福建省晉江市磁灶中學(362214) 李桂祥

福建省南平市高級中學(353000) 江智如 蔡 珺

以數(shù)列知識為背景的概率統(tǒng)計題型是近些年高考與模擬考的熱點,特別是以全概率公式為載體考查數(shù)列遞推關系的題型成為新高考的?？? 不僅能夠考查考生數(shù)學閱讀能力,抽象概括能力、數(shù)學建模能力和數(shù)據(jù)分析能力,更是培育學生核心價值,發(fā)展學科素養(yǎng)的有效載體,如2023 年全國高考新課標I 卷第21 題、2022 年湖北省八市高三聯(lián)考第20 題、2023 年杭州高三二模質(zhì)檢第21 題等. 一方面,這類問題閱讀量大,綜合性強,考生需要在有限時間內(nèi)對文字提取、分析、建模、演算,通過扎實的數(shù)學能力與綜合學科素養(yǎng),方能順利解決問題. 另一方面,考生利用所學高中概率知識技能、思想方法及積累的活動經(jīng)驗,借助常見的概率模型思想,依托數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)[1],從高觀的角度研究分析問題,登高望遠, 可迎刃而解. 2023 年全國高考新課標I 卷第21 題是一道基于時間序列遞推的概率試題,考查全概率公式與數(shù)列遞推公式等知識,其背景知識是高等數(shù)學中馬爾可夫鏈模型,體現(xiàn)試題的區(qū)分與選拔功能. 本文從馬爾可夫鏈模型視角,對試題溯源探究,踐行“以考促教、以考促學”目的[2],為新課程下基于數(shù)學建模核心素養(yǎng)的高中概率統(tǒng)計教學提供思路[3].

1 試題呈現(xiàn)

試題(2023 年高考新課標I 卷第21 題)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對方投籃. 無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8. 由抽簽確定第1 次投籃的人選,第1 次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2 次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

(3)已知:若隨機變量Xi服從兩點分布,且

P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi, i=1,2,··· ,n,

2 試題分析

本試題以條件概率為背景知識抽象出數(shù)列遞推關系式,考查全概率公式和數(shù)列遞推公式等知識,體現(xiàn)化難為易的數(shù)學轉(zhuǎn)化思想. 第(1)問設置第2 次投籃情況,面向全體考生,引導考生利用條件概率和互斥事件概率知識求解. 第(2)問比較抽象,需要考生從全概率公式角度,運用數(shù)列遞推關系思想,推導出第i次投籃概率的遞推公式,考查考生一般與特殊思想,推理論證能力,數(shù)據(jù)分析能力和運算求解能力. 第(3)以兩點分布的期望知識為載體,考查數(shù)列求和公式,體現(xiàn)對條件概率與數(shù)列遞推關系等相關“必備知識”[2]要求和考查,對高中概率統(tǒng)計教學有引導作用[2]. 由于《普通高中數(shù)學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》(以下簡稱《課標2020年修訂》)增加數(shù)列遞推公式、全概率公式和貝葉斯公式內(nèi)容[1]. 所以用簡單事件的運算表示復雜事件,利用概率的性質(zhì)及概率公式簡化概率的計算, 不僅表達簡潔且條理清晰,而且能夠幫助考生梳理解決問題的思路,這種抽象思想方法具有一般性,能有效提升數(shù)學抽象、數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)[4].

3 溯源探究

筆者查閱相關資料,對試題溯源追根,發(fā)現(xiàn)人教社2019版數(shù)學A 版選擇性必修3 第53 頁“閱讀與思考”中介紹貝葉斯公式與人工智能的相關原理,并通過案例說明條件概率知識在推理和決策中重要作用,為本試題提供理論基礎. 在選擇性必修2 第6 頁例題4 依托謝爾賓斯基三角形引進數(shù)列遞推公式概念,并根據(jù)新課標的要求,適當加強數(shù)列問題中對運算、代數(shù)變換的運用,增加根據(jù)遞推公式探究數(shù)列性質(zhì)的問題:如第39 頁的例12,第41 頁習題4.3 的第7、11 題,都是利用所給的遞推公式構造一個新數(shù)列,使該數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列,再利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的公式解決問題,具有一定的技巧性與難度,為試題提供運算方法案例.

此外,福建省漳州市2023 屆5 月質(zhì)檢卷第20 題與試題相似度頗高,殊途同歸,考查以時間序列為背景的概率問題.浙江省杭州2023 年高三二模卷第21 題以馬爾可夫鏈為載體,考查經(jīng)典的賭徒模型問題,其背景知識仍然是時間序列的概率問題.

題目1(溯源1: 福建省漳州市2023 屆高三畢業(yè)班第四次教學質(zhì)量檢測20)某科研單位研制出某型號科考飛艇,一艘該型號飛艇最多只能執(zhí)行n次(n ∈N?,n≥2)科考任務,一艘該型號飛艇第1 次執(zhí)行科考任務,能成功返航的概率為p(0< p <1,n≥2),若第k次(k= 1,2,··· ,n-1)執(zhí)行科考任務能成功返航,則執(zhí)行第k+1 次科考任務且能成功返航的概率也是p,否則此飛艇結束科考任務. 一艘該型號飛艇每次執(zhí)行科考任務,若能成功返航,則可獲得價值為X萬元的科考數(shù)據(jù),且“X= 0”的概率為0.8,“X= 200”的概率為0.2;若不能成功返航,則此次科考任務不能獲得任何科考數(shù)據(jù). 記一艘該型號飛艇可獲得的科考數(shù)據(jù)的總價值為Y萬元.

(1)若p=0.5,n=2,求Y的分布列;

(2)求E(Y)(用n和p表示).

題目2(溯源2: 2023 年杭州高三二模質(zhì)檢21) 馬爾可夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型, 也是機器學習和人工智能的基石, 在強化學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用. 其數(shù)學定義為:假設我們的序列狀態(tài)是…,Xt-2,Xt-1,Xt,Xt+1, …, 那么Xt+1時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)Xt, 即P(Xt+1|··· ,Xt-2,Xt-1,Xt) =P(Xt+1|Xt). 現(xiàn)實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈,例如著名的賭徒模型.

假如一名賭徒進入幾場參與一個賭博游戲,每一局賭徒賭贏的概率為50%,且每局賭贏可以贏得1 元;每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%,且賭輸就要輸?shù)? 元. 賭徒會一直玩下去,直到遇到如下兩種情況才會結束賭博游戲:一種是手中賭金為0 元,即賭徒輸光;一種是賭金達到預期的B元,賭徒停止賭博. 記賭徒的本金為A(A ∈N?,A

當賭徒手中有n元(0 ≤n≤B,n ∈N)時,最終輸光概率為P(n),請回答下列問題:

(1)請直接寫出P(0)與P(B)的數(shù)值;

(2)證明{P(n)}是一個等差數(shù)列,并寫出公差d;

(3) 當A= 100 時, 分別計算B= 200,B= 1000 時,P(A)的數(shù)值,并結合實際,解釋當B →∞時,P(A)的統(tǒng)計含義.

4 概念界定

4.1 馬爾可夫鏈的基本定義

馬爾可夫鏈(Markov chain) 是由俄國數(shù)學家安德雷·馬爾可夫(Андрей Андреевич Марков)提出,是概率論和數(shù)理統(tǒng)計中的一個重要模型, 與自然科學、技術科學、管理科學、經(jīng)濟科學以至人文科學有廣泛應用. 數(shù)學定義為: 考慮一個隨機變量的序列X={X0,X1,··· ,Xt,···}, 這里Xt表示時刻t的隨機變量,t= 0,1,2,···. 每個隨機變量Xt(t=0,1,2,···)的取值集合相同,稱為狀態(tài)空間S. 隨機變量可以離散的,也可以是連續(xù)的. 以上隨機變量的序列構成隨機過程(stochastic process).

假設在時刻0 的隨機變量X0遵循概率分布P(X0) =π0, 稱為初始狀態(tài)分布. 在某個時刻t≥ 1 隨機變量Xt與前一個時刻的隨機變量Xt-1之間有條件分布P(Xt|Xt-1), 如果Xt只依賴于Xt-1, 而不依賴于過去的隨機變量{X0,X1,··· ,Xt-2},這一性質(zhì)稱為馬爾可夫性,即P(Xt|X0,X1,··· ,Xt-1) =P(Xt|Xt-1),t= 1,2,···.具有馬爾可夫性的隨機序列X={X0,X1,··· ,Xt,···}稱為馬爾可夫鏈(Markov chain)或馬爾可夫過程(Markov process). 條件概率P(Xt|Xt-1)稱為馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率分布. 轉(zhuǎn)移概率分布決定了馬爾可夫鏈的特性.

(1)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣[5]

記pij=P(Xt=j|Xt-1=i),則矩陣

(2)n步轉(zhuǎn)移概率矩陣

為馬爾可夫鏈的n步轉(zhuǎn)移概率矩陣,規(guī)定

(3)兩個性質(zhì)[6]

(Chapman-Kolmogorov 方程);

4.2 解題策略

依據(jù)《課標2020 年修訂》的要求[4]和高中學生的認知水平,馬爾可夫鏈可以概括為:“某一時刻狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率只依賴于它的前一個狀態(tài)”. 在實際應用中,常見有賭徒模型和傳球模型等,其一般解題步驟可以歸納為:

方法一先求出P(X0) =π0或P(X1) =π1;根據(jù)馬爾可夫鏈定義, 列出第t時刻的條件概率的遞推關系式:μ,η ∈R;根據(jù)數(shù)列遞推公式的“配湊法”求出第t時刻概率的通項公式Pt.

方法二從高觀的角度,對學有余力的學生,可以引導他們利用n步轉(zhuǎn)移概率矩陣進行求解,培養(yǎng)學生數(shù)學綜合能力,提高數(shù)學“關鍵能力”[2],為不同類型的的高校選拔人才.

5 試題解析

試題解析(一)(1)設事件A:第2 次投籃的人是乙,則由題可知第1 次投籃的人是甲,但甲未命中,或者第1 次投籃的人是乙,且乙命中,故P(A)=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.

(2) 設第i次投籃的人是甲的概率為p, 則當i= 1 時,p1= 0.5; 當i≥2 時, 第i次投籃的人選就由第i-1 次投籃人的命中情況決定. 若第i-1 次投籃的人是甲, 且甲命中, 則pi=pi-1×0.6; 若第i-1 次投籃的人是乙, 且乙未命中, 則pi= (1-pi-1)×0.2, 所以由互斥事件的性質(zhì)知,pi=pi-1×0.6+(1-pi-1)×0.2 = 0.4pi-1+0.2.令pi+m= 0.4(pi-1+m),則pi= 0.4pi-1-0.6m,于是因為為首項,公比為0.4 的等比數(shù)列,從而化簡得,

(3)由(2)知,

試題解析(二)(1)設{Xm,m≥0}是具有兩個狀態(tài)的齊次馬爾可夫鏈,其中Xm=1 表示甲投籃,Xm=2 表示乙投籃,則初始概率為由條件概率可求,

(2) 下面根據(jù)矩陣的運算性質(zhì)求解馬爾可夫鏈性質(zhì)n步轉(zhuǎn)移概率矩陣p(n) =pn. 由|λI - P|=求得特征值λ1=1,時,解

得一個特征向量為e1=時,解

因此,第i次投籃的人是甲的概率

(3)同解析(一).

6 高考應用

題目1 解析(1)略;(2)設事件Zi為:若一艘該型號飛艇能執(zhí)行第i次科考任務且在此次任務中獲得價值200 萬元的科考數(shù)據(jù),則Zi=200,否則Zi=0,i=1,2,··· ,n. 于是由馬爾可夫鏈定義可求,P(Zi=200)=0.2·pi,P(Zi=0)=1-0.2·pi,所以E(Zi)=200×0.2·pi+0×(1-0.2·pi)=40pi. 因為Y=Z1+Z2+···+Zn,因此

題目2 解析(1) 當n= 0 時, 賭徒已經(jīng)輸光, 所以P(0) = 1;當n=B時,賭徒到了終止賭博的條件,不再賭了,因此輸光的概率P(B)=0.

(2)設X表示賭徒有n元,最后輸光的事件;Y表示賭徒有n元上一場贏的事件, 則P(X) =P(X|Y)P(Y)+故P(n+1)+P(n-1)=2P(n),所以{P(n)}是一個等差數(shù)列. 設P(n)-P(n-1)=d,則P(n-1)-P(n-2)=d,…,P(1)- P(0) =d, 累加得P(n)- P(0) =nd, 故P(B)-P(0)=Bd,得

(3)由(2)知P(A)-P(0)=Ad,得當A= 100 時,若B= 200,則P(A) = 50%;若B= 1000,則P(A)=90%;若B →∞,則P(A)→1,因此可知久賭無贏家,即使是一個這樣看似公平的游戲,只要賭徒一直玩下去就會的概率輸光.

7 教學建議

7.1 創(chuàng)設真實概率統(tǒng)計教學情境,培養(yǎng)數(shù)學閱讀能力

高考內(nèi)容倡導加強理論聯(lián)系實際[8],概率統(tǒng)計試題重視情境設題的科學性、有效性、開放性和靈活性. 在日常教學過程中,教師可以真實問題為背景,以問題或任務為中心構建學習活動場景,引導學生進行獨立思考和理性判斷,理解掌握相關數(shù)學概念[9],教會學生“閱讀”,提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決實際問題的關鍵能力[2].

7.2 加強數(shù)學建模思想滲透,提高信息識別與獲取能力

數(shù)學建?；顒邮菍ΜF(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象,用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的過程. 概率統(tǒng)計是培養(yǎng)學生建模思想的有效載體,教師應發(fā)展學生科學思維,運用模型與建模等思維方法組織、調(diào)動相關知識與能力解決生活實踐或?qū)W習探索情境中的各種問題,學以致用,系統(tǒng)化、多層面、多角度地分析與獲取信息,促進創(chuàng)新思維的提升.

7.3 開展高觀教學,拓寬數(shù)學視野[10]

隨著課程改革的全面推進,近些年的高考試卷中經(jīng)常出現(xiàn)一些高等數(shù)學背景的試題,如馬爾可夫鏈模型、Newton 迭代法等,試題按照“高等背景,初等解法”的原則進行設計,形式新穎、設計巧妙,既能開闊數(shù)學視野,有利于完成高等數(shù)學與初等數(shù)學的和諧接軌,又能有效地考查學生的思維能力和繼續(xù)學習數(shù)學的潛能. 在日常概率統(tǒng)計教學中,教師滲透高等數(shù)學知識與方法,可以拓展學生的思路,培養(yǎng)思維品質(zhì)與數(shù)學素養(yǎng).

7.4 設計“精致練習”[11],引導學生構建模型知識體系

高考數(shù)學對概率統(tǒng)計考查的關鍵點在于:學生能結合題目的情景,針對數(shù)學模型,運用相關數(shù)學知識求解模型. 在日常教學實踐中,教師通過設計“精致練習”,幫助學生熟悉概率統(tǒng)計模型,掌握建模思想的基本流程:“問題分析,提出假設,模型選擇或建構,模型求解,結果檢驗”,不斷完善與改進自己模型知識體系,提高模型創(chuàng)新能力.