最大值，而的極大值未必就是最大值（它有兩個(gè)極大值）.而且利用均值不等式的話，取等號(hào)的點(diǎn)是極值點(diǎn)而不是最值點(diǎn)，所以遇到此類問(wèn)題時(shí)，建議使用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解.

例3 設(shè)ΔABC的內(nèi)角A、B、C，求cosA（sinB+sinC）的最小值.

解：當(dāng)A是銳角或者直角時(shí)，則cosA（sinB+sinC）≥0，求最小值，可設(shè)cosA<0.則

cosA（sinB+sinC）=2cosAsinB+C2cosB－C2≥2cosAsinB+C2=2cosAcosA2=－2（sin2A2－cos2A2）2cos2A2=－（sin2A2－cos2A2）（sin2A2－cos2A2）4cos2A2

≥－2（sin2A2－cos2A2）+4cos2A233=－269，當(dāng)A滿足cosA2=66的鈍角，且B=C等號(hào)成立.

評(píng)析：這里將cosB－C2放大到1，再結(jié)合三角函數(shù)平方和的關(guān)系式，構(gòu)造均值不等式.另外cosA（sinB+sinC）≤2，∵cosA≤1，sinB+sinC≤2，但等號(hào)不成立，∵A=0，B=C=π2，∴cosA（sinB+sinC）雖有上界，但沒(méi)有最大值.

變式1 在ΔABC中，求sinA2sinBsinC的最大值.

4 基于琴生不等式求解三角函數(shù)最值

例4 求函數(shù)f（x）=sin3x+3sinx的值域．

解：由sin3x=3sinx－4sin3x得f（x）=－4sin3x+6sinx.設(shè)t=sinx∈－1，1，則y=gt=－4t3+6t，g′t=－12t2+6，令g′t=0，解得t=±22，所以函數(shù)gt在－1，－22上單調(diào)遞減，在－22，22上單調(diào)遞增，在22，1上單調(diào)遞減，又g－1=－2，g－22=－22，g22=22，g1=2，所以值域?yàn)椋?2，22.

評(píng)析：這類函數(shù)利用（三）倍角轉(zhuǎn)化，本質(zhì)是求三次函數(shù)最值，然后借助導(dǎo)數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn).而三角函數(shù)特有周期性和奇偶性，從而例4有解法2：f（x）是周期函數(shù)，T=2π，考慮x∈（0，π），函數(shù)f（x）在（0，π）上是上凸函數(shù)，由琴生不等式得：f（x）=sinx+sinx+sinx+sinπ－3x≤sinx+x+x+π－3x4=sinπ4=22.

當(dāng)且僅當(dāng)x=π4，f（x）max=22，由f（x）是奇函數(shù)，得f（x）min=－22.

例4有如下更一般的形式：

變式2求f（x）=sinnx+nsinx（n∈N+）的值域．

答案：f（x）∈－sinπn+1，sinπn+1.

對(duì)于三次多項(xiàng)式的三角函數(shù)最值問(wèn)題，一般解題思路是：合理的三角變換或是代數(shù)換元，化歸為三角函數(shù)或者三次函數(shù)類型，最后利用導(dǎo)數(shù)和基本不等式或琴生不等式方法求最值.引導(dǎo)學(xué)生掌握三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性、周期性等性質(zhì)，再通過(guò)函數(shù)的最值問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)和不等式知識(shí)的綜合運(yùn)用，就能有效地解決三角函數(shù)的最值問(wèn)題.