安徽省合肥一六八中學(xué)(230601) 王中學(xué)

2023 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(福建賽區(qū))預(yù)賽第12 題是一道圓錐曲線中的定點(diǎn)問題,考查了橢圓的基本性質(zhì),也考查了分析問題、解決問題的能力尤其是運(yùn)算求解能力;本文對(duì)其進(jìn)行探究,并給出一般性的結(jié)論[1].

一、試題呈現(xiàn)

題目已知點(diǎn)B1,B2分別為橢圓C:1 的下頂點(diǎn)、上頂點(diǎn), 過點(diǎn)的直線l交橢圓C于P,Q兩 點(diǎn)(異 于B1,B2).

圖1

(1) 若tan ∠B1PB2=2 tan ∠B1QB2,求直線l的方程;

(2)設(shè)R為直線B1P、B2Q的交點(diǎn),求的值.

解析(1) 略. (2)B1(0,-2),B2(0,2), 顯然直線l的斜率存在, 設(shè)直線l的方程為:y=kx -將其與橢圓方程聯(lián)立得設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則

直線B1P方程為:直線B2Q方程為:y=兩直線方程聯(lián)立得:

將(1) 式代入化簡得:即直線B1P、B2Q的交點(diǎn)R落在定直線上. 設(shè)因此,

二、推廣探究

經(jīng)過探究可得到如下結(jié)論:

結(jié)論1已知點(diǎn)B1,B2分別為橢圓C:1(a>b>0)的下頂點(diǎn)、上頂點(diǎn),過點(diǎn)A(0,m)(|m|>b)的直線l交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)(異于B1,B2),則直線B1P、B2Q的交點(diǎn)R在定直線上.

證明參照?qǐng)D1,B1(0,-b),B2(0,b), 顯然直線l的斜率存在, 設(shè)直線l的方程為:y=kx+m. 將其與橢圓方程聯(lián)立得(b2+a2k2)x2+ 2mka2x+a2m2- a2b2= 0.?= (2mka2)2-4×(b2+a2k2)·(a2m2-a2b2)>0, 得設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則

直線B1P方程為:直線B2Q方程為:y=兩直線方程聯(lián)立得:

將(2)式代入化簡得:

即直線B1P、B2Q的交點(diǎn)R落在定直線上. 此時(shí),當(dāng)m=-a時(shí),直線B1P、B2Q的交點(diǎn)R落在定直線上,即為原題中的定直線

推論1已知點(diǎn)B1,B2分別為橢圓C:b>0)的下頂點(diǎn)、上頂點(diǎn),R(xR /=0)為直線y=m(|m|

證明參照?qǐng)D1,B1(0,-b),B2(0,b),設(shè)點(diǎn)R(xR,m),所以直線B1R:將其與橢圓方程聯(lián)立得

直線B2R:同理可得:

所以

所以直線PQ過定點(diǎn)

將結(jié)論1 中橢圓的下頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)改為橢圓的左頂點(diǎn)、右頂點(diǎn),而直線l過點(diǎn)A(0,m)(|m|>a),則可得到:

推論2已知點(diǎn)A1,A2分別為橢圓C:1(a > b >0)的左頂點(diǎn)、右頂點(diǎn),過點(diǎn)B(0,m)(|m| > a)的直線l交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)(異于A1,A2), 則直線A1P、A2Q的交點(diǎn)R在定直線上.

推論3已知點(diǎn)A1,A2分別為橢圓C:b>0)的左頂點(diǎn)、右頂點(diǎn),R(yR /=0)為直線x=m(|m|

三、類比探究

由于橢圓與雙曲線有很多相似的性質(zhì),于是考慮雙曲線是否也具有相似的結(jié)論呢? 經(jīng)探究,可得如下結(jié)論:

結(jié)論2已知點(diǎn)A1,A2分別為雙曲線C:1(a>0,b>0)的左頂點(diǎn)、右頂點(diǎn),過點(diǎn)B(0,m)(|m|

推論4已知點(diǎn)A1,A2分別為雙曲線C:1(a >0,b >0) 的左頂點(diǎn)、右頂點(diǎn),R(yR /= 0) 為直線x=m(|m|>a)上任一點(diǎn),直線A1R,A2R分別與雙曲線交于P,Q兩點(diǎn),則直線PQ過定點(diǎn)

推論2～4 以及結(jié)論2 皆可仿照結(jié)論1 給出證明,不再贅述.

結(jié)語對(duì)題目的拓展、引申和探究,是一名數(shù)學(xué)教師必備的專業(yè)素養(yǎng),平時(shí)要重視對(duì)典型問題的深入研究,探研規(guī)律,并適當(dāng)拓展,只有對(duì)問題做了深入的思考,才能體會(huì)到數(shù)學(xué)的奧妙及神奇,才會(huì)有驚喜和收獲,才會(huì)在學(xué)習(xí)中提升數(shù)學(xué)品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).